最新高考数学函数经典题及答案解析优秀名师资料.doc
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1、高考数学函数经典题及答案解析高考命题组郭老师(南京):交流邮箱: 答案在后面 函数 31(本小题满分14分) 已知二次函数的导函数的图像与直线平行,且在处ygx,()yx,2ygx,()x,1gx()取得极小值(设( mm,1(0)fx(),x(1)若曲线上的点到点的距离的最小值为,求的值; Pyfx,()Q(0,2)m2(2)如何取值时,函数存在零点,并求出零点( kkR(),yfxkx,()32(2010年高考福建卷理科10)对于具有相同定义域D的函数和,若存在函数f(x)g(x)h(x)=kx+b(k,b为常数),对任给的正数m,存在相应的,使得当且时,总有xD,xx,xD,000()
2、(),fxhxm,则称直线为曲线和的“分渐近线”.给出定l:y=kx+by=f(x)y=g(x),0()()1,高考命题组郭老师(南京):交流邮箱: 2x-32-x?, ; ?,; f(x)=xg(x)=xf(x)=10+2g(x)=x22x+12xxlnx+1-x?,; ?,. g(x)=2x-1-e)(f(x)=f(x)=g(x)=xx+1lnx其中, 曲线和存在“分渐近线”的是( ) y=f(x)y=g(x)A. ? B. ? C.? D.? 233. (2010年高考天津卷理科16)设函数,对任意fxx()1,x32, fmfxfxfm()4()(1)4(),,x,,,)m2恒成立,
3、则实数m的取值范围是 。 2,xx,,1,034(2010年高考江苏卷试题11)已知函数,则满足不等式fx(),1,0x,2的x的范围是_?_。 fxfx(1)(2),35(2010年高考江苏卷试题14)将边长为1m正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线2(梯形的周长)剪成两块,其中一块是梯形,记,则S的最小值是_?_。 S,梯形的面积36已知函数. fxxxx()(1)ln1,,,,2(?)若,求的取值范围; xfxxax()1,,a(?)证明:(1)()0xfx, . 高考命题组郭老师(南京):交流邮箱: 37(2010年高考江苏卷试题20)(本小题满分16分) 设是定义在区间上的函数,其
4、导函数为。如果存在实数和函数f(x)(1,,,)f(x)a2,其中对任意的都有0,使得,则称h(x)h(x)h(x)x,(1,,,)f(x),h(x)(x,ax,1)函数具有性质。 f(x)P(a)b,2(1)设函数,其中为实数。 f(x)b,,,ln(1)xxx,1具有性质; (ii)求函数的单调区间。 (i)求证:函数f(x)P(b)f(x)(2)已知函数具有性质。给定设为实数, g(x)P(2)xxxx,(1,),,,m1212,且, ,1,1,mx,(1,m)x,(1,m)x,mx1212若|0,?t1, x,1,,tt,1x1原不等式等价于 1,lnt,t,1t令f(t)=t-1-l
5、nt, 1,f(t),1,?当时,有,?函数f(t)在递增 t,(1,,,)f(t),0t,(1,,,)t?f(t)f(1) 即t-1g(1)=0 (1,,,)1lnt,1,? t1x,11综上得,ln, x,1xx(2)由(1)令x=1,2,(n-1)并相加得 11123n11,?,,ln,ln,?,ln,1,?, 23n12n,12n,111111,?,,ln,1,?,即得 23n2n,1利用导数求和 42利用导数求和: (1); (2)。 单调区间讨论 43设,求函数的单调区间. a,0f(x),x,ln(x,a)(x,(0,,,)分析:本小题主要考查导数的概念和计算,应用导数研究函数性
6、质的方法及推理和运算能力. 高考命题组郭老师(南京):交流邮箱: 244 已知函数,讨论的单调性. fx()fxxaxa()(2ln),(0),,,x分离常数 45已知函数fxxx()ln,.(?)求的最小值;(?)若对所有都有fxax()1,,fx()x,1求实数的取值范围.a3246已知, fx,xlnx,gx,x,ax,x,2,(?)求函数fx的单调区间; ,fx,t,t,2t,0(?)求函数在上的最小值; ,a(?)对一切的x,0,,,恒成立,求实数的取值范围. 2fx,gx,2高考命题组郭老师(南京):交流邮箱: a47已知函数,设(?)求函数的单Fx()fxx()ln,gxa(
