最新高考数学(浙江专用)总复习教师用书:第8章+第6讲 空间向量及其运算+Word版含解析优秀名师资料.doc
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1、2018年高考数学(浙江专用)总复习教师用书:第8章 第6讲空间向量及其运算 Word版含解析第6讲 空间向量及其运算 最新考纲 1.了解空间向量的概念了解空间向量的基本定理及其意义掌握空间向量的正交分解及其坐标表示,2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示,3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示能用向量的数量积判断向量的共线和垂直. 知 识 梳 理 1.空间向量的有关概念 名称 概念 表示 0 零向量 模为0的向量 单位向量 长度(模)为1的向量 相等向量 方向相同且模相等的向量 a,b 相反向量 方向相反且模相等的向量 a的相反向量为,a 表示空间向量的有向线段所在的直共线向量 a?b 线互相
2、平行或重合的向量 共面向量 平行于同一个平面的向量 2.空间向量中的有关定理 (1)共线向量定理 空间两个向量a(a?0)与b共线的充要条件是存在实数,使得b,a. ?推论 如图所示,点P在l上的充要条件是OP,OA,ta? ?其中a叫直线l的方向向量,t?R,在l上取AB,a,则?可化为OP?,OA,tAB或OP,(1,t)OA,tOB. (2)共面向量定理 共面向量定理的向量表达式:p,xa,yb,其中x,y?R,a,b为不共线向量,?推论的表达式为MP,xMA,yMB或对空间任意一点O,有OP,OM,xMA,yMB?或OP,xOM,yOA,zOB,其中x,y,z,1. (3)空间向量基本
3、定理 如果向量e,e,e是空间三个不共面的向量,a是空间任一向量,那么存在唯123一一组实数,使得a,e,e,e,空间中不共面的三个向量123112233e,e,e叫作这个空间的一个基底. 1233.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ?两向量的夹角 ?已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作OA,a,OB,b,则?AOB叫做向量a与b的夹角,记作a,b,其范围是0,若a,b,,则称a2与b互相垂直,记作a?b. ?两向量的数量积 已知空间两个非零向量a,b,则|a|b|cosa,b叫做向量a,b的数量积,记作a?b,即a?b,|a|b|cosa,b. (2)空间向量数量积的
4、运算律 ?结合律:(a)?b,(a?b); ?交换律:a?b,b?a; ?分配律:a?(b,c),a?b,a?c. 4.空间向量的坐标表示及其应用 设a,(a,a,a),b,(b,b,b). 123123向量表示 坐标表示 a?b 数量积 ab,ab,ab 112233共线 a,b(b?0,?R) a,b,a,b,a,b 112233a?b,0 垂直 ab,ab,ab,0 112233(a?0,b?0) 222|a| 模 a,a,a 123cosa,b, 夹角 a,b(a?0,b?0) ab,ab,ab112233 222222a,a,a?b,b,b123123诊 断 自 测 1.判断正误(在
5、括号内打“?”或“”) (1)空间中任意两非零向量a,b共面( ) (2)对任意两个空间向量a,b,若a?b,0,则a?b( ) (3)若a,b,c是空间的一个基底,则a,b,c中至多有一个零向量( ) (4)若a?b,0,则a,b是钝角( ) 解析 对于(2)因为0与任何向量数量积为0所以(2)不正确,对于(3)若abc中有一个是0则abc共面所以(3)不正确,对于(4)若ab,则a?b0故(4)不正确. 答案 (1)? (2) (3) (4) 2.在空间直角坐标系中,A(1,2,3),B(,2,,1,6),C(3,2,1),D(4,3,0),则直线AB与CD的位置关系是( ) A.垂直 B
6、.平行 C.异面 D.相交但不垂直 ?解析 由题意得AB,(,3,33)CD,(11,1) ?AB,3CD?AB与CD共线又AB与CD没有公共点. ?AB?CD. 答案 B .(选修2,1P97A2改编)如图所示,在平行六面体ABCD,3?ABCD中,M为AC与BD的交点.若AB,a,AD,b,AA11111111?,c,则下列向量中与BM相等的向量是( ) 11111A.,a,b,c B.a,b,c 22221111C.,a,b,c D.a,b,c 22221?解析 由题意根据向量运算的几何运算法则BM,BB,BM,AA,(AD,1112111?AB),c,(b,a),a,b,c. 222答
7、案 A 4.已知a,(2,3,1),b,(,4,2,x),且a?b,则|b|,_. 222解析 a?b,2(,4),32,1?x,0?x,2?|b|,4,,2,2,26. 答案 26 31?5.O为空间中任意一点,A,B,C三点不共线,且OP,OA,OB,tOC,若P,48A,B,C四点共面,则实数t,_. 311解析 ?PABC四点共面?,t,1?t,. 4881答案 826.(2017?浙江三市十二校联考)已知向量a,(1,2,3),b,(x,x,y,2,y),并且a,b同向,则x,_;y,_. 2xx,y,2y解析 由题意知a?b则,可得 1232把?代入?得x,x,2,0解得x,2或x
