最新高等数学复旦大学出版社习题答案三优秀名师资料.doc
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1、高等数学复旦大学出版社习题答案三习题三 5fxx()lnsin,1. 验证:函数在上满足罗尔定理的条件,并求出相应的,使,66,f()0,. 555fxx()lnsin,证:在区间上连续,在上可导,且,,(,)ff()()ln2,66666655,f()0,即在上满足罗尔定理的条件,由罗尔定理,至少存在一点使.,(,),6666cosx5,f()0,事实上,由得故取,可使. ,fxx()cot0,x,(,),2sinx266,2. 下列函数在指定区间上是否满足罗尔定理的三个条件,有没有满足定理结论中的, 2,xx, 01,? ; fx() 0,1 ,0, 1, x,fxx()1, 0,2 ,?
2、 ; sin, 0xx,? fx() 0, . ,1, 0, x,fx()fxxx()2(01),0,1解:? 在上不连续,不满足罗尔定理的条件.而,即,f()0,在(0,1)内不存在,使.罗尔定理的结论不成立. xx,1, 12,? fx(),1, 01.,xx,f(1)fx()(0,2) 不存在,即在区间内不可导,不满足罗尔定理的条件. 1, 12,x, 而 fx(),1, 01.x,f()0, 即在(0,2)内不存在,使.罗尔定理的结论不成立. ff(0)1(,)=0fx()0, ? 因,且在区间上不连续,不满足罗尔定理的条件. ,fxxx()cos(0,)f()0, 而,取,使.有满足
3、罗尔定理结论的,2. ,2故罗尔定理的三个条件是使结论成立的充分而非必要条件. fxxxxxx()(2)(1)(1)(2),,3. 函数的导函数有几个零点,各位于哪个区间内, fffff(2)(1)(0)(1)(2)0,,则分别在,2,,1,,1,0,解:因为0,1,1,2上应用罗尔定理,有,(2,1),(1,0),(0,1),(1,2),1234,fx()使得.因此,至少有4个零点,且分别ffff()()()()0,1234(2,1),(1,0),(0,1),(1,2),位于内. 34. 验证:拉格朗日定理对函数在区间0,1上的正确性. fxxx()2,,fx() 验证:因为在0,1上连续,
4、在(0,1)内可导,满足拉格朗日定理的条件. 2,fff(1)(0)()(10),由得 322,,,11解得,即存在使得拉格朗日定理的结论成立. ,33,fx()fafx()0,()0,fbfa()(),5. 如果在a,b上连续,在(a,b)内可导且证明:. ,fx()证明:因为在a, b上连续,在(a,b)内可导,故在a,x上应用拉格朗日定理,,fxfa()(),,,(,),()axaxb则,使得, ,f()0,xa,fxfa()()0,fbfa()(),于是,故有 ,fafcfb()()(),fx()acb,6. 设,且,在a,b内存在,证明:在(a,b)内至少,f()0,有一点,使. ,
5、fx()fx() 证明:在a,b内存在,故在a,b上连续,在(a,b)内可导,且,fafcfb()()(),,故由罗尔定理知,使得,,(,)acf()0,,,(,)cb112,fx()使得,又在上连续,在内可导,由罗尔定理知,f()0,(,),21212,f()0,f()0,,使,即在(a,b)内至少有一点,使. ,,(,)12fx()fafb()()0,7. 已知函数在a,b上连续,在(a,b)内可导,且,试证:在(a,,b)内至少有一点,使得 ,ffab()()0, (,),,,. xFx()FaFb()()0,证明:令在a,b上连续,在(a,b)内可导,且,Fxfx()()e,,,(,)
6、abF()0,由罗尔定理知,使得,即,即ff()e()e0,,,ffab()()0, (,).,,, 8. 证明恒等式: 2x 2arctanarcsinxx,, (1).21,x2x, 证明:令fxx()2arctanarcsin,,21,x2212(1)22,,xxx,fx(),,,2221(1),xx2x21(),2 1,x22 0,2211,xx2xfxC(),fx(),f(1),故,又因,所以,即 2arctanarcsinx,,.21,x,fxx()sin,gxxx()cos,,9. 对函数及在上验证柯西定理的正确性. 0,2,fx()gx()gxx()1sin0,验证:,在上连续
7、,在内可导,且,满0,(0,)22足柯西定理的条件. ff()(0),f(),2cos,2,由 ,得 , cot(),g(),21sin42,gg()(0),2,2故满足柯西定理的结论. ,2arctan(0,)222fx(),ab(1)n,(,)ab10. 设在上有阶连续导数,在内有阶导数,且n(1)n,(,)ab,试证:在内至少存在一点,使fbfafafa()()()()0.,?()n. f()0,fx(),ab证明:首先,对在上应用罗尔定理,有,即,使得aab,(,)aab,11,fx(),ab;其次,对在上应用罗尔定理,有,即, fa()0,aab,(,)aaab,12112,(,)a
8、bn,1使得一般地,设在内已找到个点其中fa()0; ,?aaa,?2121n,(1)n,(1)n,使得,则对在上应用fa()0,aaaab,?,fx()0,ab121n,n,1n,1()n使得. 罗尔定理有,(,)(,),ababf()0,n,111. 利用洛必达法则求下列极限: sin3xlnsinx? ; ? ; limlim3x,tan5x(2)xx,2xe1,xsinsinxa,lim? ; ? ; limxx,0xa,x(e1),xa,1,ln(1)mmxa,x? lim; ? ; limnn,x,,,xaxa,arcxcotlnxlimsinlnxx? ; ? ; lim,x,0
