最新高考冲刺数学专题复习资料汇编:平面向量篇优秀名师资料.doc
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1、2012高考冲刺数学专题复习资料汇编:平面向量篇第六部分平面向量 第六部分平面向量 知识点总结精华 1.本章知识网络结构 2.向量的概念 (1)向量的基本要素:大小和方向. (2)向量的表示:几何表示法 ;字母表示:a; AB坐标表示法 a,,,j,(,,,). (3)向量的长度:即向量的大小,记作,a,. (4)特殊的向量:零向量a,O,a,O. ,单位向量a为单位向量,a,1. ,OO,xx,12,(5)相等的向量:大小相等,方向相同 (,,,),(,,,) 1122,y,y12,(6) 相反向量:a=-bb=-aa+b=0 ,(7)平行向量(共线向量):方向相同或相反的向量,称为平行向量
2、.记作a?b.平行向量也称为共线向量. 3.向量的运算 运算类型 几何方法 坐标方法 运算性质 ,abba,,, ,向量的 1.平行四边形法则 abxxyy,,,(,)()()abcabc,,,1212加法 2.三角形法则 AB,BC,AC ,abab,,,(),向量的 三角形法则 abxxyy,(,)1212,减法 OB,OA,ABABBA, , ,()()aa,a1.是一个向量,满,数 足: |,aa,(),,,,aaa,乘 ,axy,(,),向 ,()abab,,,,aa与2.0时, 同向; 量 ,aaabab/,与0时, 异向; / 24 203 ,=0时, . ,a,0, abba,
3、是一个数 ab,向 , ()()(),ababab,量 1.时, ab,00或,的 , abxxyy,,()abcacbc,,,,1212数 . ab,0,量 2,222aaaxy,,|=即 ab,00且时,积 2. ,ababab ,|cos(,) |abab,4.重要定理、公式 (1)平面向量基本定理 e,e是同一平面内两个不共线的向量,那么,对于这个平面内任一向量,有且仅有一12对实数, 1,使a,e,e. 21122(2)两个向量平行的充要条件 a?ba,b(b?0)xy,xy,O. ,1221(3)两个向量垂直的充要条件 a?ba?b,Oxx,yy,O. ,1212(4)线段的定比分
4、点公式 设点P分有向线段所成的比为,即,,则 PPPPPP121211OP,, (线段的定比分点的向量公式) OPOP121,,1,,x,x,12x,1, (线段定比分点的坐标公式) ,yy,12,y,.,1,,当,1时,得中点公式: xx,,12x,1,2OP,(,)或 OPOP,122yy,12,y,.,2,(5)平移公式 设点P(x,y)按向量a,(,,,)平移后得到点P(x,y), / 24 204 ,x,x,h,则,+a或 OPOP,y,y,k.,曲线y,f(x)按向量a,(,,,)平移后所得的曲线的函数解析式为: y,f(x,) (6)正、余弦定理 abc正弦定理: ,2R.sin
5、AsinBsinC222余弦定理:a,b,c,2bccosA, 222b,c,a,2cacosB, 222c,a,b,2abcosC. (7)三角形面积计算公式: 设?ABC的三边为a,b,c,其高分别为h,h,h,半周长为P,外接圆、内切圆的半径为abcR,r. ?S=1/2ah=1/2bh=1/2ch ?S=Pr ?S=abc/4R ?abc?S=1/2sinC?ab=1/2ac?sinB=1/2cb?sinA ?S= 海伦公式 ,PP,aP,bP,c?S=1/2(b+c-a)r如下图=1/2(b+a-c)r=1/2(a+c-b)r ?acbA注:到三角形三边的距离相等的点有4个,一个是内
6、心,其余3个是旁心. 如图: AAFE cAcb bOCacBNDbCF BEDBaCraFI raCarBaE I图3图21图图4 图1中的I为S的内心, S=Pr ?ABC?图2中的I为S的一个旁心,S=1/2(b+c-a)r ?ABC?a附:三角形的五个“心”; 重心:三角形三条中线交点. 外心:三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心:三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心:三角形三边上的高相交于一点. 旁心:三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点. a,b,c?已知?O是?ABC的内切圆,若BC=a,AC=b,AB=c 注:s为?ABC的半周长,即 2s,a则:?AE=1
