最新高等数学复旦大学出版社习题答案四优秀名师资料.doc
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1、高等数学复旦大学出版社习题答案四习题四 1. 利用定义计算下列定积分: b(1) xxab d ();, ,aiba(),解:将区间a, bn等分,分点为 xain,,, 1,2,1;?inba,记每个小区间长度为取 ,xx,xin, 1,2,?,xii,1iiin则得和式 nnibabann,,()2(1), fxabaaba()()(),,,,,ii2nnn2,11ii由定积分定义得 2nb()(1)bann,,xxfxaba dlim()lim(),,,ii2,a,0n2ni,1 122 ().,ba21x(2) ed.x ,0i1解:将区间0, 1 n等分,分点为记每个小区间长度取 (
2、1,2,1),x,xin,?iinn则和式 ,xin (1,2,),?iiinn1nfxe,() ,iin,11iiin12n111xnnnnx,,?edlimelim(eee),0nn,nni1,11nnnn1e(1e)1e(e1), ,limlim11nn,nnnn1ee1,1e(e1),1n,lime1.n,1nn2. 利用定积分概念求下列极限: 111,(1)lim ,?,n,,,nnn,122,90 111,1111,?,x,limdln2.解:原式 ,xln(1)n12,00n,,,111,,nx1,nnn,12 nnn,?(2)lim(2).2n,,,n131,1212n22解:
3、原式 xx,lim.d.?,x,0n,,,n3nnn3,03. 用定积分的几何意义求下列积分值: 1(1)2 dxx; ,0解:由几何意义可知,该定积分的值等于由x轴、直线x=1、y=2x所围成的三角形的面积,故原式=1. R22(2)d(0)RxxR, . ,0解:由几何意义可知,该定积分的值等于以原点为圆心,半径为R的圆在第一象限内的面12积,故原式=. R44. 证明下列不等式: 2e22(1)eelnd2(ee),xx; ,e22ee,x1lne.,x证明:当时,即 lnelnlne,x由积分的保序性知: 222eeedlnd2dxxxx, ,eee2e22eelnd2(ee).,xx
4、即 ,e12x1ede.,x(2) ,02x01.,x1ee,证明:当时, 1112xdededxxx,由积分的保序性知: ,00012x1ede.,x即 ,05. 证明: 1nx2limd0;,x(1) ,0n,1,xnx1n0,x证明:当时, 0,x21,x91 11xn11nn,122,0d(),xx于是 ,00,n12,1x11n,1而 ,lim()0,n,n,121nx2limd0.,x由夹逼准则知: ,0n,1,xn4(2) limsind0.xx,0,n证明:由中值定理得 nn44xx,其中 sindsin(0)sin,0,0444nn4xx,?故 limsindlimsin0
5、( 0sin1).,0,nn46. 计算下列定积分: 4(1)d;xx ,343822解:原式. ,23x33322(2)dx; ,xx,1012222,,,,,()d()d()dxxxxxxxxx解:原式 ,101012111111,322332,,xxxxxx,322332,101 51511,,,.6666,xx,0,2fx(),(3)()dfxx,其中 ,0,sin,xx,;,222122,,,,xxxxxxdsindcos1.解:原式 ,02820222(4)max1,d;xx ,292 ,12,11220112233解:原式 ,,,,,xxxxxddd2.xx,211333,212
6、 (5)1sin2 d.,xx,0242解:原式 ,,,d(cossin)d(sincos)dxxxxxxxsincosxx,00424 ,,,(sincos)(cossin)2(21).xxxx047. 计算下列导数: 2xd2 ,tt(1)1d,0xd4,,21xx. 解:原式3xddt(2) 2,4xdx1,t232xxdddd32ttxx解:原式 ,.,4412800ddxx1111,ttxxt2,xuu,sind,dy,08. 求由参数式所确定的函数y对x的导数. ,t2dx,yuu,cosd,0,dy2dcosyt2dt,cot.t解: 2dxdsinxtdtyxtyyx,()ed
7、cosd0ttt,,9. 求由方程所确定的隐函数的导数. ,00解:方程两边对x求导,有 y, ecos0,,,yxye1sin,x又 cosx,故 . y,sin1x,10. 求下列极限: x2ln(12)d,tt,0(1)lim; 3,x0x93 12ln(12)22,x22x2解:原式,,,limlimln(12).x 3,xx00333x2x2t,edt,0,(2)lim. x20x,2ttted,0xx222txt2edeedtt,1,00,lim2lim2lim2.解:原式 2222xx,000xxx12,xxxee2x1t11. a, b, c取何实数值才能使 成立. ,limd