9、x,0cotxxe11x,? ; ? ; lim()lim(ln)x,,0x,0xx,e1x12xx? ; ? ; lim(1sin),x,xlim(arctan),,,xx0332limlnln(1)xx,,lim(1)xxxx,,? ; ? ; ,x,,,x,01xxsinsinxee,2xlim()lim? ; ? ; ,x,0x0xxx,sin111xx,x? lim(1). ,xe03cos33x解:? 原式=. ,lim2x,5sec55x21cot1csc1xx,? 原式=. ,limlim4-2428x,xx,22xxe1e11,? 原式=. limlimlim,xxxx,00
10、0xxxxxxe1e2ee22,,cosx? 原式=. ,limcosaxa,1m,1mxmmn,lim,? 原式=. an,1xa,nxnx1,()221,x,1xx,? 原式=limlim1. 2xx,,,,,1xx,,2,1x12xsinx? 原式=. ,limlim02,xx,00,xxcsc1xlnx? 原式=. ,limlim0,xx,00,xxxcsccsccot22xxxx2xxeeee,xx2ee1,lim=lim 原式? =limx2,xx00,x0xx(e1),x22xx4ee3, . =lim,x,022x? 原式= lim(1ln),x,,0xx 令 yx,(1ln)
11、11,()x,ln(1ln)xx,1lny,limlnlimlim,xxx,00011,2 xxx1, limlim0,xx,001x,1ln,x0 ?原式=. lime1y,,x,02x? 令,则 yx,(arctan)211,,xlnlnarctan2xx,arctan1y,limlnlimlimxxx,,,,,,,11, 2xx2x12, lim2x,,,xx,arctan12, ?原式=. e1xyx,,(1sin)? 令,则 cosx,ln(1sin)x,1sinx ,limlnlimlim1yxxx,000x1,e=e ?原式=. 1lnxx,x? 原式=lim=lim()0 ,l
12、im(ln)limxx,xx,00xx,0011,2xx1113,,1123xxx? 原式 ,limx,,,1x2,11111,23423,,,,xxxx =lim(1)(23)=23x,,,xxx33sinsinxxx,sinxe(e1),e(sin),xx0? 原式 ,lim=lim=e=1,x,0x0xx,sinxx,sin12sinxxy,()? 令,则 x11cosx,xx,lnsinlnsinxxlimlnlimlimy,2xxx,000xx2xxxxxxcossincossin, limlim, 23xx,002sin2xxx2cossincos1xxxxx, limlim.,2
13、2xx,00666xx1,6?原式=. e11111xxxyx,,yx,,,? 令,则lnln(1)1 (1)xe1,1xx,,ln(1)x1,ylimlnlimlim,2xxx,000 xx2111, lim.x,0,x21212. 求下列极限问题中,能使用洛必达法则的有( ). 12xsinkxx? ; ? ; limlim(1),x,,,0xsinxxxx,ee,xx,sin? ; ? lim.limxx,x,x,,,ee,xx,sin1112xx,sin2sincos11xxx解:? ?不存在,(因,为有界函数) ,cossinlimlimxx,00xxxxsincos12xsin1x
14、 又, ,xlimlimsin0xx,00xxsin故不能使用洛必达法则. xxx,sin1cos? ?不存在, limlim,xx,xxx,sin1cossinx1,xx,sinx, 而limlim1. xx,sinxxx,sin1,x故不能使用洛必达法则. xxxxxx,eeeeee,,,? ? limlimlim,xxxxxx,xxx,,,,,,,eeeeee,,,利用洛必达法则无法求得其极限. xxx,2ee1e,而limlim1,. xxx,2xx,,,,,ee1e,故答案选(2). 2xmxn,lim513. 设,求常数, 的值. mnx,11x,2xmxn,2lim510,,mn
15、解:要使,成立,则,即 lim()0xmxn,,x,1x,11x,2xmxnxm,2又 limlim25,,,mxx,11x,11mn,3,4得 fxhfxfxh()2()(),,,,fx()14. 设二阶可导,求. lim2h,0h解: ,fxhfxfxhfxhfxh()2()()()(),,,,,,limlim,2hh,00hh2,1()()()()fxhfxfxhfx,, lim,,h,02hh,fxhfxfxhfx()()()(),,1 mlim, li,hh,00hh,21, ()(),,fxfx2, ().,fx15. 确定下列函数的单调区间: 32(1) ; yxxx,26187
16、(,),,,解:所给函数在定义域内连续、可导,且 2, yxxxx,,,612186(1)(3),(,1),(1,3),(3,),,,y,在内,分别取+,+可得函数的两个驻点:xx,1,312(,1,3,),,,1,3,号,故知函数在内单调增加,在内单调减少. 8(2) ; yxx,,,2 (0)x8,x,0解: 函数有一个间断点在定义域外,在定义域内处处可导,且,则函数y,22x,y,02,),,2,),,(0,2yx,2有驻点,在部分区间内,;在内0,故知函数在内单(0,2调增加,而在内单调减少. 2yxx,,ln(1)(3) ; 1,(,),,,(,),,,y,0解: 函数定义域为,,故
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