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1、2012年高考数学考前归纳总结复习题4清华北大家教中心 圆锥曲线中的取值范围问题 一、常见基本题型: 对于求曲线方程中参数范围问题,应根据题设条件及曲线的几何性质构造参数满足的不等式,通过解不等式求得参数的范围;或建立关于参数的目标函数,转化为函数的值域来解. (1)从直线和二次曲线的位置关系出发,利用判别式的符号,确定参数的取值范围。 22例1、已知直线与轴交于点,与椭圆交于相ylCxy:21,,Pm(0,)异两点A、B, 且,求的取值范围( APPB,3m1 解:(1)当直线斜率不存在时: m,2(2)当直线斜率存在时:设与椭圆C交点为 lAxyBxy(,),(,)1122ykxm,,,2
2、22? 得 (2)210kxkmxm,,2221xy,,22222 (*) ?,,,,,(2)4(2)(1)4(22)0kmkmkm2,21kmm xxxx,,121222kk,22,xx3 ?APPB,3,?, 12xxx,,2,1222x ?. 消去,得, 3()40xxxx,,212122xxx,3122,2,21kmm2 ?,,3()4022kk,222222 整理得 4220kmmk,,家教电话:01062561255 北京1对1上门家教品牌 清华北大家教中心 21122,m222 时,上式不成立; 时, m,m,k,24441m,21122,m2 ?,?或 ,1,m,m,1k,02
3、2241m,21122,m2 把代入(*)得或 ,1,m,m,1k,22241m,11 ?或 ,1,m,m,12211 综上m的取值范围为或。 ,1,m,m,122(2)利用题中其他变量的范围,借助于方程产生参变量的函数表达式,确定参数的取值范 围. P例2、已知点,若动点满足( M(4, 0)N(1, 0)MNMPPN,6|P (?)求动点的轨迹的方程; CAB (?)设过点的直线交轨迹于,两点,若NCl1812,求 直线的斜率的取值范围. ?l,NANB75解:(?)设动点,则,Pxy(, )MPxy,(4, )MN,(3, 0). PNxy,(1, )22 由已知得, ,3(x,4),6
4、(1,x),(,y)22xy22 化简得,得. 3412xy,,,,14322xyP 所以点的轨迹是椭圆,的方程为. CC,,143(?)由题意知,直线的斜率必存在, l不妨设过的直线的方程为ykx,(1), NlAB设,两点的坐标分别为Axy(, ),Bxy(, ). 1122家教电话:01062561255 北京1对1上门家教品牌 清华北大家教中心 ykx,(1),222222由消去得. y(43)84120kxkxk,,,,xy,,1,43,因为在椭圆内,所以. N,02,8kxx,,12,2,34,k所以 ,2412k,xx,.122,34,k,2因为 NANBxxyykxx,,,,,
5、(1)(1)(1)(1)(1)1212122 ,(1,k)xx,(x,x),1121222224k,12,8k,3,4k,9(1,k)2,(1,k),, 223,4k3,4k2189(1)12,,k2所以. 解得. ?13?k,27345,k(3)利用基本不等式求参数的取值范围 22xyEQA 例3、已知点为椭圆:上的一动点,点的坐标为,,1182,求 的取值范围( APAQ,(3,1)解: AP,(1,3),设Q(x,y),QxyA,(3,1), ( APAQxyxy,,,,,(3)3(1)3622xy22?,即xy,,(3)18, ,,118222xyxy,,(3)2|3|?而,?,18?
