最新高考数学解题技巧【专题3】转化与化归思想优秀名师资料.doc
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1、2012高考数学解题技巧【专题3】转化与化归思想【专题三】转化与化归思想 【考情分析】 数学问题解答题离不开转化与化归,它即是一种数学思想又是一种数学能力,高考对这种思想方法的考查所占比重很大,是历年高考考查的重点。 预测2011年高考对本讲的考查为: (1)常量与变量的转化:如分离变量,求范围等。 (2)数与形的互相转化:若解析几何中斜率、函数中的单调性等。 (3)数学各分支的转化:函数与立体几何、向量与解析几何等的转化。 (4)出现更多的实际问题向数学模型的转化问题。 【知识交汇】 所谓转化与化归思想就是把待解决的问题,通过观察、分析、联想、类比等思维过程,选择恰当的方法将实际问题数学化、
2、陌生问题熟悉化、抽象问题具体化、复杂问题简单化,最后归结到某个或某些已经解决或比较容易解决的问题上来解决原问题的数学思想。从某种意义上说,数学题的求解都是应用已知条件对问题进行一连串恰当转化,进而达到解题目的的一个探索过程。 1(转化有等价转化与非等价转化。等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的,才保证转化后的结果仍为原问题的结果。非等价转化其过程是充分或必要的,要对结论进行必要的修正(如无理方程化有理方程要求验根),它能带来思维的闪光点,找到解决问题的突破口。 2(常见的转化方法 (1)直接转化法:把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题; (2)换元法:运用“换元”把非标准形
3、式的方程、不等式、函数转化为容易解决的基本问题; (3)参数法:引进参数,使原问题的变换具有灵活性,易于转化; (4)构造法:“构造”一个合适的数学模型,把问题变为易于解决的问题; (5)坐标法:以坐标系为工具,用代数方法解决解析几何问题,是转化方法的一种重要途径; (6)类比法:运用类比推理,猜测问题的结论,易于确定转化的途径; (7)特殊化方法:把原问题的形式向特殊化形式转化,并证明特殊化后的结论适合原问题; (8)一般化方法:若原问题是某个一般化形式问题的特殊形式且有较难解决,可将问题通过一般化的途径进行转化; (9)等价问题法:把原问题转化为一个易于解决的等价命题,达到转化目的; (1
4、0)补集法:(正难则反)若过正面问题难以解决,可将问题的结果看作集合A,而把包含该问题CA的整体问题的结果类比为全集U,通过解决全集U及补集获得原问题的解决。 U3(化归与转化应遵循的基本原则: (1)熟悉化原则:将陌生的问题转化为熟悉的问题,以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决; (2)简单化原则:将复杂的问题化归为简单问题,通过对简单问题的解决,达到解决复杂问题的目的,或获得某种解题的启示和依据; (3)和谐化原则:化归问题的条件或结论,使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式,或者转化命题,使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律; (4)直观化原则:将比较抽
5、象的问题转化为比较直观的问题来解决; (5)正难则反原则:当问题正面讨论遇到困难时,可考虑问题的反面,设法从问题的反面去探求,使问题获解。 【思想方法】 题型1:集合问题 例1(2007年湖南文14)设集合 ,?的取值范围是 ;?若AxyyxxBxyyxbAB,,,|2|,0,|,b,,且的最大值为9,则xy,2xyAB,b,的值是 。 b (2)已知函数222 f(x),4x,2(p,2)x,2p,p,1,在区间,1,1f(c),0c上至少存在一个实数使,求实2 p数的取值范围. 9解析:(1)?;?由图象可知的2),,b2取值范围是;?若则2),,xyAB,,9(x,y)在图中的四边形内,
6、t=在(0,b)处取得最大值,所0+2b=9,所以b= xy,22(2)分析:运用补集概念求解 p解答:设所求的范围为A,则 22,p在,1,1上函数f(x),4x,2(p,2)x,2p,p,1,0CA,I 注意到函数的图象开口向上 2,(1)2390f,p,p,,3,3,?CA,p,pp,或p,I22(1)210f,p,p,, 3A,P,3,P,2 点评:对于许多集合问题,通过转化,将不熟悉和难解的集合问题转化为熟知的易解的问题,将抽象的问题转化为具体的直观的问题,便于将问题解决。 题型2:函数问题 3232,3,,5,1,3,,5,5a,,例2(1)已知函数,满足,求的值; 1,a(2)(
7、2010年高考山东卷理科,22题)已知函数. f(x),1nx,ax,1(a,R)x112x,(0,2)()24.f(x) (?)当时,讨论的单调性;(?)设时,若对任意,a,gx,x,bx,当a,124x,1,2f(x),g(x)存在,使,求实数的取值范围. b212323f(x),x,3x,5x,(x,1),2(x,1),3,解析:(1)构造函数 f(,),1,f(,),5.则有 3g(t),t,2t又在R上是单调递增的奇函数,且 g(,1),f(,),3,2. g(,1),f(,),3,2, g(,1),g(,1),g(1,),1,1,,,2故。 1,a(2)解:(?)因为 fxxax(
