最新高考数学知识点汇总[1]优秀名师资料.doc
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1、高考数学知识点汇总1高中数学知识点总结 1. 对于集合,一定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、无序性”。 如:集合,A、B、C 中元素各表示什么, 2. 进行集合的交、并、补运算时,不要忘记集合本身和空集的特殊情况。 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。 2 如:集合, 若,则实数a的值构成的集合为 (答:,0,) 3. 注意下列性质: n (1)集合a1,a2,an的所有子集的个数是2; (2)若,; (3)德摩根定律: , 的解集为M,若且,求实数你会用补集思想解决问题吗,(排除法、间接法) 如:已知关于x的不等式 的取值范围。
2、(?,? ,) ?,? 5. 可以判断真假的语句叫做命题,逻辑连接词有“或,“且和 “非 若为真,当且仅当p、q均为真 为真,当且仅当p、q至少有一个为真 若若为真,当且仅当p为假 6. 命题的四种形式及其相互关系是什么, (互为逆否关系的命题是等价命题。) 原命题与逆否命题同真、同假;逆命题与否命题同真同假。 7. 对映射的概念了解吗,映射f:A?B,是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性,哪几种对应能构成映射, (一对一,多对一,允许B中有元素无原象。) 8. 函数的三要素是什么,如何比较两个函数是否相同, (定义域、对应法则、值域) 9. 求函数的定义域有哪些常见类型, 例
3、:函数的定义域是 (答:0,4) 10. 如何求复合函数的定义域, 如:函数f(x)的定义域是a,b,则函数的定 义域是_。 (答:a,) 11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,注明函数的定义域了吗, 如:f 令 x,求,则? ? ? 12. 反函数存在的条件是什么, (一一对应函数) 求反函数的步骤掌握了吗, (?反解x;?互换x、y;?注明定义域) 如:求函数 的反函数 ) (答: 13. 反函数的性质有哪些, ?互为反函数的图象关于直线y,x对称; ?保存了原来函数的单调性、奇函数性; ?设的定义域为A,值域为C,则 , 14. 如何用定义证明函数的单调性, (取值、作差、判正
4、负) 如何判断复合函数的单调性, (,则 (外层)( 如:求 (设,由则 且,如图: 22 当,1时,又,? 2 当,2)时,又,? 2 ?) 15. 如何利用导数判断函数的单调性, 在区间a,b ) A. 0 B. 1 (令 则或 由已知f(x)在1,上为增函数,则,即 ?a的最大值为3) 16. 函数f(x)具有奇偶性的必要(非充分)条件是什么, (f(x)定义域关于原点对称) 若总成立为奇函数函数图象关于原点对称 若总成立为偶函数函数图象关于y轴对称 注意如下结论: (1)在公共定义域 如:若 (?f(x)为奇函数,又,? ,?) 即 2x , 又如:f(x)为定义在,1)上的奇函数,当
5、,1)时,求f(x)在,上的解析式。 ,则, (令又f(x)为奇函数,? 又,? 17. 你熟悉周期函数的定义吗, ,) (若存在实数T(),在定义域内总有,则f(x)为周期 函数,T是一个周期。) 如:若,则 (答:f(x)是周期函数,为f(x)的一个周期) 又如:若f(x)图象有两条对称轴, 即, 则f(x)是周期函数,为一个周期 如: 18. 你掌握常用的图象变换了吗, f(x)与的图象关于y轴对称 f(x)与的图象关于x轴对称 f(x)与的图象关于原点对称 f(x)与的图象关于直线对称 f(x)与的图象关于直线x对称 f(x)与的图象关于点(a,0)对称 将图象左移个单位 右移个单位
