最新高考数学考前冲刺专题复习讲练+专题十四+极限优秀名师资料.doc
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1、2012年高考数学考前冲刺专题复习讲练 专题十四 极限【高考预测】 1.数学归纳法 2.数列的极限 3.函数的极限 4.函数的连续性 5.数学归纳法在数列中的应用 6.数列的极限 7.函数的极限 8.函数的连续性 【易错点点睛】 易错点 1 数学归纳法 11(2012精选模拟)已知a0,数列a满足a=a,a=a+,n=1,2,. n1n+1an(?)已知数列a极限存在且大于零,求A=(将A用a表示); limann,nbn;(?)设b=a-A,n=1,2,证明:bn+1=- nnA(b,A)n1(?)若|bn|?, 对n=1,2都成立,求a的取值范围。 n21【错误解答】 (?)由,存在,且A
2、=(A0),对a=a+两边取极限得,limalimaa+1nn,annn22a,a,a,a,441. 解得A=又A0, ?A= A=a+.22A11(?)由a+b+A,a=a+得b+A=a+. nnn+1n+1ab,Ann111bn.?b,a,A,,,, ,1n()b,AAb,AAb,Annnbnb,即对n=1,2都成立。 ,1nA(b,A)n11112(?)?对n=1,2,|bn|?,则取n=1时,,得 |b,|a,(a,a,4|,.1n2222本卷第1页(共24页) 11322?,解得。 |(a,4,a)|,.?a,4,a,1a,222【错解分析】第?问中以特值代替一般,而且不知b数列的增
3、减性,更不能以b取代n1b. n【正确解答】 (?) (?)同上。 1112(?)令|b|?,得 |a,(a,a,4)|,.1222112? |a,4,a|,.2232? a,4,a,1,解得a,.213现证明当时,对n=1,2,都成立。 |b|,a,nn22(i)当n=1时结论成立(已验证)。 2(2012精选模拟题)已知数列a中,a=3,前n项和S满足条件S=6-2a.计算a、a、a,n1nnn+1234然后猜想a的表达式。并证明你的结论。 n1【错误解答】 当n?2时,a=S-S=6-2a-(6-2a)=2a-2a,即a=a.因为a=3,所nnn-1n+1nnn+1n+1n1233131
4、31*(n,N)以a=a=,a=a=,a=a=由此猜想a= .213243n1n,22242823当n=1时,a=3,结论成立; 11,1231假设当n=k(k?1)时结论成立,即a=成立,则当n=k+1时,因为a=a,所以kk+1kk,122本卷第2页(共24页) 3a111k+1-1k,1又a=3,所以an是首项为3公比为的等比数列。由此得a=3?()=,1k+1k,1,1a2222k这表明,当n=k+1时结论也成立。 由?、?可知,猜想对任意n?N*都成立。 3133【错解分析】?应由a=S=6-2a,求得a=,再由a=an(n?2)求得a=,a=,进而由1122n+13422483此猜
5、想an=(n?E*). n,123?用数学归纳法证明猜想时,没有利用归纳假设,而是根据等比列的通项公式a,kk,123求得a=.这种证明不属于数学归纳法。 k+1k,1,123【正确解答】 由a=S=6-2a,a=3,得a=当n?2时,a=S-S-1=6-2a-(6-2a)=2a-2a, .11212nnnn+1nnn+12na,1na=b(b0),a?,n=2,3,4,. 1nn,a,1n2b(?)证明:a?,n=2,3,4,5,; n2,blogn2(?)猜测数列a是否有极限,如果有,写出极限的值(不必证明); n1(?)试确定一个正整数N,使得当nN时,对任意b0,都有a10=1024.
