《最新高考数学二轮专题复习8不等式优秀名师资料.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《最新高考数学二轮专题复习8不等式优秀名师资料.doc(26页珍藏版)》请在三一文库上搜索。
1、2012高考数学二轮专题复习8不等式新课标高考数学二轮专题复习讲义 作者:中亭侯 专题八 不等式 【考纲解读】 了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式(组)的实际背景;会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型,通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系,会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图;会从实际情境中抽象出二元一次不等式组,了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组,会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决;了解基本不等式的证明过程,会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.学会运用数形结合、
2、分类讨论等数学思想方法分析和解决有关不等式问题,形成良好的思维品质,培养判断推理和逻辑思维能力. 从近几年高考题目来看,不等式的性质和解不等式问题多以一个选择题的形式出现,且多与集合、简易逻辑、函数知识相结合,难度较低. 【考点预测】 本章知识的高考命题热点有以下两个方面: 1.均值不等式是历年高考的重点考查内容,考查方式多样,在客观题中出现,一般只有一个选择或填空,考查直接,难度较低;在解答题中出现,其应用范围几乎涉及高中数学的所有章节,且常考常新,难度较高。2.不等式证明也是高考的一个重点内容,且多以解答题的一个分支出现,常与函数、导数、数列、解析几何等知识结合,题目往往非常灵活,难度高。
3、线性规划问题是近几年高考的一个新热点,在考题种主要以选择、填空形式出现,当然,也可以实际问题进行考查。考查了优化思想在解决问题的广泛应用,体现了数学的应用价值,从而形成解决简单实际问题的能力,进一步考查了考生的数学应用意识。 3.预计在2012年高考中,对不等式的性质和解不等式特别是含参数的不等式的解法,仍会继续渗透在其他知识中进行考查。对不等式的应用,突出渗透数学思想方法和不等式知识的综合应用,特别是求最值问题、不等式证明问题,将继续强调考查逻辑推理能力,尤其是不等式与函数、数列、三角、解析几何的综合题型将会继续出现在高考的中、高档题中。 【要点梳理】 1.不等式的性质与证明: (1)不等式
4、的基本性质;(2)均值不等式,应用时要特别注意定理成立的三个条件“一正二定三相等”,三者缺一不可;(3)一元二次不等式、二元一次不等式组、简单的一元高次不等式;(4)比较法证明:作差比较与作商比较法;(5)分析法与综合法证明。 2.不等式的解法: (1)简单的一元高次不等式的解法:数轴标根法 (2)分式不等式解法;(3)不等式的实际应用题的解题步骤:审题、建立不等式模型、解数学问题、写出答案. 对于不等式的应用题有两类:一类是建立不等式,解不等式;一类是建立函数式,求最大值或最小值. 3.二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题. 【考点在线】 考点一 不等式的性质 1ab,例1.(2011年
5、高考浙江卷文科6)若为实数,则“01,ab”是“”的( ) b,aA(充分而不必要条件 B(必要而不充分条件 C(充分必要条件 D(即不充分也不必要条件 【答案】 D 111111【解析】则 不充分 ,babab,2,(0,1),ba42a241 新课标高考数学二轮专题复习讲义 作者:中亭侯 1111 则 不必要条件,故选D. ,01abba,1,b,2b2aa4【名师点睛】本题考查不等式的性质与充分必要条件,可利用作差比较法,也可用特殊值代法. 【备考提示】:不等式的性质是高考考查的热点之一,几乎年年必考,不等式的性质经常与充分必要条件结合在一起综合考查,熟练不等式的各项性质是解答好本题的关
6、键. 卷文科5)下面四个条件中,使成立的充分而不必要的条件是( ) 练习1:(2011年高考全国ab,2233ab,ab,(A) (B) (C) (D) ab,,1ab,1【答案】A 【解析】 故选ab,,,1abab,10?,ababab,1反之不能推出A. 【名师点睛】本小题先用“1”的代换,再展开后,应用均值不等式. 【备考提示】:熟练掌握均值不等式及其变形公式是解答好本类题的关键. xy,练习2: 2010年高考山东卷文科14)已知,且满足,则xy的最大值为 . xyR,,,134【答案】3 xy1xyxyxy,3【解析】因为12,,,,所以,解得,故xy的最大值为3. ,343412
