最新高考数学创新题揭秘优秀名师资料.doc
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1、高考数学创新题揭秘数学月刊三月号 高考数学创新题揭秘 一(条件探究型 这类题目的特点是给出了题目的结论,但没有给出满足结论的条件,并且这类条件常常是不惟一的,需要解题者从结论出发,通过逆向思维去判断能够追溯出产生结论的条件,并通过推理予以确认,这种条件探究性问题实质上是寻找使命题为真的充分条件和充要条件. 例1. 如图,在直四棱柱ABCDABCD中,当底面四边形ABCD满足条件_1111时,有AC?BD(注:填上你认为正确的条件即可,不必考虑所有可能的情况) 111分析:本题是条件探索型试题,即寻找结论AC?BD成立的充分条件,由AA?平面AC111111以及AC?BD(平面AC1的一条斜线A
2、C与面内的一条直线BD互相垂直),容易联想1111111到三垂线定理及其逆定理.因此,欲使AC?BD,只需BD与CA在平面AC上的射影11111111垂直即可.显然,CA在平面AC上的射影为AC,故当BD?AC时,有AC?BD,111111111111又由于直四棱柱的上、下底面互相平行,从而BD?BD,AC?AC.因此,当BD?AC时,1111有AC?BD.由于本题是要探求使AC?BD成立的充分条件,故当四边形ABCD为菱形111111或正方形时,依然有BD?AC,从而有AC?BD,故可以填:?111AC?BD或?四边形ABCD为菱形,或?四边形ABCD为正方形中的任一个条件即可. 点评: A
3、C?BD是结论AC?BD成立的充要条件,而所填的ABCD111是正方形或菱形则是使结论A1C?BD成立的充分而不必要的条11件( 本例中,满足题意的充分条件不唯一,具有开放性特点,这类试题重在考查基础知识的灵活运用以及归纳探索能力. 二(结论开放型 这类题目的特点是给出一定的条件,要求从条件出发去探索结论,而结论往往是不惟一的,甚至是不确定的,需要解答者从已知条件出发,运用所学过的知识进行推理、探究或实验得出结论. 例2.(2000年全国高考试题)如图,E、F分别为正方体的面ADDA和面BCCB的1111中心,则四边形BFDE在该正方体的面上的射影可能是_(要求把可能的图形1的序号都填上) 1
4、 分析:本题为结论探索型的试题,要求有一定的空间想象能力. 解:由于正方体的6个面可分为互为平行的三对,而四边形BFDE的在互为平行的平面上1的射影相同,因此可把问题分为三类:a:在上、下两面上的射影为图?;b:在前、后两面上的射影为图?;c:在左、右两面上的射影为图?. 综上可知,在正方体各面上的射影是图?或图?. 点评:这也是一道结论探索型问题,结论不唯一,应从题设出发,通过分类以简化思维,再利用射影的概念,得到正确的结论. 三(条件和结论都发散型 有些题目条件和结论都是不确定的,但是给出了一定量的信息和情景,要求解题者在题目给出的情景中,自行设定条件,自己寻找结论,自己构建命题并进行演绎
5、推理. x2 例3. (湖北卷)在这四个函数中,当y,2,y,logx,y,x,y,cos2x2()()x,xfx,fx1212时,使恒成立的函数的个数是( B ) 0,x,x,1()f,1222A(0 B(1 C(2 D(3 ()()x,xfx,fx1212【答案】B.要使恒成立,即需要函数在01,x内为凸函数.()f,22x2yx,cos2而在内为凹函数,在内先凸后凹函数.只有 01,x01,xyyx,2,在01,x内为凸函数.所以答案为B. yx,log2四(信息迁移型 这类题目的特点是命题者通过文字或图表等给出了中学数学内容中没有遇到过的新知识,这些新知识可以是新概念、新定义、新定理和
6、新规则、新情境,并且这些解题的信息有可能不是直接给出的,要求解题者通过观察、阅读、归纳、探索进行迁移,即读懂新概念,理解新情境,获取有用的新信息,然后运用这些有用的信息进一步演算和推理,从而考查在新的信息、新的情境下,独立获取和运用新信息的能力,综合运用数学知识解决问题的能力和探索能力. 2 信息迁移题,由于信息呈现的方式不同,又可分为定义信息型、图表信息型、图像图形信息型等. ,(定义信息型 例4、(2004年高考北京理工科14题)定义“等和数列”:在一个数列中,如果每一项与它后一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做这个数列的公 和.已知数列 是等和数列,且,公和为5
7、,那么的值为_,这个数列 的,aaa,2n181前项和的计算公式为_. Sn分析:由等和数列的定义知:奇数项为2,偶数项为3.a,2,a,3,a,2,a,3?,1234551易求得3,.只要理解了这a,当n为偶数时,S,n,当n为奇数时,S,n,18nn222一即时给予的新定义,再做不难. 2(图形、图像信息型 y,f(x) 例5、(辽宁卷12)一给定函数的图象在下列图中,并且对任意*,由关系式,得到的数列满足,a,a(n,N)a,(0,1)a,f(a)an,n1n,1nn1则该函数的图象是 y y y y 1 1 1 1 x x x x O 1 O O O 1 1 1 (,) (,) (,)
8、 (,) 【答案】A f(x),xfxx(),【解答】由,得,即,而是图中a,aa,f(a)f(a),an,1nn,1nnnf(x),x正方形的对角线,由知曲线应在正方形的对角线的上方.从图象知故选A ( 【点拨】分析清楚函数值与自变量的关系,即可判断. 3(类比归纳型 这种题目的特点是给出一个数学情境或一个数学命题,要求解题者发散思维去联想、类比、推广、转化,找出类似的命题、推广的命题、深入的命题,或者根据一些特殊的数据、特殊的情况去归纳出一般的规律. 222 例6.在平面几何里,有勾股定理:“设?ABC的两边AB,AC互相垂直,则AB+AC=BC”3 拓展到空间,类比平面几何的勾股定理,研
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