7、)(0),Fxfxgx()()(),,x调区间;1(?)若以函数图像上任意一点为切点的切线的斜率Pxy(,)k,yFxx,()(0,3)002恒成立,求实数的最小值;a248设函数,其中; f(x),x,bln(x,1)b,0(?)若,求f(x)在1,3的最小值; b,12(?)如果在定义域内既有极大值又有极小值,求实数的取值范围; bfx()nn,,11(?)是否存在最小的正整数,使得当时,不等式恒成n,NNln,3nn立. 高考命题组郭老师(南京):交流邮箱: 249设函数(),其中( fxxxa()(),x,Ra,R(?)当时,求曲线在点处的切线方程; yfx,()(2(2),fa,1
8、(?)当时,求函数的极大值和极小值; fx()a,022(?)当时,证明存在,使得不等式对k,10,fkxfkx(cos)(cos),?a,3,任意的恒成立( x,R932,x50设函数(1)对于任意实数,fxm(),恒成立,求m的fxxxxa()6,,,2最大值;(2)若方程fx()0,有且仅有一个实根,求a的取值范围( 高考命题组郭老师(南京):交流邮箱: 251已知函数,是方程f(x)=0的两个根,是f(x)的导数;设(),fx()fxxx()1,,,fa()n,(n=1,2,) a,1,aa1,1nnfa()n(1)求的值; ,(2)证明:对任意的正整数n,都有a; ana,n(3)
9、记(n=1,2,),求数列b的前n项和S。 lnb,nnnaa,n252设二次函数,方程的两根x和x满足fxx()0,fxxaxa(),,12( 01,xx12(I)求实数的取值范围; a1(II)试比较与的大小(并说明理由( fff(0)(1)(0),16( ,53设fx()的定义域为(0,),,fx()的导函数为fx(),且对任意正数x均有fx(),, fx(),xfx()(?) 判断函数在(0,),,上的单调性; Fx(),xxx,,,(0,)fxfx()(),fxx(), (?) 设,比较与的大小,并证明你的结论; 121212xxx,,,(0,)(?)设,若,比较fxfxfx()()
10、(),与n,212n12n高考命题组郭老师(南京):交流邮箱: 的大小,并证明你的结论. fxxx(),12n1254 已知函数f (x ) =x + lnx. 2(I)求函数f (x )在1,e上的最大、最小值; 23(II)求证:在区间1,+?上,函数f (x )的图象在函数g (x ) =x的图象的下方; )3nnn,(III)求证:f(x ),f(x)?2,2(n?N*). 31 2解:(1)依题可设 (),则; g(x),2a(x,1),2ax,2ag(x),a(x,1),m,1a,0, 又的图像与直线平行 gxyx,2?,22aa,1,gxm,22 , , fxx,,2?g(x)
11、,(x,1),m,1,x,2x,m,xxm22222Pxy设,则 |PQ|,x,(y,2),x,(x,),oo,0000x02m22 ,2x,2m,22m,2m,22|m|,2m02x02m22当且仅当时,取得最小值,即|PQ|取得最小值 |PQ|22x,02x0当时,(22,2)m,2 解得 m,0m,2,1当时,(,22,2)m,2 解得 m,0m,2,1高考命题组郭老师(南京):交流邮箱: m2 (2)由(),得 120,,,kxxm*yfxkxkx,,,120x,0,xmm当时,方程有一解,函数有一零点; x,x,*yfxkx,k,1,22当时,方程有二解, *,4410mkk,1,
12、,2,4,4m(1,k)1x,若,函数有两个零点,即yfxkx,m,0k,1,2(1,k)m1,1,m(1,k); x,k,1,2,4,4m(1,k)1x,若,函数有两个零点,即yfxkx,m,0k,1,2(1,k)m1,1,m(1,k)x,; k,11当时,方程有一解, , *,4410mkk,1k,1,m1函数有一零点 yfxkx,x,m,k,1m综上,当时, 函数有一零点; x,yfxkx,k,1,211当(),或()时, m,0m,0k,1k,1mm1,1,m(1,k)函数有两个零点x,; yfxkx,,k,111当时,函数有一零点. yfxkx,x,mk,1,mk,132【答案】C
13、时,。【解析】要透过现象看本质,存在分渐近线的充要条件是x,f(x),g(x),0对于1,当时便不符合,所以1不存在;对于2,肯定存在分渐近线,因为当时,x,1?111f(x),g(x),;对于3,设,(x),x,lnx,(x),0f(x),g(x),0?2xlnxx且,所以当时越来愈大,从而会越来越小,不会趋近x,f(x),g(x)lnx,xx,lnx,22于0,所以不存在分渐近线;4当时,因此存x,0fxgx(),(),,2,,0?x1e1,x在分渐近线。故,存在分渐近线的是24选C ?高考命题组郭老师(南京):交流邮箱: 【命题意图】本题从大学数列极限定义的角度出发,仿造构造了分渐近线