7、4考点三 解不等式 高考要求掌握简单不等式的解法.解不等式是研究函数和方法的重要工具,是求函数的定义域、值域、最值、单调性、求反函数和参数的取值范围的重要手段,“不等式的变形”是研究数学的基本手段之一,它渗透到高中数学的每个角落中(如函数、方程、集合、数列、平面向量、三角函数、解析几何、立体几何、概率与统计、导数等),其基本思想是转化思想(转化的方法是: 超越式分式整式(高次)整,式(低次)一次(或二次)不等式(其中准确熟练求解一元二次(一次)不等式是解其他不等式的基础,,解一元高次不等式的有效方法是序轴法.此外,要重视数形结合、分类讨论思想的运用. 不等式的解法是高考必考内容,直接考查主要以
8、选择题、填空题为主,这类题小巧灵活,常考常新;2 新课标高考数学二轮专题复习讲义 作者:中亭侯 但有时也以解答题形式出现,主要考查含参数的不等式的解法.间接考查则更多,常以工具作用出现在函数、数列、三角函数、导数、解析几何、平面向量等问题之中,考查时重点考查一元二次不等式、分式不等式、含绝对值不等式,但偶尔也会涉及无理不等式、指数和对数不等式的解法( 1-x,2,x ,1,例3. (2011年高考辽宁卷理科9)设函数(fx)=则满足(fx)?2的x的取值范围是( ) ,1-logx,x,1,2,(A)-1,2 (B)0,2 (C)1,+) (D)0,+) ,【答案】 D x,1,x,1,【解析
9、】不等式等价于或解不等式组,可得或,即,故选01,xx,1x,0,1,x1log2,x22,2,D. 【名师点睛】本题考查不等式的解法,包含指数与对数不等式. 【备考提示】:不等式的解法是高考的热点问题之一,要熟练一元二次不等式(包括含有参数的)、简单的分式不等式、指数与对数不等式. 23 练习:(2011年高考广东卷文科5)不等式的解集是()210xx,1(1,),,(,1),A B. (21(,1)(2,),,,C D (,)(1,),,,(2D 【答案】122x,x,1,0?(2x,1)(x,1),0?x,1或x,D. 【解析】由题得所以选2考点四 线性规划 线性规划是高考热点之一,考查
10、内容设计最优解,最值,区域面积与形状等,通常通过画可行域,移线,数形结合等方法解决问题. xy1,,例4. (2011年高考安徽卷文科6)设变量x,y满足xy1,则的最大值和最小值分别为xy,,x,( ) ,(A) 1,1 (B) 2,2 (C ) 1,2 (D)2,1 【答案】B 【解析】三条直线的交点分别为(0,1),(0,,1),(1,0),分别代入,xy,,xyxyx,,1,1,0得最大值为2,最小值为,2.故选B. 【名师点睛】本题考查线性目标函数在线性约束条件下的最大值与最小值问题.属中等题. 3 新课标高考数学二轮专题复习讲义 作者:中亭侯 【备考提示】:线性规划问题不牵涉目标函
11、数的斜率问题时,可以不画图,直接将交点坐标求出代入计算即可. 练习4:(2011年高考山东卷文科7)设变量x,y满足约束条件xy,,250,xy,20zxy,,231,则目标函数的最大值为( ) ,x,0,(A)11 (B)10 (C)9 (D)8.5 【答案】B zxy,,231【解析】画出平面区域表示的可行域如图所示,当直线平移至点A(3,1)时, 目标函数zxy,,231取得最大值为10,故选B. 考点五 不等式的证明 高考要求掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式.不等式证明是高中数学的重要内容,同时也是高中数学的难点,加之题型广泛,涉及面广,证法灵活,因而备受命题者的青睐,成为高
12、考的热点问题.但由于在高考时,涉及到不等式证明的问题往往出现在压轴题上,其综合性强、思维量大,因而不等式证明问题也就成为高考的难点问题.现在的高考没有单独命制不等式证明的试题,而是把它与函数、数列、导数、解析几何、立体几何、概率与统计等问题相结合命制成综合的压轴题,重在考查逻辑思维能力,以及常用的不等式证明方法(基本方法:比较法、综合法、分析法;常用方法:放缩法、换元法、求导法、反证法、数学归纳法等). 252222例5.已知a,b?R,且a+b=1.求证:, a,b,,2证法一:比较法,作差消b,化为a的二次函数, 也可用分析法、综合法,反证法,实质与比较法相同. 2,ab,22,22ab,
