最新高考数学+常见题型解法归纳反馈训练+第03讲+函数的值域(最值)的常见求法(2)优秀名师资料.doc
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1、2018年高考数学 常见题型解法归纳反馈训练 第03讲 函数的值域(最值)的常见求法(2)第03讲 函数的值域(最值)的常见求法(2) 【知识要点】 一、函数值域的定义 函数值的集合叫做函数的值域. 二、函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采用什么方法求函数的值域,都要考虑定义域,函数的问题必须遵循“定义域优先”的原则. 三、常见函数的值域 1、一次函数的值域为. 2、二次函数,当时的值域为,时的值域为 . 3、反比例函数的值域为. 4、指数函数的值域为. 5、对数函数的值域为. 6、幂函数的值域为,幂函数的值域为. 7、正弦函数、余弦函数的值域为,正切函数的值域为. 四、求函数的值域常用的
2、方法 求函数的值域常用的方法有观察法、分离常数法、配方法、反函数法、换元法、判别式法、基本不等 式法、单调性法、数形结合法、导数法、绝对值不等式法和柯西不等式法等.其中最常用的有“三数(函数、数形结合、导数)”和“三不(基本不等式、绝对值不等式、柯西不等式)”. 五、函数的值域一定要用集合或区间来表示. 六、函数的值域、取值范围和函数的最值实际上是同一范畴的问题,所以求函数值域的1 方法适用于求函数的最值和取值范围等. 【方法讲评】 方法六 判别式法 使用情景 形如的函数. 解题步骤 一般先将函数化成二次方程,再利用判别式来求函数的值域. 【例1】求函数的值域. 【点评】(1)分子、分母中含有
3、二次项的函数类型,此函数经过变形后可以化为 的形式,再利用判别式加以判断.(2)函数经过变形后可以化为 的形式后,要注意对是否为零进行分类讨论,因为它不一定是一元二次方 程.(3)判别式法解出值域后一定要将端点值(本题是)代回方程检验,把不满足题意的舍去. 2 【反馈检测1】求函数的值域. 方法七 基本不等式法 使用情景 一般变量是正数,变量的和或积是定值. 解题步骤 一般先进行配凑,再利用基本不等式求函数的最值,从而得到函数的值域. 【例2】已知,求函数 的最小值. 【解析】.= 当且仅当,即时,上式等号成立. 因为在定义域内,所以最小值为. 【点评】(1)本题不能直接使用基本不等式,本题在
4、利用基本不等式前,要对函数化简,要用到分离函数的方法对函数进行化简,再使用基本不等式.(2)很多函数在使用基本不等式之前都要进行化简和配凑,所以要注意观察函数的结构,再进行变形,再使用基本不等式.(3)利用基本不等式求最值时,要注意“一正二定三相等”,三个条件缺一不可. 【例3】已知,求函数的最大值. 【点评】(1)基本不等式有二元基本不等式(和 3 三元不等式.(2)基本不等式不仅适用于一般函数,也适用三角函数和其它所有函数,只要满足条件,就可以利用“一正二定三相等”来分析解答. 【反馈检测2 】已知,且,则的最小值为. 【反馈检测3】【2017浙江,17】已知R,函数在区间1,4上的最大值
5、是5, 则的取值范围是_( 方法八 单调性法 使用情景 函数的单调性容易判断. 解题步骤 先判断函数的单调性,再利用函数的单调性得到函数的值域. 【例 4】求函数的值域. 【点评】(1)本题先利用复合函数的单调性确定了函数的单调区间,从而得到函数的最大值和最小值,得到函数的值域.(2)判定函数的单调性常用的有定义法、图像法、复合函数分析法和导数法,注意灵活使用. 4 【例5】求函数的值域. 【解析】令, 则在上都是增函数,所以在上是增函数 当时, 当时, 故所求函数的值域为 。【点评】(1)如果能确定函数的单调性时,可以使用函数的单调性求函数的值域.(2)本题中利用了这样一个性质:增(减)函数
6、+增(减)函数=增(减)函数.(3)本题,都是增函数,利用到了复合函数的单调性,所以要对函数单调性的判定方法比较熟练,才能做到游刃有余. 【反馈检测4】求函数的值域. 方法九 数形结合法 使用情景 函数有明显的几何意义. 解题步骤 先找到“数”对应的“形”,再利用数形结合分析解答. 【例6】求函数的值域. 5 【点评】(1)画函数的图像,要先化简解析式,再画出函数的图像.(2)本题也可以利用重要的绝对值不等式得到函数的最值,所以函数的最小值为5.(3)对于绝对值函数,一般利用零点讨论法把函数化成分段函数,再作图. 【例7】 如果函数定义在区间上,求的最小值. 6 图1 如图2所示,若顶点横坐标
7、在区间上时,有,即.当时,函数取得最小值. 图2 如图3所示,若顶点横坐标在区间右侧时,有,即.当时,函数取得最小值 图3 综上讨论, 【点评】二次函数在闭区间上的最值问题,是一种较典型的问题.如果对称轴和区间的位置关系不能确定,常利用分类讨论和数形结合分析解答. 7 【例8】求函数的值域. 因为直线和圆相切,所以 所以函数的值域为 【点评】(1)对于某些具有明显几何意义的函数,我们可以利用数形结合的方法求该函数的值域.先找到函数对应的形态特征,再求该函数的值域.(2)由于对应着两点之间的斜率(差之比对应直线的斜率),所以本题可以利用斜率分析解答. 【例9】设是上的偶函数,对任意,都有且当时,
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