14、函数,目的是考查学生分析问题、解决问题的能力,考生需要抓住本质:存在分渐近线的充要条件是时,x,进行做答,是一道好题,思维灵活。 f(x),g(x),03333【答案】 (,),,,222x32222【解析】由题意知:在上恒成立, ,,,14(1)(1)14(1)mxxmx,,,)2m213233322在上恒成立,当时,函数取得x,y,,1x,,,),,41m2222xx2mxx33515222最小值,所以,即解得或。 (31)(43)0,mm,,m,m,4m2322m3【命题意图】本题考查函数中的恒成立问题,考查化归与转化的数学思想。 34【答案】 (1,21),2,12,xx, 解析 考查
15、分段函数的单调性。 ,x(1,21),210,x,32335【答案】 3解析 考查函数中的建模应用,等价转化思想。一题多解。 22(3)4(3),xx设剪成的小正三角形的边长为,则: xSx,(01)21,x133,,,(1)(1)xx22(方法一)利用导数求函数最小值。 2224(3),x4(26)(1)(3)(2)xxxx,, Sx(),Sx(),2221,x(1),x33224(26)(1)(3)(2)42(31)(3)xxxxxx, ,2222(1)(1),xx331,, Sxxx()0,01,311,当时,递减;当时,递增; Sx()0,Sx()0,x,(0,x,1)333231故当
16、时,S的最小值是。 x,33(方法二)利用函数的方法求最小值。 高考命题组郭老师(南京):交流邮箱: 2111441t令,则: 3,(2,3),(,),xttS,286,,,tt68t3233,,,12tt323131故当时,S的最小值是。 ,x3t8336【命题意图】本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识,通过运用导数知识解决函数、不等式问题,考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力以及计算能力,同时也考查了函数与方程思想、化归与转化思想. 【解析】.解: x,11, (?), fxxx()ln1ln,,,,,x, , xfxxx()ln1,,2,题设等价于. xfxxax()1,,l
17、nxxa,1,令,则 gxxx()ln,gx()1,x当,;当时,是的最大值点, gx()gx()0,gx()0?01,xx?1x,1gxg()(1)1?,综上,的取值范围是. ,,,1,a,,(?)有(?)知,即. gxg()(1)1?,ln10xx,,?当时,; fxxxxxxxx()(1)ln1ln(ln1)0,,,,,,,,?01,x当时, x?1fxxxxx()ln(ln1),,,,1 ,,,ln(ln1)xxxx11 ,,ln(ln1)xxxx?0所以 (1)()0xfx,?37解析 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识,考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行
18、探索、分析与解决问题的综合能力。满分16分。 121b,2(1)(i) fx(),,(1)xbx22xxxx(1)(1),高考命题组郭老师(南京):交流邮箱: 1?时,恒成立, x,1hx()0,2xx(1),?函数具有性质; f(x)P(b)2bb22(ii)(方法一)设,与的符号相同。 ,()xf(x),()1()1xxbxx,,,,,242b当时,故此时在区间上递增; f(x),()xf(x)(1,,,)10,22,b,0,04当时,对于,有,所以此时在区间上递增; f(x)f(x)(1,,,)b,2x,1,0b当时,图像开口向上,对称轴,而, ,()x,(0)1,x,1b,22对于,
19、总有,故此时在区间上递增; ,()xf(x)f(x)(1,,,)x,1,0,0222(方法二)当时,对于, ,()121(1)0xxbxxxx,,,,,b,2x,1所以,故此时在区间上递增; f(x)f(x)(1,,,),0b当时,图像开口向上,对称轴,方程的两根为:,()xx,1,()0x,b,222222bbbb,,44bbbb,,442,而 ,1,(0,1)22222bb,,422bb,,4bb,,4 当时,故此时在区间 f(x),()xf(x),0,0x,(1,)(1,)222bb,,4上递减;同理得:在区间上递增。 f(x),),,2综上所述,当时,在区间上递增; f(x)(1,,,
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