最新(江苏专用)版高考数学大一轮复习+第三章+导数及其应用+3.2+导数的应用+第2课时+导数与函数的极值、最值教师用书+理+苏教版优秀名师资料.doc
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1、(江苏专用)2018版高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用 3.2 导数的应用 第2课时 导数与函数的极值、最值教师用书 理 苏教版第2课时 导数与函数的极值、最值 题型一 用导数解决函数极值问题 命题点1 根据函数图象判断极值 例1 (1)(2016?淮安模拟)设()是函数()的导函数,,()的fxfxyfx图象如图所示,则y,f(x)的图象最有可能是_. (2)设函数f(x)在R上可导,其导函数为f(x),且函数y,(1,x)f(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是_. ?函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1); ?函数f(x)有极大值f(,2)和极小值f(1); ?函数
2、f(x)有极大值f(2)和极小值f(,2); ?函数f(x)有极大值f(,2)和极小值f(2). 答案 (1)? (2)? 解析 (1)由f(x)图象可知,x,0是函数f(x)的极大值点,x,2是f(x)的极小值点. (2)由题图可知,当x0; 当,2x1时,f(x)0; 当1x2时,f(x)2时,f(x)0. 由此可以得到函数f(x)在x,2处取得极大值,在x,2处取得极小值. 命题点2 求函数的极值 3例2 设a为实数,函数f(x),x,3x,a. (1)求f(x)的极值; (2)是否存在实数a,使得方程f(x),0恰好有两个实数根,若存在,求出实数a的值;若不存在,请说明理由. 1 2解
3、 (1)令f(x),3x,3,0, 得x,1,x,1. 12又因为当x?(,?,,1)时,f(x)0; 当x?(1,?)时,f(x)a,2,即函数的极大值大于极小值, 所以当极大值等于0时,有极小值小于0, 此时曲线f(x)与x轴恰好有两个交点, 即方程f(x),0恰好有两个实数根, 所以,2,0,,2,如图1.当极小值等于0时,有极大值大于0,此时曲线()与轴aafxx恰有两个交点,即方程f(x),0恰好有两个实数根,所以a,2,0,a,2.如图2. 综上,当a,2或a,2时方程恰好有两个实数根. 命题点3 已知极值求参数 2x,a例3 (1)若函数f(x),在x,1处取极值,则a,_. ,
4、1x132(2)(2016?南京学情调研)已知函数f(x),x,x,2ax,1,若函数f(x)在(1,2)上有极值,3则实数a的取值范围为_. 3答案 (1)3 (2)(,4) 22x,a解析 (1)?f(x),() ,1x222,x,a,x,1,x,a,x,1,x,2x,a,, 22,x,1,x,1,又?函数f(x)在x,1处取极值, 2 ?f(1),0. ?1,21,a,0, ?a,3.验证知a,3符合题意. 2(2)方法一 令f(x),x,2x,2a,0, 得,1,1x,1,2a,x,1,2a, 12因为x?(1,2),因此则需1x2, 12即1,1,1,2a2, 3即41,2a9,所以
5、a4, 23故实数a的取值范围为(,4). 22方法二 f(x),x,2x,2a的图象是开口向上的抛物线,且对称轴为x,1,则f(x),f,1,3,2a0,,3,在(1,2)上是单调递增函数,因此解得a0,,3故实数a的取值范围为(,4). 2思维升华 (1)求函数f(x)极值的步骤: ?确定函数的定义域; ?求导数f(x); ?解方程f(x),0,求出函数定义域内的所有根; ?列表检验f(x)在f(x),0的根x左右两侧值的符号,如果左正右负,那么f(x)在x00处取极大值,如果左负右正,那么f(x)在x处取极小值. 0(2)若函数y,f(x)在区间(a,b)内有极值,那么y,f(x)在(a
6、,b)内绝不是单调函数,即在某区间上单调函数没有极值. 22 (1)函数f(x),(x,1),2的极值点是_. 1(2)函数y,2x,的极大值是_. 2x答案 (1)x,1或,1或0 (2),3 42解析 (1)?f(x),x,2x,3, 3?由f(x),4x,4x,4x(x,1)(x,1),0,得 x,0或x,1或x,1. 又当x,1时,f(x)0, 当,1x0. 当0x1时,f(x)1时,f(x)0, 3 ?x,0,1,,1都是f(x)的极值点. 2(2)y,2,令y,0,得x,1. 3x当x0或x0;当,1x0时,y0,f(x)在区间(0,e上单调递增,此时函数f(x)无最小值. ?若0
7、ae,则当x?(0,a)时,f(x)0,函数f(x)在区间(a,e上单调递增, 所以当x,a时,函数f(x)取得最小值ln a. ?若a?e,则当x?(0,e时,f(x)?0,函数f(x)在区间(0,e上单调递减, a所以当x,e时,函数f(x)取得最小值. e综上可知,当a?0时,函数f(x)在区间(0,e上无最小值; 当0aa,则实数,22a的取值范围是_. 7答案 (,?,) 22解析 由题意知,f(x),3x,x,2, 2令f(x),0,得3x,x,2,0, 2解得x,1或x,, 372157又f(1),,f(,),, 232711f(,1),,f(2),7, 277故f(x),,?a
8、. min22题型三 函数极值和最值的综合问题 32,x,x,x1,,,例5 已知函数f(x), aln x,x?1,.,(1)求f(x)在区间(,?,1)上的极小值和极大值点; (2)求f(x)在,1,e(e为自然对数的底数)上的最大值. 2解 (1)当x0时,f(x)在1,e上单调递增, 则f(x)在1,e上的最大值为f(e),a. 故当a?2时,f(x)在,1,e上的最大值为a; 当a0,,3.利用导数求函数的最值 典例 (16分)已知函数f(x),ln x,ax(a?R). (1)求函数f(x)的单调区间; 6 (2)当a0时,求函数f(x)在1,2上的最小值. 思维点拨 (1)已知函
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