13、,222证法二:(放缩法)?, ?左边, ab,,1,,2,2125,右边 ,,,,ab4,2211证法三:(均值换元法)?,所以可设, a,,tb,tab,,122225525251122,222?左边,右边 ,,,,,ttt2abtt,,,,,22(2)(2),,222222,当且仅当t=0时,等号成立. 证法四:(判别式法) 4 新课标高考数学二轮专题复习讲义 作者:中亭侯 22222设y= (a+2)+(b+2),由a+b=1,有, y,(a,2),(3,a),2a,2a,13252,4,4,2,(13,y),0所以,因为,所以,即 a,R2a,2a,13,y,0y,22522故22
14、,a,b,,2.【名师点睛】:形如a+b=1结构式的条件,一般可以采用均值换元,注意体验不等式证明方法的灵活性和各种证明方法间的内在联系. 【备考提示】:证明不等式的方法有许多,关键是靠平常的善于总结. 144x,0,y,0,x,y,15. 已知,求证:?( x,y822x,0,y,0,x,y,12xy【解析】?,?, x,y22222两边同加上得,?( 2(x,y)(x,y),1x,y144224444222又?,两边同加上得,?, 2xy2(x,y)x,yx,y(x,y)4144?( x,y8【考题回放】 |5|3|10xx,,,1.(2011年高考山东卷理科4)不等式的解集为( ) (A
15、)-5.7 (B)-4,6 (,57,),,,(,46,),,,(C) (D) 【答案】D 21111(1)ababab,1111abab,【解析】则因为01,ab所以()()ab,ab,或babaabbbaa2(1)ab,111111,0 即于是所以成立,充分条件; ()()0ab,()()0ab,ab,或abbababa5 新课标高考数学二轮专题复习讲义 作者:中亭侯 211(1)ab,111111abab, 反之成立,即则,0()()ab,ab,或ab,00或abbababbaa,故不必要条件。故选A.ab,0, xxe(2)0,abababe,,23.(2009年高考山东卷文科第5题)
16、在R上定义运算:,则满足的实e数的取值范围为( ) x(2,1),(,2)(1,),,,(1,2),(0,2)A. B. C. D. 【答案】B 2,解得,故选B. 【解析】由题意知: ,21xxxxxxxxxe(2)(2)2220,,,,,4. (2011年高考天津卷文科5)已知则( ) a,log3.6,b,log3.2,c,log3.6,244A. B. C. D. abc,acb,bac,cab,【答案】B bc,bc,【解析】因为,都小于1且大于0,故排除C,D;又因为都是以4为底的对数,真数大,函数值也a,1大,所以,故选B. bc,15 fxx()lg(1),,(2011年高考广
17、东卷文科4)函数的定义域是()1,x(,1),(1,),,(1,1)(1,),,,(,),,,A B C D (【答案】C 1,x,0,?x,1且x,1?函数的定义域为(-1,1):(1,,),C. 【解析】由题得所以选,x,1,0,02,x,xOyy,26(2011年高考广东卷文科6)已知平面直角坐标系上的区域由不等式组给定,若D,xy,2,Mxy,2,1, 为上的动点,点的坐标为,则的最大值为()DA,zOMOA,A3 B4 (C D (32426 新课标高考数学二轮专题复习讲义 作者:中亭侯 【答案】BD 【解析】由题得不等式组对应的平面区域是如图所示的直角梯形OABC, ,zOMOAO
18、MOAAOMOMAOMON,,,,,|cos3|cos3|所以就是求的最大值,表示|ON|ON|MB 数形结合观察得当点在点的地方时,才最大。|ON|222223612,,在中,OA=2+1=3,OB=2=6,AB=2-1=1,,?,,AOMAOM4cos232362z,3,6,2,4,B 所以,所以选择max3327.(2011年高考福建卷文科10)若a0, b0, 且函数f(x)=4x-ax-2bx+2在x,1处有极值,则ab的最大值等于( ) A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 【答案】D 2fx()fab(1)12220,x,1ab,,6【解析】,所以在处有极值,所以,即,fxxa
19、xb()1222,ab,0,0又ab,9ab,3ab,所以,即,所以,当且仅当时等号成立,所以的最abab,,226ab,大值为9,选D. 7 新课标高考数学二轮专题复习讲义 作者:中亭侯 x,7,时,; 当z,,,450735054900,maxy,5,x,6,当时,越往下的临界值越小,故选C. z,,,450635064800,maxy,6,9(2011年高考湖南卷文科3)的( ) 1|1xx,是A(充分不必要条件 ,(必要不充分条件 C(充分必要条件 D(既不充分又不必要条件 【答案】A 1|1xx,【解析】因,反之 1x,,不一定有。 |111xxx,或8 新课标高考数学二轮专题复习讲