8、tc,b2,x0,sinxax,1tx,0sin0xax,解:因为时,而该极限又存在,故b=0.用洛必达法则,有 0,1,a,22xx1, limlim,2x2xx,00coscosxaxa,lim2,1.,a1,x,x,0,sinx,abc,1,0,2所以 abc,1,0,0或 . 12. 利用基本积分公式及性质求下列积分: 2(1)(5)dxxx,; ,51732102222解:原式,,xxxxxxcd5d. ,73xx(2)3edx; ,x(3e)xxc,,(3e)d.解:原式= ,ln(3e)32, (3)d;x2,21,x1,x,11解:原式=3d2d3arctan2arcsin.x
9、xxxc,, 2,21,x1,x2x(4)d;x 2,1,x211d,,xx解:原式= ddarcsin.xxxxc,,22,11,xx94 x2; (5)sindx,21cos1,xx 解:原式=dsin.xxc,,,2221, (6)d;xxx1,2x,3571,44444,,解:原式= xxxxxxcdd4.,7dx (7);2,x1,2解:原式=. ,,xxcd,x(8)d;xxx ,35222解:原式=. xxxcd,,,5dx (9);,2xx25,232,,解:原式=. xxxcd,32(10)(32)d;xxx,, ,1332解:原式= xxxc,,2.3242331xx,(1
10、1)d;x 2,x,1123解:原式= 3ddarctan.xxxxxc,,,2,x,13,xx(12)d; ,2e,x,x2e3ln.,xc解:原式= ,x,ex x(13)ed;1,x,1xx解:原式=xxxc,, edde2.,x95 xx,2352x (14)d;x,3xx522,解:原式=. xxxc,,2d5d2,2,33ln3(15)sec(sectan)dxxxx,; ,2secdsectandtansecxxxxxxxc,,解:原式=. ,1; (16)dx,1cos2,x1112解:原式=. dsecdtanxxxxc,,2,2cos22xcos2x; (17)dx,cos
11、sinxx,(cossin)dsincos.xxxxxc,,,解:原式= ,cos2x. (18)dx22,cossinxx11解:原式= ddcottan.xxxxc,,22,sincosxx13. 一平面曲线过点(1,0),且曲线上任一点(x, y)处的切线斜率为2x,2,求该曲线方程. ,yx,22解:依题意知: 2两边积分,有 yxxc,,22又x=1时,y=0代入上式得c=1,故所求曲线方程为. yxx,,2114. (略). 15. 利用换元法求下列积分: 2(1)cos()dxxx; ,11222解:原式= cosdsin.xxxc,,,22sincosxx,; (2)dx,3s
12、incosxx,12,333,,解:原式= (sincos)d(sincos)(sincos).xxxxxxc,296 dx; (3)2,21x,11111,解:原式= dlnlnxc,,2121xx,,,22121xx,,2222,121x, ,,ln.c2221x,3(4)cosdxx; ,123解:原式= (1sin)dsinsinsin.,,xxxxc,3x; (5)coscosdxx,2113x3x,解:原式= dsinsin.xxc,,coscosx,,2322,22(6)sin2cos3dxxx; ,111解:原式= (sin5sin)dcoscos5.xxxxxc,,,2210
13、2arccosx10; x(7)d,2,x1,112arccos2arccosxx解:原式= xc,,10d(2arccos)10.,22ln101ln,x; (8)dx2,(ln)xx1,2解:原式= ,,(ln)d(ln).xxxxc,xxlnarctanx; (9)dx,xx(1),22arctand(arctan)(arctan).xxxc,,解:原式= ,lntanx; (10)dx,cossinxx12解:原式= lntand(lntan)(lntan).xxxc,,,2,5x(11)edx; ,1,5x解:原式=. ,,ce597 dx; (12),12,x1 解:原式=,,ln
14、.c12,x2sint; (13)dt,t2sind2cos.tttc,,解:原式= ,102(14)tansecdxxx; ,11011解:原式= tand(tan)tan.xxxc,,,10dx; (15)2,xxln,1,2解:原式= (ln)d(ln).xxc,,,lnxx2(16)tan1d,,xx; ,21,x222解:原式= tan1d(1)ln.,,,xxccos1,x,dx; (17),sincosxxddtanxx解:原式= ,,ln.ctanx2,tancostanxxx2,x; (18)edxx,2211,xx2解:原式= ,,xced()e.,2210(19)(4)d