6、取N=1024,有a. n5【错解分析】(1)在运用数学归纳证明时,第n-k+1步时,一定要运用归纳假设进行不等式放缩与转化,不能去拼凑。 ,1man【正确解答】 (?)证法1:?当n?2时,0a?,?n,,1nan1,,111111nan,,,即,于是有 ana,1a,1naa,1nnnnnn11111111111111,?,,所有不等式两边相加可得,,?,. aa2aa3aa,1naa23n2132nnn1111,logn.由已知不等式知,当n?3时有, 2aa21n,1112logbn2,,log,.?a1b,? n222abbn2b.?an10,n2=1024,故取(?) ?,令,22
7、,bnnn2logloglog52221N=1024,可使当nN时 ,都有a0)与直线l:y=x相交于A,作AB111?l交x轴于B,作BA?l交曲线C于A依此类推。 1122(1)求点A、A、A和B、B、B的坐标; 123123答案: A(1,1)、A(+1, -1)、A22123(+,-)、B(2,0)、B(2,0)、B(2,0) 222333123(2)猜想A的坐标,并加以证明; n答案: A(,证明略. n,n,1,n,n,1)n|BB|nn,1lim.(3) n,BBn,1n1,a),B(b,0).答案:设A( nnnnan由题图:A(1,1),B1(2,0) ?a=1,b=2且 1
8、111,ba,,nn,a,n ,1,abn1(?A在直线yxb上),nnn,1,an,本卷第5页(共24页) |BB,1|2an,1,n1nnn,?,分子分母乘以() lim,lim,limn,1,n)(n,n,1)n,n,n,|B,1B|2an,n,1nnn11,1,n,n,1n及,lim,1 limn,n,,1,1nn1,1n13 设数列a1,a2,,an,的前n项的和Sn和an的关系是Sn=1-ban-其中b是与,(1,b)nn无关的常数,且b?-1。 (1)求a和a的关系式; nn-1n,1bb,b2,b3,?,bn,1由此猜想an= ()a,1n,11,b(1,b)b把a=代入上式得
9、 12(1,b)n,1,b,b(b,1),nn,1b,b2,?,b,(1,b)(1,b)a= ,n,n,1(1,b)n,(b,1),n,12,(3)当0b0,b0). nnn2n-1n(?)当a=b时,求数列u的前项n项和S。 nnun(?)求。 limn,un,1n23n-1n【错误解答】 (?)当a+b时,r=(n+1)a.?S=2a+3a+4a+na+(n+1)a.则nn234nn+1aS=2a+3a+4a+na+(n+1)a.两式相减: n212n,n,(n,1)a,(n,2)a,a,2aS= n2(1,a)n(,1)naa(n,1)un(?) =a. limlimlimn,1n,n,
10、n,unuan,1【错解分析】(?)问运用错位相减时忽视a=1的情况。 (?)a=b是(?)的条件,当a?b时,极限显然不一定是a. 【正确解答】 (?)当a=b时,u=(n+1) a.这时数列u的前n项和 nnn23n-1nS=2a+3a+4a+na+(n+1)a.? n234nn+1?式两边同乘以a,得aS=2a+3a+4a+na+(n+1)a ? n23nn+1?式减去?式,得(1-a)S=2a+a+a+a-(n+1)a n本卷第8页(共24页) na(1,a)nn+1若a?1,(1-a)S=-(n+1)a+a 1,ann,1a(1,a)a,(an,1)a,21,a(1,a)Sn= n,
11、n,212(n,1)a,(n,2),a,2a,2(1,a)【特别提醒】 11(充分运用数列的极限的四则运算及几个重要极限?C=C.(C为常数). ?=0.limlimn,n,n?qn=0,|q|0,a?1),设nnnany=17,y=11. 47(1)求数列y的前多少项最大,最大为多少, n答案:由已知得,数列为关数列,y=17,y=11, 47?公差 11,17d=的,2,?yn,y4,(n,4)d,25,2n,?当1,n,12时,yn,0,当n,13时,yn,0,?数列yn3前12项最大,最大为144. sn(2)设bn=2yn,sn=b1+b2+bn,求的值。 lim25n,2答案: ?
