最新高等数学习题答案优秀名师资料.doc
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1、高等数学习题答案第一章 习题答案与提示: 第一节 10,a,,,4,2,2,,,2k,2k,,,(k,Z)a,1,a21( 2(当时,; 1a,,,,,1,30,12当时, 3( 4( 5(B 6(D 1,xy,x,1y,e,2,,,,fg(x),xx,0,4gf(x),xx,0,61,x7( 8(,;, 1,x1,x,0f(,x),ln,f(x),1,x,11,x1,x9(由得,函数的定义域关于原点对称,奇函数 12x,02,1,12x,1,2xxx,1)由得,有界 (2)有下界、无上界、无界 10(1,logx,1,00,x,1,12(3),由函数图像可知,有上界、无下界、无界 2f(x)
2、,(x),f(,x),f(x),x,x,,x,1,011(由是奇函数, ,f(x),1,ff(x),1,fff(x),1,x,R12(, 第二节 1111,1410,1211101,1(1); ; (2) (3) n,111,lim,lim1,1,5n,n,kkn!(,1)!(,1)!e1k,2(1) 0 (2) (3)0 (4)原式 11111,2lim1,1,1,?1,,2lim1,2,nn,1222n,n,222,22, (5)原式 2,nnn,lim2(,1),3(,),lim(,1)n,3,n (6)原式,由不存在,原式的极限不存在 mliy,0x,Mn,xnn,,M,0,0,Nn,
3、Nnn3(有界,对任意有;由,当,y,0,xy,0,M,nnnn,NMM时,;于是当时, x,2,xx,2n,1nn4(分别用数学归纳法证明和数列单调增加,得极限存在,对两边取limx,2nn,极限得 ?x,x,x(1,x),00,x,1nn,1nnn?5(由数学归纳法证明,数列单调递增,极限 2limxlimx,12nnx,2x,xn,n,n,nn1A,2A,AA存在,设为,对两边区极限得;解得A,0(舍去) ,aa(,)2n2n,16(子数列和的极限等于原来数列的极限 lima,a,lima2k2k,1a,a,a,a,(,)2k2k,1k,k,0k,K,K由,当时,和, lima,aa,a
4、,nn,nN,2K,1n,N取,则当时有,于是 7( B 8( B 第三节 函数极限 b1(D 2( , 1, 1 1,(x,0)f(x),x,0(x,0),0,3(,取 4( 5(极限不存在 limf(x),1x,0a,1a,16(极限不存在 7(当时,;当时,极限不存在 2,n,1,2cosxn,ae068(1) 2 (2) (3) (4) (5) 1,limf(x),2limf(x)x,0x,0k,2k,22 (6) (7) 当时,;当时,不存在 a,1b,29( , ,x,sin,sin,?,sinn222n,1n,2n,n10( 设, ,nsin,x,nsinnlimx,22nn,n
5、n,1n,则,易知两端数列的极限等于,于是 第四节 无穷大与无穷小 1( D 2( C 3( B 4. B 1x,,0,1mf(x),0,1M,(2,2),M,05(1)在内是无界函数,使得f(x),(2M,2),cos(2M,2),(2M,2),Mm; 1x,,0,1,nf(x),(2n,2),,,(n,,,)x,0n,(2,2)nn(2)取,则时, limf(x),x,0由海涅定理,不存在; 1,x,0,11(2,),f(x),0,1M,1,2,00,(3)取,则,而,从而 limf(x),,x,0。 6(极限不存在 537(1) 4 (2) (3) 1 (4) 1 (5) 1 (6) 1
6、 0(mn),n,mmlimx1(mn),mxm(,1)sin(,)m,n0x,lim,(,1),n,x,(mn),nnx,(,1)sin(,),(7) 原式= (8)原式= a12,x24(1,ax),1a41,lim,lim,a,42x,x,00xsinx4x8( 1sinkxk,0x9( 是有界变量,必须是无穷小,从而 32P(x),2x,x,3x 9( 第五节 函数的连续性 ,0x,1,1,xx,1,f(x),0x,1,1x,1,x,11( A 2( C 3( A 4(1) ,是跳跃间断点。 12fx,fx,lim()lim()xx,0,1,2,?f(x)x,0x,1,(2)在定义域内
7、连续;由,2fx,lim()f(x)x,0,1x,1sin,x,,是的可去间断点;在其他整数点时,是无穷小,2f(x)x(x,1)不是无穷小,从而是的无穷间断点。 f(x)f(x),,0,0,,,x,0(3)在内连续,是的跳跃间断点。 ,13f(x),,,,eeeln2(4)在上连续。 5(1) (2) (3) (4) ax,o(x)3sinxo(x)sinx,limF(x),lim,,lima,3lim,3,a,x,0x,0x,0x,0xxxx,6( ,于是3,a,1a,2,。 第六节 闭区间上连续函数的性质 2f(x),x,21( C 2( B 3( 令,应用零点定理 xg(x),f(x)
