最新高考数学解题思想方法-换元法优秀名师资料.doc
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1、高考数学解题思想方法-换元法二、换元法 解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这叫换元法。换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化,变得容易处理。 换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量,可以把分散的条件联系起来,隐含的条件显露出来,或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式,把复杂的计算和推证简化。 它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式,在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。
2、换元的方法有:局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元,是在已知或者未知中,某个代数式几次出现,而用一个字母来代替它从而简化问题,当然有时候要通过xxx变形才能发现。例如解不等式:4,2,2?0,先变形为设2,t(t0),而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。 三角换元,应用于去根号,或者变换为三角形式易求时,主要利用已知代数式中与三角知2识中有某点联系进行换元。如求函数y,,的值域时,易发现x?0,1,设x,sinx1,x, ,?0,,问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设,其中主要应该2222是发现值域的联系,又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x,y,
3、r(r0)时,则可作三角代换x,rcos、y,rsin化为三角问题。 SS均值换元,如遇到x,y,S形式时,设x,,t,y,t等等。 22我们使用换元法时,要遵循有利于运算、有利于标准化的原则,换元后要注重新变量范围的选取,一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围,不能缩小也不能扩大。如上几例中,的t0和?0,。 2?、再现性题组: 1.y,sinx?cosx,sinx+cosx的最大值是_。 242.设f(x,1),log(4,x) (a1),则f(x)的值域是_。 a3.已知数列a中,a,1,a?a,a,a,则数列通项a,_。 n1n,1nn,1nn24.设实数x、y满足x,2xy,1,0
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