12、bn=2yn,Sn=b1+b2+bn, ?bn为等比数列. 2325S2211且公比为q=,?S= ,limn3n,q1344S1n?,. lim25n,321,q?|1, 2A1n?= lim2x,1,qn易错点 3 函数的极限 ab,1(2012精选模拟)若()=1,则常数a,b的值为 ( ) lim2x,11,x1,x本卷第10页(共24页) A(a=-2,b=4 B(a=2,b=-4 C(a=-1,b=-4 D(a=2,b=4 ax,a,ba(1,x),b【错误解答】 A ?=故能约去(1-x), ?a=-2,b=4. ,1.limlim2(1,x)(1,x)x,1x,11,x【错解分
13、析】(ax+a-b)中有在式(1-x)的求解中,注意a、b的符号。 ax,a,ba(1,x),b= 【正确解答】 C ?,1.limlim2(1,x)(1,x)x,1x,11,x故ax+a-b中必有因式(1-x),且极限为1。故a=-2,b=-4. x,1f(x,1)2(2012精选模拟)若则, ( ) lim,1,limx,1x,1f(2,2x)x,1A(-1 B(1 11C(- D( 22x,3 4(2012精选模拟)lim= ( ) 2x,3x,9111A(- B(0 C( D( 663x,3【错误解答】 B 当x?-3,x+3=0,故lim=0。 2x,3x,9【错解分析】求函数极限时
14、,分母为0的因式应约去才可代入。 11对诊下药A ,limx,3x,36【特别提醒】 1(求函数的极限时,如果x?x即x是连续的点。即使函数f(x)有意义的点,只需求00本卷第11页(共24页) f(x)的值。就是函数的极限值。 02(当f(x)在x处不连续时,即x=x代入后使式子f(x)无意义,应考虑约去此因式,使00之有意义时再求f(x)的值,即为极限值。 03(已知函数的极限,求出函数中的系数时,应满足两个条件,即存在性与极限值同时考虑。 【变式训练】 11 设f(x)在x处可导,f(x)=0则nf(x-)=_. lim000n,,,n1答案:-f(x) 解析: limnf(x,)00n
15、,,,n1f(x,),f(x)00n =,lim,f(x).01x,,,n2x,1,2 ( ) lim2n,1,2xx112A. B. C.0 D.2 23答案: B(解析:略 2bx,cx,223 已知=a,且函数y=alnx+c在1,e上存在反函数,则 ( ) limx,2x,2xA(b?(-?,0) B(b?(2e,+?) C(b?(-?,0) ?(2e,+?) D(b?(0,2e) 答案: C(解析:略 f(x)f(x)f(x)4 设f(x)是x的三次多项式,已知=1,试求的值。(alimlimlimx,2ax,4ax,3ax,2ax,4ax,3a为非零常数). f(x)答案:解:由于
16、可知f(2a)=0 ? lim,1,x,2ax,2a同理f(4a)=0 ? ?可知f(x)必含有(x-2a)与(x-4a)有因式, 由于 f(x)是x的三次多项式,故可设f(x)=A(x-2a)(x-4a)(x-C), 这里A、C均为选定的常数,由fx()A(x,2a)(x,4a)(x,C)即即lim,1,lim,limA(x,4a)(x,C),1,得(2a,4a)(2a,C),1,x,2ax,2ax,2axa,2x,2a4a2A-2aCA=-1 ? 本卷第12页(共24页) f(x)同理,由于 lim,1,得A(4a,2a)(4a,C),1,x,4ax,4a即8a2A-2Aca=1 ? 11
17、?得C=3a,A= 由,因而f(x),(x,2a)(x,4a)(x,3a),222a2afx()111? ,x,ax,a,a,a,limlim(2)(4)()22x,3ax,3ax,3a22a2a易错点 4 函数的连续性 1(2012精选模拟)极限f(x)存在是函数f(x)在点x=x处连续的 ( ) lim0x,x0A(充分而不必要的条件 B(必要而不充分的条件 C(充要条件 D(既不充分也不必要的条件 f(x)存在f(x)在点x=x处连续。 【错误解答】 C lim,0x,x0【错解分析】limf(x)?f(x)时,则f(x)在点x=x处不连续。 00x,x0本卷第13页(共24页) 0,1
18、,x,1,1, ?f(x),x,1,3,1x,1或x,1,?f(x)的定义域为(-?,-1)?(-1,+?)。 而在定域内,x=1时。 f(x)=0. f(x)=-1. ?f(x)不存在。 limlimlim,,x,1x,1x,1故f(x)在x=1处不连续。?f(x)在定义域内不连续。 【特别提醒】 1(在判断函数的连续性时,充分运用它的重要条件,即f(x)=f(x).前提是f(x)在xlim00x,x0处的极限要存在。 2(在求函数的不连续点时,或不连续区间。首先是定义之外的点或区域一定不连续。往往只须考虑定义域内的不连续部分。 【变式训练】 f(x)1 f(x)在x=1处连续,且=2,则f
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