8、,x,0,14(令,在区间上应用零点定理 5(令,于是fx()221,g(a),f(a),a,0g(b),f(b),b,0,ab,若取等号,或,否则应用零点定理 ,x,xg(x),f(x,a),f(x)f(x),0,a1n6(令,在区间上应用零点定理 7(在f(x),f(x),f(x)?12nm,MmnM上连续,有最小值与最大值,则,由闭区间上连续函数的连通性定理可得 limf(x),Af(x),A,1f(x),1,Ax,,,1,X,ax,X8(由,对,当时,即; f(x),Mf(x),a,X,x,a,X,M,0在闭区间上连续,由有界性定理,有, f(x),MM,max1,A,M,,x,a,,
9、,令,则, 第一章测验题 一(1( D 2( C 3( C 4( A 5( A 2,x,2x,2x,1,0,2二(1( 2 2( 2 3( 4( 5( 2 3111,22ee36三(1( 2( 1 3( 4( 1 5( 6( 7( 不存在 k,0k,008( 时,极限为;时,极限不存在 11f(x)x,0x,0四(的间断点是,;是跳跃间断点,是无穷间断点. x,x,22lnln33limf(x),f(x),A,1x,,,,X,ax,XA,1五(由,对,当时,于是f(X,1),1,0f(a),0f(x),a,X,1,又,在上连续,由零点定理知:f(,),0,,,a,X,1,a,,,,使 xsin
10、xx,k,(k,1,2,?)f(x),ex,0六(;是可去间断点,是第二类间断点 n,2七( a,4b,4a,1b,4八(1( , 2( , 九(1) 时, 所以是有界数列. 显然, n,20sin1,xx0,x,xxx,1nn,1n12设,则所以是单调递减数列. 所以极限存在,xxxx,sinsin.xx,xnn,1nnnn,112n1,6等式二边取极限得极限为0. (2) e.第一节 导数的概念 2,f(x)0f(x)k0a1(1) (2) 2( 3(C,D 4(1) 连续,不可导 (2) 不连续,故不可导 dm2dxx,ey,0ex,y,e,1,0x,x05( 6( 切线方程为;法线方程
11、为 2b,xa,2xf(x)x,0x,1007( , 8(的不可导点是和 f(x)x,0x,009(可导。先判断在处的连续性,再用定义分别求得点的左右导数都等于 fx,,x,fxfx,f,x,fxf,x,()()()()()()1fx,fx()limlim()lim,x,0,x,0,x,0,x,x,x10( f(0,,x),f(0),f(x)lim,f(0),f(x),x,0,x 第二节 导数的计算 1ln,xx,322ln226,,xxx1( 2( 1 3( 4( 1 1,22,,4sin(1)cos(1)qqq32,x5(1) (2) 232132x,sin36xx,222x,,eee2s
12、ec(1)sin322xx,,21xx22xx,(3) (4) v4cosa,2221,v4sin,a(5) (6) (7) ,sin2cos(cos)xx11xx,tan,1111212x322,,exee,,(secsincos)()(1)2xxxx32(8) (9) 221xx,21,11xx33xxxxaea,,,,sincos(ln1)logx,222(1)(1),,xx3ln2(10) (11)(12) aax11aaxaax,11(13) (14) ,,axaaaxaaaa,,,,,lnlnln221,x1,x111a,1(2(1)x,ax,xx2lnsecaaa,,22x2a2
13、xx,2xxx,1,x(15) (16) tanx(17) 222,()(2()1)()()xxfxx,,,,,6( 7( sin2(sin)(cos)xfxfx,gxxxxx()(2)(3)(100),,,,fxxgx()(1)(),8(令,则,得 ,fxgxxgx()()(1)(),,,fg(1)(1)99!101,,于是 222xx21xee,,x,0x,0,f(0)1.,9(当时,;当时, fx(),2x2t,faaga()2(),ftet()(12),,9/ms10( 11( 12(用导数定义, 2222xxxx,yfffxffxfx,()()()yxefeefe,,,2()()13
14、(1) (2) ,214( 第三节 高阶导数 x,3224sin2cos2xx(1),x) (2) 1(1,4cos2lnxx2xx2,2(1) fxxxxxfxxxxx()()()()(2()(),,11()nnyn,(1)!()(20)2022x,nn11yexx,,2(2095)xx,(2)(1)3( 4( ,1()1nn,yxn,,,4cos(4)a,b,1c,0225( 6(, 120xx,fx(),2,f(0)f(0),120xx,7(,(判断及时,须用定义分别计算左右导数) 8(证明略 第四节 几种类型函数的求导方法 21,ln2y230bxayab,,e811( 2( 3( x
15、dyeyxy,cos,y370xy,xy,,3290dxexxy,,cos4(, 5(1) 2,dyxfyyfx2()(),dyxy,,dxyfxxfy2()(),,,dxxy,(2) (3) dysin1x,,,(lncossin)xxxxxdx6(1) 23,dyxx(2)(3),123415,,,(1)x,4dxxxxxx,15(2)5(3)5(4)5(5)(4)(5)xx,(2) 23yy2exe,cos()xy,,7(1) (2) y33(1),xe(1sin(),xy2dy1dy,xya,,,(2)0,t2,xy,,,220dxft()2dx8(1) 3 (2), 9( 10( y