7、/2(b+c-a) s,b?BN=1/2(a+c-b) s,c?FC=1/2(a+b-c) 综合上述:由已知得,一个角的邻边的切线长,等于半周长减去对边(如图4). / 24 205 a,b,cab特例:已知在Rt?ABC,c为斜边,则内切圆半径r=(如图3). ,2a,b,c?在?ABC中,有下列等式成立. tanA,tanB,tanC,tanAtanBtanCtanA,tanBA,B,C,证明:因为所以,所以,结论 ,tanA,B,tan,C?,tanC1,tanAtanB22ACBD,ABBC2?在?中,是上任意一点,则. ABCDBCAD,BD,DCBC222证明:在?ABCD中,由余
8、弦定理,有AD,AB,BD,2,AB,BDcosB?? 222AB,BC,AC在?ABC中,由余弦定理有?,?代入?,化简 cosB,?2AB,BC22AACBD,ABBC2可得,(斯德瓦定理) AD,BD,DC图5BC1222?若AD是BC上的中线,m,2b,2c,a; a22BC?若AD是?A的平分线,其中为半周长; p,t,bc,pp,aDab,c2?若AD是BC上的高,其中为半周长. p,h,pp,ap,bp,caa?ABC的判定: 222,c,a,b,?ABC为直角?A + ?B = ,2,222ca,b,?ABC为钝角?A + ?B, ,2,222ca,b,?ABC为锐角?A +
9、?B, ,2222abc,,222222附:证明:,得在钝角?ABC中, cosC,cosC,0,a,b,c,0,a,b,c2ab?平行四边形对角线定理:对角线的平方和等于四边的平方和. 2222a,b,a,b,2(a,b) 空间向量 1(空间向量的概念: 具有大小和方向的量叫做向量 注:?空间的一个平移就是一个向量 ?向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 ?空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 2(空间向量的运算 定义:与平面向量运算一样,空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下 ,OB,OA,AB,a,b ,BA,OA,OB,a,b , OP,a(,R)/
10、 24 206 ,运算律:?加法交换律: a,b,b,a,?加法结合律: (a,b),c,a,(b,c),?数乘分配律: ,(a,b),a,,b3共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平,a行向量(平行于记作( ba/b,aaa当我们说向量、共线(或/)时,表示、的有向线段所在的直线可能是bbb同一直线,也可能是平行直线( 4(共线向量定理及其推论: ,aa共线向量定理:空间任意两个向量、(?),/的充要条件是存在实数bb0b,a,使,b. ,la推论:如果为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线,那么对于任意一点O,l在直线上的充要条件是存在实数满
11、足等式 点Pt,a( OP,OA,t,al其中向量叫做直线的方向向量. 5(向量与平面平行: ,aOAOAa,已知平面和向量,作,如果直线平行于或在内,那么我们说向量,aa/,平行于平面,记作:( ,通常我们把平行于同一平面的向量,叫做共面向量 说明:空间任意的两向量都是共面的 6(共面向量定理: ,xy,如果两个向量不共线,与向量共面的充要条件是存在实数使pab,ab, pxayb,,PMABxy,推论:空间一点位于平面内的充分必要条件是存在有序实数对,使,O或对空间任一点,有 ? MPxMAyMB,,OPOMxMAyMB,,MAB?式叫做平面的向量表达式 7空间向量基本定理: ,p如果三个
12、向量不共面,那么对空间任一向量,存在一个唯一的有序实数组abc,xyz,,使 pxaybzc,,P推论:设OABC,是不共面的四点,则对空间任一点,都存在唯一的三个 ,xyz,有序实数,使 OPxOAyOBzOC,,/ 24 207 8空间向量的夹角及其表示: ,O,AOBa已知两非零向量,在空间任取一点,作,则叫做向量与ab,OAaOBb,的夹角,记作;且规定,显然有;若b,ab,0,ab,abba,a,则称与互相垂直,记作:. ,ab,bab,29(向量的模: ,a设,则有向线段的长度叫做向量的长度或模,记作:. OAa,OA|a,10(向量的数量积: ( ab,|cos,abab,lel
13、ll已知向量AA和轴,是上与同方向的单位向量,作点在上的射影,ABa,lleBB作点在上的射影,则叫做向量在轴上或在上的正射影. ABAB,可以证明的长度( AB|cos,|ABABaeae,11(空间向量数量积的性质: ,2(1)(2)abab,0(3)( aeaae,|cos,|aaa,12(空间向量数量积运算律: ,abba,(1)(2)(交换律)(3)()()(),ababab,abcabac,,,,,()(分配律)( 空间向量的坐标运算 一(知识回顾: (1)空间向量的坐标:空间直角坐标系的x轴是横轴(对应为横坐标),y轴是纵轴(对应为纵轴),z轴是竖轴(对应为竖坐标). a?令=(