6、注意如下“翻折”变换: 上移个单位下移个单位 如: 作出及的图象 y=log2x 19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗, (1)一次函数: (2)反比例函数: 的双曲线。 推广为是中心O(a, (3)二次函数图象为抛物线 顶点坐标为,对称轴 开口方向:,向上,函数 0,向下, 应用:?“三个二次”(二次函数、二次方程、二次不等式)的关系二次方程 ,时,两根x1、x2为二次函数的图象与x轴 的两个交点,也是二次不等式解集的端点值。 ?求闭区间,m,n,上的最值。 ?求区间定(动),对称轴动(定)的最值问题。 ?一元二次方程根的分布问题。 如:二次方程的两根都大于 ,一根小于 一根大于k(4
7、)指数函数:, (5)对数函数, 由图象记性质 (注意底数的限定) ax(a>1) (6)“对勾函数 利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么, 20. 你在基本运算上常出现错误吗, 指数运算:,pa am , 对数运算:, ,对数恒等式: 对数换底公式: 21. 如何解抽象函数问题, (赋值法、结构变换法) 如:(1),f(x)满足,证明f(x)为奇函数。 (先令再令,) (2),f(x)满足,证明f(x)是偶函数。 (先令 ? ?) (3)证明单调性: 22. 掌握求函数值域的常用方法了吗, (二次函数法(配方法),反函数法,换元法,均值定理法,判别式法,利用函数单调性
8、法,导数法等。) 如求下列函数的最值: (1) (2) 2x2 (3), (4) (5)设,1 x 23. 你记得弧度的定义吗,能写出圆心角为,半径为R的弧长公式和扇形面积公式吗, ,S扇) 22 (24. 熟记三角函数的定义,单位圆中三角函数线的定义 , S O M x 如:若,则,的大小顺序是8 又如:求函数y 的定义域和值域。 (?) ?,如图: 2 ?, 25. 你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗,并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗, ,co 对称点为, 的增区间为 , 减区间为, 图象的对称点为,0,对称轴为的增区间为,减区间为, 图象的对称点为 ,对称轴为 ,的增区间为
9、26. 正弦型函数的图象和性质要熟记。或 (1)振幅|A|,周期 若,则为对称轴。 若,则x0,0为对称点,反之也对。 (2)五点作图:令依次为0, (x,y)作图象。 (3)根据图象求解析式。(求A、值) ,2,求出x 与y,依点 22 如图列出 解条件组求、值 正切型函数, 27. 在三角函数中求一个角时要注意两个方面先求出某一个三角函数值,再判定角的范围。 如: (?,求x值。 ,?,?,?) 26636412 28. 在解含有正、余弦函数的问题时,你注意(到)运用函数的有界性了吗, 如:函数的值域是 (时,2,时,?,2) 29. 熟练掌握三角函数图象变换了吗, (平移变换、伸缩变换)
10、 平移公式: ,k) (1)点P(x,y)(x,y),则平移至 (2)曲线f(x,沿向量,k)平移后的方程为,如:函数图象, (的图象经过怎样的变换才能得到的 横坐标伸长到原来的2倍 个单位上平移左平移个单位 1 ) 纵坐标缩短到原来的倍 30. 熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗, 如: 称为1的代换。 2 化为的三角函数“奇变,偶不变,符号看象限”, “奇”、“偶”指k取奇、偶数。 如: ,则y的值为 B. 负值 C. 非负值 又如:函数正值或负值 D. 正值 (y,?) 31. 熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用了吗, 理解公式之间的联系: 令令 in , 应用以上公式对三