16、tsx11(设经过秒钟后船与人的距离是米,人行走的距离是米,船航行的距离是米,则dsdxdy20222sxy,,y,2222sxy,,20t,5x,10t3dtdtdt,两边对求导可得,时,ds26dx70dy4(/)ms,2,s,dt21t,5dt3dt3,并将,代入方程得, 1(/min)m2(/min)m,212(1) (2) 1 第五节 函数的微分与线性逼近 2ln1,xC0.04010.04 2( 0 3(必要非充分 4( 1( 2x2(sin2cos2)exxx,, 5( B 6( A 7( D 8( B ln()2xy,,dydx,2,f(1)0.5,dyydx,cotln()3
17、xy,,9( 10( 11( 22,2(2)(2)xxfx,2.005212(线性主部是 13( dx第二章测验题 113xxxeC,arctansin25,223一、1( 2( 充要 3( 4( ,x,,2(ln2cos33sin3)xx5( 二、1( D 2( C 3( A 4( D 22yy22yy,,41exey,,,(42)2ydyt1,,ye,23y32(21)yy,(2)yxe,,dxt4三、1(或) 2( 1,x,0,x,1,fx(),122,,,sinsincos0xxxx2,fxxfx()(),xx,0003( 4( dF2,2cos(sin)(sin)(sin)xfxfx
18、ffx()nxfxexn()(),,dx5( 6( ,cos0xx,fxx()10,xxx3dydx,,,(arctan),x,22,ex039x,,ab,19,x7(,8( sinx,f(1)2,9( 10( (cos)(coslncossintan)xxxxxdx,h,tx四、(1)用,分别表示时刻梯子下端与墙的水平距离,上端与地面的垂直距离及dxdh220xh,,,22xh,,25x,3h,4tdtdt梯子与墙面的夹角,则,两边对求导得,将,dxdhxddx,1,0.5,0.375sin,cos,t5dtdtdtdt5及代入得:; (2),两边对求导得, dx,0.5cos0.5,dt将
19、,代入得: d,0.5dt 第三章 习题答案与提示 第一节 微分中值定理 ,14291( 否 2( 是 3( 1 4( B 5( D 6( C 11,f(x),022f(x),arcsinx,arccosx,x,1,11,x1,x7(令,于是当时, ,(0)()()f,fx,fx,f(x),Cx,1222 于是,得;当时,综上结论成立 1c,f(x),lnx28(设,用拉格朗日中值定理 9( 10(略 F(x),f(x),x,f(x)F(x),f(x),nis2xF(0),0011(令,用罗尔定理 12(设,则, F(1),f(x)f(x),0F(x),,0,1,,0,100:(1)若,在上满
20、足罗尔定理条件,使2,f(x),0F(x),F(1),(1,x)f(x),0,f(,),f(x)F(,),000000,得;(2)若, ,,x,1F(,),0F(x),,0,,,0,0由零点定理,使,于是在上满足罗尔定理,,f(,),f(x)F(,),00使,也得 ,f(b),f(a)f(),lnblna(lnx),x,13(略 14(即证明 第二节 罗必达法则 111,6221( 2( 3( 1 4( 1 5( 1 (不可用罗必达法则) 6( 2 7( 8( 1 9( 1 10( 1 xxxaaa,?,112nexp(limln(),0xxn11(原式=(指数的极限用罗必达法则)xxxxxx
21、,aaaaaaaaalnlnln?,112n1122nn,exp(lim(),x,0nn,, xxxaaaaaaaaalnlnlnlnlnln,?,?,1122nn12nexp(lim)exp(),xxx,x0naaa,?,12n f(x)nn,exp(lnaa?a),aa?a)exp(f(x),e12n12n 其中记号 f(x)x,012(在点处连续 13( B 第三节 泰勒公式与函数的高阶多项式逼近 23nxxxxnxexox,,()n,1!2!(1)!1. 234fxxxxx()5621(4)37(4)11(4)(4),,,,,,,,,2. 1111,2366!3. (1) (2) (3
22、) (4) 4. 36 45nxxx,31nn()(1)(),,,,fxxox232,n5. 函数的麦克劳林展式为, ()1nn,f(0)(1),n!()1nn,f(0)(1)nxnn!2,n2 比较的系数有,所以有 第四节 函数的单调性与凸性 ,,,,1,),,(0,11. (1) 单调递增区间是,单调递减区间是 (2) 单调递减区间是 2,2,2e,(,2,2,),,,2. (1) 上凸区间,下凸区间,拐点坐标 520,55327, (2) 上凸区间,下凸区间,拐点坐标 (,),,3313fxxxx()tan,2222,fxxxxx()sec1tan0,33. (1) 令,则,下略 ftt
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