14、a,a,a),,则 b,(b,b,b)123123a ?a,b,(a,b,a,b,a,b),a,(,a,a,a)(,R)a,b,ab,ab,abaaa312, b,a,b,a,b,a,b(,R)a,b,ab,ab,ab,0112233112233bbb1232222a,a,a,a,a,aa,a,a,a,a,a(用到常用的向量模与向量之间的转化:) 213,ab,ab,ab,a,b112233cos,a,b, ,222222|a|,|b|a,a,a,b,b,b123123222?空间两点的距离公式:. d,(x,x),(y,y),(z,z)212121aa,(2)法向量:若向量所在直线垂直于平面
15、,则称这个向量垂直于平面,记作,/ 24 208 如果那么向量叫做平面的法向量. a,a,(3)用向量的常用方法: ?利用法向量求点到面的距离定理:如图,设n是平面的法向量,AB是平面的一条射,|AB,n|线,其中,则点B到平面的距离为. ,A,|n|?利用法向量求二面角的平面角定理:设分别是二面角中平面的法向量,,l,n,n12则所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小(方向相同,则为补角,n,nn,nn,n121212反方,则为其夹角). A,B,a,C,D,?证直线和平面平行定理:已知直线平面,且CDE三点不共线,a,则a?的充要条件是存在有序实数对,使.(常设求,AB,CD,,CEA
16、B,CD,,CE解,若,存在即证毕,若,不存在,则直线AB与平面相交). BAB?nn1?C,Dn,2E,AC, 内心是三条角平分线的交点,它到三边的距离相等。 外心是三条边垂直平分线的交点,它到三个顶点的距离相等。 (是充要条件) 重心是三条中线的交点,它到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。 垂心是三条高的交点,它能构成很多直角三角形相似。 与三角形的“四心”有关的一些常见的重要的向量关系式有: ABAC,(,)? 设,则向量必平分?BAC,该向量必通过?ABC的内心; ,0,,,ABACABAC,(,)? 设,,0,,,,则向量必平分?BAC的邻补角 ABACABAC,(,),? 设,0
17、,,,,则向量必垂直于边BC,该向量必通过?ABCABcosBACcosC的垂心 ,BCAB,AC? ?ABC中一定过的中点,通过?ABC的重心 222O? 点是?ABC的外心 ,OA,OB,OC/ 24 209 O? 点是?ABC的重心 ,OA,OB,OC,0O? 点是?ABC的垂心 OA,OB,OB,OC,OC,OA,O? 点是?ABC的内心 (其中a、b、c为?ABC三边) ,a,OA,b,OB,c,OC,0OGH? ?ABC的外心、重心、垂心共线,即?OH OGO? 设为?ABC所在平面内任意一点,G为?ABC的重心,I为?ABC的内心, aOA,bOB,cOC1OG,(OA,OB,O
18、C)OI,则有 3a,b,cX+X+XY+Y+YaX+ bX+ cXay+ by+ cyABCABCABCABC并且重心G( , ) 内心I( , ) 33a+b+ca+b+c/ 24 210 试题精粹 江苏省2011年高考数学联考试题 ,ABC10(江苏天一中学、海门中学、盐城中学2011届高三调研考试)在中,AB,4,AC,2,ABC,是内一点,且满足2MA,MB,MC,0,则= AM,BCM? (-3) 7(江苏省2010届苏北四市第一次联考)在?ABC中,分别为三个内角A,B,C的a,b,c,mn对边,设向量,若?,则角A的大小为 m,(b,c,c,a)n,(b,c,a),? (3 2
19、10(江苏省2010届苏北四市第一次联考)已知,其中a,(1,sinx),b,(2,sin2x),tanxabab,x,0,,若,则的值等于 ? (1 ,11、(南通市六所省重点高中联考试卷)在?ABC中,D是BC边上任意一点(D,,A6与B、C不重合), ,22且,则等于 ? |ABADBDDC,,,,B,MAMBMC,,011. (苏北四市2011届高三第一次调研考试)在?ABC中,点M满足,,3ABACmAM,,0若 ,则实数m的值为 ? ( 讲评建议:一种思维是对已知向量向目标向量分解,一种思维是理解已知向量条件的几何意义,既点M是三角形ABC的重心,再结合,三角形向量的中线形式,此问
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