15、xx,; ,111解:原式=. (4)xc,11dx(20); ,323,x12,1133,,解:原式=. (23)d(23)(23)xxxc,322(21)cos()dxxx; ,1122解:原式= dxxcsin()sin().,,,2298 ax,(22)dx; ,ax,x,d1,ax1,a2222,2 解:原式=d()d()xaaxax,2222ax,x,1,a,x22 ,,aaxcarcsin.adx; (23)xx,,eexd(e)x,,carctane.解:原式= 2x,1(e),lnx; (24)dx,x12解:原式= lnd(ln)(ln).xxxc,,,223(25)sin
16、cosdxxx; ,112235解:原式= sin(1sin)d(sin)sinsin.xxxxxc,,,35dx(26); ,42xx,132seccos1sinttt,令xt,tan解:原式 ddd(sin)ttt,444,tansinsinttt11 ,,c,33sinsintt1xcos,sintt,又 2211,xx22(21)1xx,,,,c.故上式 33xdx; (27),12,xt令2xt,解:原式 dln|1|2ln(12).,,,,tttcxxc,1,t2x,9d;x(28) ,x99 令xt,3sec22解:原式, 3tand3(sec1)d3tan3ttttttc,,,
17、213x,2又tan19,arccos,txt, ,3x3,32故上式=. xc,,93arccosxdx; (29),23(1)x,2sect令xt,tan,,解:原式, dcosdsinttttc3,sectx2sint,sec1tx,,又, 所以, 21,xx,,c故上式. 21,xdx(30). ,2xx,,1cost令xt,sin解:原式 ? dt,,sincosttsint ? dt,sincostt,? + ? = t + c1 ? , ? = ln |sin t+cos t| + c2 故 cos1ttdlntc,,sincostt,,sincos22tt, 112,,arcs
18、inln.xcxx,,12216. 用分部积分法求下列不定积分: 2(1)sindxxx; ,222,,,,xxxxxxxxxxxdcoscos2cosdcos2dsin解:原式= ,2,,xxxxxccos2sin2cos. ,x(2)edxx; ,xxxxx,,,,xxxxcdeeedee.解:原式= ,100 (3)lndxxx; ,111112222解:原式=. lndlndlnxxxxxxxxxc,,,222242(4)arctandxxx; ,3111x33解:原式= arctandarctandxxxxx,2,3331,x111322 ,,xxxxcarctanln(1).366
19、(5)arccosdxx; ,x2xxxxxxcarccosdarccos1,,,解:原式=. ,21,x2(6)tandxxx; ,11222解:原式= xxxxxxxxxxx(sec1)ddtantantand,2212 ,,,,xxxctanln.cosx2,x(7)ecosdxx; ,xxxxecosdedsinesinesindxxxxxx,,解: ,xxxxx,esinedcosesinecosecosdxxxxxx ,1,x?原式= xxc,,e(sincos).2(8)sincosdxxxx; ,1111解:原式= xxxxxxxxxsin2ddcos2cos2cos2d,,,
20、244411. ,,xxxccos2sin2483(ln)x(9)dx; 2,x111,332,(ln)d(ln)3(ln)dxxx解:原式= ,xxx,131,32,(ln)(ln)6lndxxx ,xxx,101 136632 ,,(ln)(ln)ln.xxxcxxxx22. (10)dxax,,xat,tan23attsecd.解:原式 ,32secdsec(tan1)dtand(sec)secdttttttttt,,,,又 ,3,,tansecsecdlntttt sectantt,,113,所以 secdtanseclnttttc,,sectantt,,2211222222故 xax
21、xxac,,,dln.xxa,,2217. 求下列不定积分: 2x,1(1)dx; 2,(1)(1)xx,,11,111,1 解:原式=dlnlnxc,,xx,,1122,,,x,1222(1)(1)(1)xxx,,112 ,,ln.cx,1x,123dx; (2)3,x,111112,,x,2解:原式=dlnlndxx,, ,x,1xx,,1,2,2221xx,,xxx,,,11,xx,,1321. ,,lnarctanc233xx,,154xx,,8(3)dx; 3,xx,843,2dx解:原式= xx,,1,xxx,,11,1132 ,,,,xxxc8ln4ln3ln.xxx,,1132
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