11、角函数式化简。(化简要求:项数最少、函数种类最少,分母中不含三角函数,能求值,尽可能求值。) 具体方法: (1)角的变换:如,(2)名的变换:化弦或化切 (3)次数的变换:升、降幂公式 (4)形的变换:统一函数形式,注意运用代数运算。 ,求的值。 ,?(由已知得: 2 又 ?) 32 如:已知 32. 正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗,如何实现边、角转化,而解斜三角形, 余弦定理: (应用:已知两边一夹角求第三边;已知三边求角。) 正弦定理:?A,? C,si ? 如中,2sin (1)求角C; ,求的值。 (2)若 (1)由已知式得: 又,? 1或(舍) 又,? 1222 (2)由正弦定
12、理及得: 2 3 ?) 4 ? 33. 用反三角函数表示角时要注意角的范围。 反正弦:, 反余弦:,1 反正切:, 34. 不等式的性质有哪些, (1), (2)b, (3), (4), , (5)(6),或 如:若,则下列结论不正确的是(ab) 答案:C 35. 利用均值不等式: ,;求最值时,你是否注 意到“a,且“等号成立”时的条件,积(ab)或和其中之一为定 值,(一正、二定、三相等) 注意如下结论: , 当且仅当时等号成立。 , 当且仅当时取等号。 ,则 4 如:若,的最大值为x (设当且仅当,又,?时,) x3 又如:,则的最小值为 (?,?最小值为22) 36. 不等式证明的基本
13、方法都掌握了吗, (比较法、分析法、综合法、数学归纳法等) 并注意简单放缩法的应用。 如:证明 ( ) 37.解分式不等式f 的一般步骤是什么, g(x) (移项通分,分子分母因式分解,x的系数变为1,穿轴法解得结果。) 38. 用“穿轴法”解高次不等式“奇穿,偶切”,从最大根的右上方开始 如: 39. 解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论 如:对数或指数的底分或讨论 40. 对含有两个绝对值的不等式如何去解, (找零点,分段讨论,去掉绝对值符号,最后取各段的并集。) 例如:解不等式 (解集为) 41.会用不等式证明较简单的不等问题 ,实数a满足 如:设求证: 证明: 又,? ? (按不等
14、号方向放缩) 42. 不等式恒成立问题,常用的处理方式是什么,(可转化为最值问题,或“?”问题) 如:恒成立的最小值 恒成立的最大值 能成立的最小值 例如:对于一切实数x,若恒成立,则a的取值范围是 (设,它表示数轴上到两定点和3距离之和 ,?,即 或者:,?) 43. 等差数列的定义与性质 定义:为常数), 等差中项:x,A,y成等差数列 前n项和 2d 性质:是等差数列 (1)若,则; (2)数列,仍为等差数列; Sn,仍为等差数列; (3)若三个数成等差数列,可设为,a,; (4)若an,bn是等差数列Sn,Tn为前n项和,则; 为等差数列(a,b为常数,是关于n的常数项为 0 (5)的
15、二次函数) Sn的最值可求二次函数的最值;或者求出中的正、负分界 项,即: 当,解不等式组可得Sn达到最大值时的n值。 当,由可得Sn达到最小值时的n值。 如:等差数列an,则 (由,? ,? 又? ) 44. 等比数列的定义与性质 定义:(q为常数,), 等比中项:x、G、y成等比数列,或 (要注意!) 前n项和: 性质:是等比数列 (1)若,则 (2)Sn,仍为等比数列 45.由Sn求an时应注意什么, (时,时,) 46. 你熟悉求数列通项公式的常用方法吗, 例如:(1)求差(商)法 1 解:时,? 时, 得:如:满足 ? ? ,练习, 数列满足,求an 3 (注意到代入得: 又,?是等
16、比数列, 时, (2)叠乘法 例如:数列中,求 解:,? 3 n 又,? (3)等差型递推公式 由,求an,用迭加法 时,两边相加,得: an ? ,练习, 数列,求an () (4)等比型递推公式 、d为常数, 可转化为等比数列,设 令,? ? ,c为公比的等比数列 是首项为 ? ? ,练习, 数列满足,求an ( (5)倒数法 ) 例如:,求 由已知得:1 ?1 为等差数列,公差为 ? 47. 你熟悉求数列前n项和的常用方法吗, 例如:(1)裂项法:把数列各项拆成两项或多项之和,使之出现成对互为相反数的项。 如:是公差为d的等差数列,求 解:由 ?,练习, 求和:1) (, (2)错位相减
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