最新高考数学考前归纳总结复习题11-立体几何中的探索问题优秀名师资料.doc
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1、立体几何中的探索问题 一、探索点的位置 例1.如图,四棱锥P ABCD 中,PD 平面 ABCD ,底面ABCD 为矩形,PD=DC=4, AD=2,E 为PC 的中点, 在线段AC 上是 否存在一点 M ,使得PA/平面EDM ,若存在,求出AM 的长;若 不存在,请说明理由. 解:取AC 中点M ,连结EM 、DM , 因为E 为PC 的中点,M 是AC 的中 点, 所以EM/PA , 又因为EM ?平面EDM ,PA ?平面 EDM , 所以PA/平面EDM 所以.521=AC AM 即在AC 边上存在一点M ,使得PA/平面EDM ,AM 的长为5. 例2.如图,三棱柱111C B A
2、 ABC -中,1AA 面ABC ,2,=AC BC AC BC , 13AA =,D 为AC 的中点, (2)求二面角C BD C -1的余弦值; C 1 A 1 C B 1 A B D (3)在侧棱1AA 上是否存在点P ,使得 1BDC CP 面?请证明你的结论. 解:(1)解:如图,建立空间直角坐标系, 则C 1(0,0,0),B (0,3,2), C (0,3,0),A (2,3,0),D (1,3,0), 11(0,3,2),(1,3,0)C B C D = 设111(,)n x y z = 是面BDC 1的一个法向量,则 110,0n C B n C D ?=?=? 即1111
3、320,30y z x y +=?+=?, 取11(1,)32 n =- ,易知1(0,3,0)C C = 是面ABC 的一个法 向量. 1112cos ,7n C C n C C n C C =-? . 二面角C 1BD C 的余弦值为2 7 . (2)假设侧棱AA 1上存在一点P 使得CP 面BDC 1. 设P (2,y ,0)(0y 3),则 (2,3,0)CP y =- , 则110,0CP C B CP C D ?=?=? ,即3(3)0,23(3)0y y -=?+-=? . 解之3, 7 3y y =? ?=? 方程组无解. 侧棱AA 1上不存在点P ,使CP 面BDC 1. 二
4、、探索结论的存在性 例3.如图,已知三棱锥P ABC -中,PA PC ,D 为AB 中点, M 为PB 的中点,且2AB PD =. (1)求证:DM PAC 面; (2)找出三棱锥P ABC 中一组面与面垂直的位 置关系,并给出证明(只需找到一组即可) (1)证明:依题意 D 为AB 的中点,M 为PB 的中点 DM / PA 又, (2)平面PAC 平面PBC (或平面PAB 平面PBC) 证明:由已知AB =2PD ,又D 为AB 的中点 所以PD =BD 又知M 为PB 的中点 ,由(1)知 DM / PA 又由已知,且 故 平面PAC 平面PBC 。 例4.已知一四棱锥P -ABC
5、D 的三视图如下,E 是侧棱PC 上的动点,是否不论点E 在何位 置,都有BD AE ?证明你的结论。 俯视图 侧视图 正视图 E D C B A P 解:不论点E在何位置,都有BDAE。 证明如下:连结AC,ABCD是正方形 BDAC PC底面ABCD 且BD?平面ABCD BDPC- 又AC PC C BD平面PAC = 不论点E在何位置,都有AE?平面PAC 不论点E在何位置,都有BDAE 三、针对性练习 1. 四棱锥PABCD中,底面ABCD是矩形, PA底面ABCD,PA= AB =1,AD =2,点 M是PB的中点,点N在BC边上移动. 证明,无论N点在BC边上何处,都有 PNAM
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