8、,1. 当x,2时y,6,当x,1时y,3. 当时b,(,2,4,6),2a向量a与b反向不符合题意故舍去. 时b,(123),a向量a与b同向故 当答案 1 3 考点一 空间向量的线性运算 【例1】 如图所示,在空间几何体ABCD,ABCD中,各面为平行四边形,1111?设AA,a,AB,b,AD,c,M,N,P分别是AA,BC,CD的中点,试用a,1111b,c表示以下各向量: ?(1)AP;(2)MP,NC. 11?解 (1)因为P是CD的中点,所以AP,AA,AD,DP,a,AD,DC 11111111211?,a,c,AB,a,c,b. 22?(2)因为M是AA的中点,所以MP,MA
9、,AP 11?,AA,AP 121111,a,a,c,b,a,b,c. ,22221?又NC,NC,CC,BC,AA 11121?,AD,AA 121,c,a, 2111,?,所以MP,NC,a,b,c,a,c 1,222313,a,b,c. 222规律方法 (1)选定空间不共面的三个向量作基向量这是用向量解决立体几何问题的基本要求.用已知基向量表示指定向量时应结合已知和所求向量观察图形将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中然后利用三角形法则或平行四边形法则进行运算. (2)首尾相接的若干向量之和等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量我们把这个法则称为向量加法的多边形法则. 提醒
10、 空间向量的坐标运算类似于平面向量中的坐标运算. 【训练1】 (2017?上饶期中)如图,三棱锥O,ABC中,M,N?分别是AB,OC的中点,设OA,a,OB,b,OC,c,用a,b,?c表示NM,则NM,( ) 11A.(,a,b,c) B.(a,b,c) 2211C.(a,b,c) D.(,a,b,c) 2211111?解析 NM,NA,AM,(OA,ON),AB,OA,OC,(OB,OA),OA,OB2222211?,OC,(a,b,c). 22答案 B 考点二 共线定理、共面定理的应用 【例2】 已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,用向量方法求证
11、: (1)E,F,G,H四点共面; (2)BD?平面EFGH. 1?证明 (1)连接BG,则EG,EB,BG,EB,(BC,BD),EB,BF,EH,EF,2?EH,由共面向量定理知E,F,G,H四点共面. 1111?(2)因为EH,AH,AB),,因为E,H,AE,ADAB(ADBD2222B,D四点不共线,所以EH?BD. 又EH?平面EFGH,BD?平面EFGH, 所以BD?平面EFGH. 规律方法 (1)证明空间三点PAB共线的方法 ?PA,PB(?R), ?对空间任一点OOP,xOA,yOB(x,y,1). (2)证明空间四点PMAB共面的方法 ?MP,xMA,yMB, ?对空间任一
12、点OOP,xOM,yOA,zOB(x,y,z,1), ?PM?AB(或PA?MB或PB?AM). (3)三点共线通常转化为向量共线四点共面通常转化为向量共面线面平行可转化为向量共线、共面来证明. 【训练2】 (1)若A(,1,2,3),B(2,1,4),C(m,n,1)三点共线,则m,n,_. (2)已知空间四点A(,2,0,2),B(,1,1,2),C(,3,0,4),D(1,2,t),若四点共面,则t的值为_. ?解析 (1)AB,(3,11)AC,(m,1n,2,2). ?ABC三点共线?AB?AC m,1n,2,2?, ,311?m,7n,4?m,n,3. ?(2)AB,(110)AC
13、,(,102)AD,(32t,2) ?ABCD四点共面 ?ABACAD共面. ?设AD,xAB,yAC 即(32t,2),(x,yx2y) x,y,x,23,x,2y,1则解得?t的值为0. ,y,t,2,2t,0.(2)0 答案 (1),3考点三 空间向量数量积的应用 【例3】 如图所示,已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a,点M,N分别是AB,CD的中点. (1)求证:MN?AB,MN?CD; (2)求MN的长; (3)求异面直线AN与CM所成角的余弦值. ?(1)证明 设AB,p,AC,q,AD,r. 由题意可知,|p|,|q|,|r|,a,且p,q,r三向量两两夹角均为60
14、?. 111?MN,AN,AM,(AC,AD),AB,(q,r,p), 22211?2?MN?AB,(q,r,p)?p,(q?p,r?p,p) 221222,(acos 60?,acos 60?,a),0. 2?MN?AB,即MN?AB. 同理可证MN?CD. 1?(2)解 由(1)可知MN,(q,r,p), 21?22?|MN|,(q,r,p) 41222,q,r,p,2(q?r,p?q,r?p) 42221aaa,,,222,a,a,a,2, ,,,422221a2,2a,. 422?|MN|,a. 22?MN的长为a. 2?(3)解 设向量AN与MC的夹角为. 11?AN,(AC,AD)
15、,(q,r), 221?AM,q,p, MC,AC,211?AN?MC,(q,r)?(q,p) 221112,(q,q?p,r?q,r?p) 2221112222(a,acos 60?,acos 60?,acos 60?) 22222221aaaa2,(a,,,),. 242423?又?|AN|,|MC|,a, 2233a?AN?MC,|AN|MC|cos ,aacos ,. 22222?cos ,,?向量AN与MC的夹角的余弦值为, 332因此异面直线AN与CM所成角的余弦值为. 3规律方法 利用数量积解决问题的两条途径:一是根据数量积的定义利用模与夹角直接计算,二是利用坐标运算.可解决有关
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