20、义 作者:中亭侯 x,0,y,0,10(2011年高考湖北卷文科8)直线与不等式组表示平面区域的公共点有( ) ,xy,2,4320xy,,A.0个 B.1个 C.2个 D.无数个 【答案】B 【解析】画出可行域(如图示),可得B(0,2) , A(2,4), C(5,0) ,D(0, ), E(0,10),B. 故由图知有唯一交点,故选2031y,11.(2011年高考安徽卷文科13)函数的定义域是 . 26,xx【答案】(,3,2) 22xx+320,【解析】由可得,即,所以. ,32x60,xxxx,,60,xx,,102812(2011年高考江西卷文科15)对于,不等式的解集为_. x
21、R,xx,0【答案】 【解析】两种方法,方法一:分三段,当x2时, x+10-x+2,8,x2, 方法二:用绝对值的几何意义,可以看成到两点-10和2的距离差大于等于8的所有点的集合,画出数轴线,找到0到-10的距离为10,到2的距离为2,并当x往右移动,距离差会大于8,d,d,d,d,81212x,0所以满足条件的x的范围是. 329,,,xy,zxy,,213. (2011年高考海南卷文科14)若变量xy,满足约束条件,则的最小值,69,xy,为 . 【答案】-6 【解析】画出不等式组表示的平面区域,平移目标函数表示的直线,不难求出最小值为-6. 22xy,14(2011年高考浙江卷文科1
22、6)若实数xy,满足,则的最大值是 . xyxy,,123【答案】 39 新课标高考数学二轮专题复习讲义 作者:中亭侯 23xy,22222【解析】,,,xy. xyxyxyxyxy,,,,,,1()1()()132ab39,15. (2011年高考天津卷文科12)已知,则的最小值为 . loglog1ab,,22ykx,2k,ykxk,(0)(,2)k【解析】设坐标原点的直线方程为,则由解得交点坐标为、2,ky,x,2k22(,2),k,即为P、Q两点,所以线段PQ长为,当且仅当时等k,1222224,,kkkkk号成立,故线段PQ长的最小值是4. 【高考冲策演练】 一、选择题: Ax|x-
23、a|0”是“0”成立的( ) xxA(充分非必要条件 B(必要非充分条件 C(非充分非必要条件 D(充要条件 a9(2010年高考陕西卷文科6)“a,0”是“,0”的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 【答案】A fxx()|lg|,fafb()(),ab,ab,10( 2010年高考全国?卷文科7)已知函数.若且,则的取值范围是( ) (1,),,1,),,(2,),,2,),,(A) (B)(C) (D) 【答案】C 12 新课标高考数学二轮专题复习讲义 作者:中亭侯 11【解析1】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lg
24、b|,所以a=b(舍去),或,所以a+b= a,b,aa12fa()又0ab,所以0a1f(1)=1+1=2,即a+b的取值范围是(2,+?). 01,a01,x,【解析2】由0ab,且f(a)=f(b)得:,利用线性规划得:,化为求的取zxy,,1,b1,y,ab,1xy,1,11,(2,),,值范围问题,过点1,1时z最小为2,?(C) zxyyxz,,,,yy,1,2xx1,2abc,log2,ln2,511( 2010年高考全国?卷文科10)设则( ) 3(A)(B) (C) (D) abc,bca,cab,cba,22y,2【解析】由x,2且可得,但反之不成立,故选A. xy,,4二
25、(填空题: (,)xy2xy,13(2011年高考陕西卷文科12)如图,点在四边形ABCD内部和边界上运动,那么的最小值为 . 【答案】1 13 新课标高考数学二轮专题复习讲义 作者:中亭侯 12lxy:20,C(1,1)xy,1,1k,【解析】令,所以过时在轴上截距最大,即lk,DCAB51,312xy,时有最小值为 2111,,abababcabc,14(2011年高考重庆卷文科15)若实数的最大值是 abcc,222,2222,满足则,,,,【答案】 2log3,2yx,m,1,zxy,,515(2011年高考湖南卷文科14)设在约束条件下,目标函数的最大值为4,ymx,xy,,1,则的值为 ( m【答案】3 1mzxy,,5【解析】画出可行域,可知在点取最大值为4,解得m,3 (,).11,mm116(2010年高考天津卷文科16)设函数f(x)=x-,对任意x恒成立,则实数,,,1,),f(mx)+mf(x)0,得: ,3322,xa,26(,)a,,a,(,)讨论得:当时,解集为; 2222aaaa,,,323262(,)a,,,a,(,)当时,解集为; 33222aa,,3222,),,a,当时,解集为. 32220
链接地址:https://www.31doc.com/p-1519669.html