6、6xy?18( 222则(3)(3)6186xyxyxyxy,,,,,的取值范围是0,36( xy,3的取值范围是,6,6( APAQxy,,,36 ?的取值范围是,12,0( 二、针对性练习 A(0,1),1.已知椭圆的一个顶点为,焦点在x轴上.若右焦点到直线家教电话:01062561255 北京1对1上门家教品牌 清华北大家教中心 的距 离为3.(1)求椭圆的方程. xy,,,220(2)设直线与椭圆相交于不同的两点.当ykxmk,,,(0)MN,时,求的 取值范围. |AMAN,m2x22解:(1)依题意可设椭圆方程为,则右焦点 ,,y1Fa,1,0,2a2|122|a,,2由题设,解得
7、, a,3,322x2故所求椭圆的方程为 ,,y1.3(2)设、, Pxy(,)Mxy(,)Nxy(,)PPMMNNykxm,,,2P为弦的中点,由 MN,x2,,y1,3,222得 (31)63(1)0kxmkxm,,直线与椭圆相交, 22222 ? ?,,,,(6)4(31)3(1)031,mkkmmkxx,3mmkMN,从而, ykxm,,,?,xPPP2231k,231k,2y,1mk,31P,又 |,AMANAPMN,?,?,kAPxmk3P2mk,3112则:,即,? 231mk,,,3mkk2把?代入?得,解, mm,202,m21m,12由?得,解得m,. k,0231综上求得
8、m的取值范围是. ,m2222 2. 如图所示,已知圆为圆上一动点,点C:(x,1),y,8,定点A(1,0),MPAM在上, 点在上,且满足的轨NCMAM,2AP,NP,AM,0,点NE迹为曲线. 家教电话:01062561255 北京1对1上门家教品牌 清华北大家教中心 E (I)求曲线的方程; E (II)若过定点F(0,2)的直线交曲线于不同的两 (点在点之间),且满足, 点GH,FH,GFG,FH求的取值范围. ,解:(?)?AM,2AP,NP,AM,0.?NP为AM的垂直平分线,?|NA|=|NM| 又 ?|CN|,|NM|,22,?|CN|,|AN|,22,2.?动点N的轨迹是以
9、点C(,1,0),A(1,0)为焦点的椭圆. 2且椭圆长轴长为焦距2c=2. 2a,22,?a,2,c,1,b,1.2x2?曲线E的方程为 ,y,1.2(?)当直线GH斜率存在时, 2x2设直线GH方程为 y,kx,2,代入椭圆方程,y,1,213222得 (,k)x,4kx,3,0.由,0得k,.22,4k3G(x,y),H(x,y),则x,x,xx,设 112212121122,k,k22又?FG,FH,?(x,y,2),(x,y,2)1122x,xxx2221212,, ?x,x,?x,x,(1,)x,xx,x.?(),x,121221222,1,,4k32()1122,k,k2,16(
10、1,)22 ?,整理得,21,(1,)3(,1)22k3161611612 ?k,?4,.?4,,2,.解得,3.32333,,322k家教电话:01062561255 北京1对1上门家教品牌 清华北大家教中心 1 又?0,1,?,1.311又当直线GH斜率不存在,方程为 x,0,FG,FH,.3311 ?,1,即所求,的取值范围是,1)333.已知椭圆E的中心在坐标原点,两个焦点分别为、,A(,1,0)B(1,0)O一个顶点为. H(2,0)E(1)求椭圆的标准方程; (2)对于轴上的点,椭圆E上存在点M,使得,MP,MHP(t,0)x求的取值范围. 解:(1)由题意可得,?( tb,3c,
11、1a,222xy ?所求的椭圆的标准方程为:( ,,14322xy00 (2)设,则 ( ? M(x,y)(x,2),,100043且, MP,(t,x,y)MH,(2,x,y)0000MP,MH由可得,即 MP,MH,02 ?( ? (t,x)(2,x),y,0000由?、?消去y整理得 012x,2( ? t(2,x),x,2x,300004113(2)1 ?( t,x,x,00442,2,x,2 ?, ? ( ,2,t,10?(,2,1)的取值范围为. t22xy2(0)ab, 4.已知椭圆C:1,,的离心率为,以原点为圆心,椭222ab圆的短半轴长 为半径的圆与直线xy,,,20相切(
12、 家教电话:01062561255 北京1对1上门家教品牌 清华北大家教中心 (?)求椭圆的方程; CMP(?)若过点(2,0)的直线与椭圆相交于两点,设为AB,C椭圆上一点,且满 足(O为坐标原点),当OA,OB,tOP25, 时,求实数取值范围( tPA,PB3222c2cab,12 解:(?)由题意知, 所以( e,e,22a2aa222222即( 又因为,所以,( b,1a,2b,1ab,211,2x2故椭圆的方程为( C,y,12AB(?)由题意知直线的斜率存在. AB设:,Axy(,),Bxy(,),Pxy(,), ykx,(2)1122ykx,(2),22222由得. (12)8
13、820,,,,kxkxk,x2,,y1.,212422,k,. ,,,644(21)(82)0kkk2228k82k,,. xx,xx,,12122212,k12,k2xxk,812?,?, (,)(,)xxyytxy,,x,OA,OB,tOP12122ttk(12),yyk,,1412. ykxxk,,,()4122tttk(12),222(8)(4)kk,P?点在椭圆上,?, ,,22222222tktk(12)(12),222?. 16(12)ktk,,252520222?,,?,? PA,PB1,,kxx(1)()4,,kxxxx12121233942648220kk,2?, (1)4,,k222(12)129,kk家教电话:01062561255 北京1对1上门家教品牌 清华北大家教中心 1222?,?. k,(41)(1413)0kk,,,42168k1122222?,?,?, 16(12)ktk,,,kt,822421212,kk2626?或, ,2t,t2332626?实数取值范围为. t(,2,):(,2)33家教电话:01062561255 北京1对1上门家教品牌
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