最新高考数学解题思想方法-分类讨论思想方法优秀名师资料.doc
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1、高考数学解题思想方法-分类讨论思想方法二、分类讨论思想方法 在解答某些数学问题时,有时会遇到多种情况,需要对各种情况加以分类,并逐类求解,然后综合得解,这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法,是一种重要的数学思想,同时也是一种重要的解题策略,它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性,能训练人的思维条理性和概括性,所以在高考试题中占有重要的位置。 引起分类讨论的原因主要是以下几个方面: ? 问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如|a|的定义分a0、a,0、a2时分a0、a,0和a0三种情况讨论。这称为含参型。 另外,某些不
2、确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等,都主要通过分类讨论,保证其完整性,使之具有确定性。 进行分类讨论时,我们要遵循的原则是:分类的对象是确定的,标准是统一的,不遗漏、不重复,科学地划分,分清主次,不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”。 解答分类讨论问题时,我们的基本方法和步骤是:首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围;其次确定分类标准,正确进行合理分类,即标准统一、不漏不重、分类互斥(没有重复);再对所分类逐步进行讨论,分级进行,获取阶段性结果;最后进行归纳小结,综合得出结论。 ?、再现性题组: 1(集合A,x|x|?4,x?R,B,x|x,3|?a,x?R,若A
3、B,那么a的范围是_。 ,A. 0?a?1 B. a?1 C. a1 D. 0a0且a?1,p,log(a,a,1),q,log(a,a,1),则p、q的大小关系是aa_。 A. p,q B. pq D.当a1时,pq;当0a1时,p0、a,0、a1、0a1两种情况讨论,选C; 3小题:分x在第一、二、三、四象限等四种情况,答案4,-2,0; ,4小题:分,、0、0、x0两种情况,选B; 6小题:分侧面矩形长、宽分别为2和4、或4和2两种情况,选D; 7小题:分截距等于零、不等于零两种情况,选C。 ?、示范性题组: 例1. 设0x0且a?1,比较|log(1,x)|与|log(1,x)|的大小
4、。 aa【分析】 比较对数大小,运用对数函数的单调性,而单调性与底数a有关,所以对底数a分两类情况进行讨论。 【解】 ? 0x1 ? 01,x1 ? 当0a0,log(1,x)0; aaaaa(1,x)0,所以 ? 当a1时,logaa|log(1,x)|,|log(1,x)|,log(1,x) ,log(1,x),log(1,aaaaa2x)0; 由?、?可知,|log(1,x)|log(1,x)|。 aa【注】本题要求对对数函数y,logx的单调性的两种情况十分熟悉,即当a1时其是a增函数,当0a1时其是减函数。去绝对值时要判别符号,用到了函数的单调性;最后差值的符号判断,也用到函数的单调
5、性。 例2. 已知集合A和集合B各含有12个元素,A?B含有4个元素,试求同时满足下面两个条件的集合C的个数: ?. CA?B且C中含有3个元素; ?. C?A? 。 ,【分析】 由已知并结合集合的概念,C中的元素分两类:?属于A 元素;?不属于A而属于B的元素。并由含A中元素的个数1、2、3,而将取法分三种。 122130【解】 C?C,C?C,C?C,1084 128128128【注】本题是排列组合中“包含与排除”的基本问题,正确地解题的前提是合理科学的分类,达到分类完整及每类互斥的要求,还有一个关键是要确定C中元素如何取法。另一种33解题思路是直接使用“排除法”,即C,C,1084。 2
6、08例3. 设a是由正数组成的等比数列,S是前n项和。 ?. 证明: nnlglgSS,lg()lg()ScSc,,,nn,2nn,20,使得,lgn,122(S,c)成立,并证明结论。 n,1【分析】 要证的不等式和讨论的等式可以进行等价变形;再应用比较法而求解。其中在应用等比数列前n项和的公式时,由于公式的要求,分q,1和q?1两种情况。 【解】 设a的公比q,则a0,q0 n1222?(当q,1时,S,na,从而SS,S,na(n,2)a,(n,1)a,n1nn,2n,11112a0; 1naq()1,1 当q?1时,S,,从而 n1,q2nn,22n,12aqq()()11,aq()1
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