8、)ln1,,,x2111aaxxa,,, 所以 fxax()(0,),,,,,22xxx2hxaxxax()1,(0,),,,,, 令 1)当 (ahxxx,,,,,0,()1,(0,)时, 所以,当xhxfx,(0,1),()0,()0时此时,函数单调递减; fx(),fx()0,函数f(x) 当时,此时单调递 x,,,(1,)hx()0, (2)当 a,0时,由f(x)=012 即,解得 axxa,,,10xx,1,112a1xxhx,()0 ?当时,恒成立, a,122, 此时,函数在(0,+?)上单调递减; fx()0,fx()11 ?当 0,110,a时2a,hxfxfx()0,()
9、0,(),此时函数 x,(0,1)时,单调递减; 1,hxfxfx()0,()0,(),此时函数 时,单调递增; x,(1,1)a1, ,此时fx()0,,函数fx()单调递减; xhx,,,(1,),()0时a1 ?当时,由于 ,10a,0a, x,(0,1)时,hx()0,,此时fx()0,,函数fx()单调递减; , x,,,(1,)时,hx()0,,此时fx()0,,函数fx()单调递增。 综上所述: 当时,函数fx()在(,,,)上单调递减; a,0fx() 函数在(,,?)上单调递增; 1 当时,函数在(0,+?)上单调递减; fx()a,21 当时,函数在(0,1)上单调递减;
10、fx()0,a21 函数在上单调递增; fx()(1,1),a1上单调递减, 函数fx()(1,)在,,,a11 (?)因为,由(?)知, a,(0,)22,xx,1,3(0,2) ,当x,(0,1)时,f(x)0, 12, 函数单调递减;当时, fx()x,(1,2)fx()0,1 函数单调递增,所以在(0,2)上的最小值为 fx()fx()f(1),2x,1,2fxgx()(),x,(0,2) 由于“对任意,存在,使”等价于 12121 “在1,2上的最小值不大于在(0,2)上的最小值” (*) gx()fx(),222gxxbbx()()4,1,2,,, 又,所以 ()(1)520gxg
11、b, ?当时,因为,此时与(*)矛盾; b,1min2 ?当时,因为,同样与(*)矛盾; b,1,2()40,gxb,min()(2)84gxgb, ?当时,因为 b,,,(2,)min117 解不等式,可得 84,bb,.2817 综上,的取值范围是 b,).,,8点评:通常函数的最值要转化为导数处理,要理解不等式恒成立与函数的最值的等价变换关系,提高自己综合运用知识解决新情境、新问题的能力。 题型3:不等式问题 x,1,yx,例3(1)(2010全国卷2文数,5)若变量x,y满足约束条件 ,则z=2x+y的最大值为( ) ,325xy,,(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 2,,2x,
12、,,fxx()1,(2)(2010天津理数16)设函数,对任意,,3,,x,2fmfxfxfm,,4()(1)4()恒成立,则实数m的取值范围是 . ,m,解析:(1)C:本题考查了线性规划的知识。 yx,325xy,,? 作出可行域,作出目标函数线,可得直线与 与的交点为最优解点,?即为(1,z,3xy,1,1max1),当时,。 评析:将最大值转化为y轴上的截距,将m等价为斜率的倒数,数形结合可知答案选C,本题主要考察了用平面区域二元一次不等式组,以及简单的转化思想和数形结合的思想,属中档题。 (2)【答案】D 【解析】本题主要考查函数恒成立问题的基本解法,属于难题。 2x32222,,,
13、14(1)(1)14(1)mxxm在上恒定成立,即依据题意得x,,,)2m213232在上恒成立。 ,,41mx,,,)22mxx2332515222(31)(43)0mm,,当时函数取得最小值,所以,即,解,x,y,,1,4m2232xxm333m,m,得或 22【温馨提示】本题是较为典型的恒成立问题,解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解。构造函数解题是数学中的常用方法,通过巧妙地构造辅助函数,把原来的问题转化为研究辅助函数的性质,从而达到解题目的。 题型4:三角问题 例4(1)(2010年全国I理, 2)记,那么 cos(80),:,ktan100:,221,k1,kkk
14、A. B. - C. D. - 22kk1,k1,k222sin801cos801cos(80)1,k解答:,所以2sin801,k,. 故本题选B. tan100tan80:,cos80k点评:本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识,并突出了弦切互化这一转化思想的应用。 ,(2)若,则( ) 0,,,,,,sincossincos,ab4ab,ab, A( B( ab,1ab,2 C( D( 22ab与 解析:若直接比较a与b的大小比较困难,若将a与b大小比较转化为的大小比较就容易多了。 22ab,,,,1212sinsin,, 因为 , 又因为 022,222 所以,所以
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