最新(江苏专用)版高考数学大一轮复习+第八章+立体几何与空间向量+8.5+空间向量及其运算教师用书+理+苏教版优秀名师资料.doc
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1、(江苏专用)2018版高考数学大一轮复习 第八章 立体几何与空间向量 8.5 空间向量及其运算教师用书 理 苏教版第八章 立体几何与空间向量 8.5 空间向量及其运算教师用书 理 苏教版 1.空间向量的有关概念 名称 概念 表示 零向量 模为0的向量 0 单位向量 长度(模)为1的向量 相等向量方向相同且模相等的向量, ab相反向量 方向相反且模相等的向量 a的相反向量为,a 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行a共线向量 ?b 或重合的向量 共面向量 平行于同一个平面的向量 2.空间向量中的有关定理 (1)共线向量定理 对空间任意两个向量a,b(a?0),b与a共线的充要条件是存在实数使
2、b,a. (2)共面向量定理 如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在有序实数(x,y),使p,xa,yb. (3)空间向量基本定理 如果三个向量e,e,e不共面,那么对空间任一向量p,存在惟一的有序实数组(x,y,z),123使得p,xe,ye,ze. 1233.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ?两向量的夹角 ?已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作OA,a,OB,b,则?AOB叫做向量a,b的夹角,记作a,b,其范围是0?a,b?,若a,b,,则称a与b互相垂直,记2作a?b. 1 ?两向量的数量积 已知空间两个非零向量a,b,则|a|b
3、|cosa,b叫做向量a,b的数量积,记作a?b,即a?b,|a|b|cosa,b. (2)空间向量数量积的运算律 ?结合律:(a)?b,(a?b); ?交换律:a?b,b?a; ?分配律:a?(b,c),a?b,a?c. 4.空间向量的坐标表示及其应用 设a,(a,a,a),b,(b,b,b). 123123向量表示 坐标表示 数量积 a?b ba,ab,ab 112233共线 b,a(a?0,?R) b,a,b,a,b,a 112233a?,0 b垂直 ab,ab,ab,0 112233(a?0,b?0) 222模 |a| ,a,a a123, abab,ab,ab112233cosa,b
4、, 夹角 222222a,a,a?b,b,b123123(a?0,b?0) 【知识拓展】 ?1.向量三点共线定理:在平面中A、B、C三点共线的充要条件是:OA,xOB,yOC(其中x,y,1),O为平面内任意一点. ?2.向量四点共面定理:在空间中P、A、B、C四点共面的充要条件是:OP,xOA,yOB,zOC(其中x,y,z,1),O为空间中任意一点. 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“?”或“”) (1)空间中任意两非零向量a,b共面.( ? ) (2)在向量的数量积运算中(a?b)?c,a?(b?c).( ) (3)对于非零向量b,由a?b,b?c,则a,c.( ) (4
5、)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同.( ) ?(5)若,,0.( ? ) A、B、C、D是空间任意四点,则有ABBCCDDA2 ?1.已知正四面体ABCD的棱长为a,点E,F分别是BC,AD的中点,则AE?AF的值为_. 12答案 a 4?解析 如图,设AB,a,AC,b,AD,c,则|a|,|b|,|c|,a,且a,b,c三向量两两夹角11?为60?.AE,(a,b),AF,c, 2211111?222?AE?AF,(a,b)?c,(a?c,b?c),(acos 60?,acos 60?),a. 224442.(2016?苏州模拟)向量a,(,2,,3,1),b,(2,0,4),
6、c,(,4,,6,2),下列结论正确的是_. ?a?b,a?c; ?a?b,a?c; ?a?c,a?b. 答案 ? 解析 因为c,(,4,,6,2),2(,2,,3,1),2a, 所以a?c. 又a?b,(,2)2,(,3)0,14,0, 所以a?b. 3.(教材改编)已知a,(2,4,x),b,(2,y,2),若|a|,6,且a?b,则x,y的值为_. 答案 1或,3 ,4,4y,2x,0,,解析 依题意得 2 4,16,,x,36,,x,4,x,4,,解得或 y,3,y,1.,?x,y,1或x,y,3. ?4.如图,在四面体O,ABC中,OA,a,OB,b,OC,c,D为BC的中点,E为A
7、D的中点,则OE,_.(用a,b,c表示) 3 111答案 a,b,c 24411111?解析 OE,OA,OD,OA,OB,OC 22244111,a,b,c. 2445.(教材改编)正四面体ABCD的棱长为2,E,F分别为BC,AD中点,则EF的长为_. 答案 2 ?222解析 ?|EF|,EF,(EC,CD,DF) ?222,EC,CD,DF,2(EC?CD,EC?DF,CD?DF) 222,1,2,1,2(12cos 120?,0,21cos 120?) ,2, ?|EF|,2,?EF的长为2. 题型一 空间向量的线性运算 例1 (1)如图所示,在长方体ABCD,ABCD中,O为AC的
8、中点. 1111?用AB,AD,AA表示OC,则OC,_. 11111?答案 AB,AD,AA 12211?解析 OC,AC,(AB,AD), 221?OC,OC,CC,(AB,AD),AA 111211?,AB,AD,AA. 122?(2)三棱锥O,ABC中,M,N分别是OA,BC的中点,G是?ABC的重心,用基向量OA,OB,OC?表示MG,OG. 4 12?解 MG,MA,AG,OA,AN 2312?,OA,(ON,OA) 23121?,,) OA(OBOC,OA232111?,OA,OB,OC. 6331111?OG,OM,MG,OA,OA,OB,OC 2633111?,OA,OB,O
9、C. 333思维升华 用已知向量表示某一向量的方法 用已知向量来表示未知向量,一定要结合图形,以图形为指导是解题的关键.要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义.首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量.在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立. (2016?盐城模拟)如图所示,在空间几何体ABCD,ABCD中,各面为平行四边1111?,,的中点,试用形,设AAa,AB,b,AD,c,M,N,P分别是AABC,CDa,b,c表示以1111下各向量: ?(1)AP; ?(2)MP,NC. 1解 (1)因为P是CD的中点, 11?所以AP,AA,AD,DP 1
10、1111?,a,AD,DC 11211?,a,c,AB,a,c,b. 22(2)因为M是AA的中点, 11?所以MP,MA,AP,AA,AP 125 11,a,(a,c,b) 2211,a,b,c. 221?又,,,, NCNCCCBCAA111211?,AD,AA,c,a, 122111?所以MP,NC,(a,b,c),(a,c) 1222313,a,b,c. 222题型二 共线定理、共面定理的应用 例2 (2016?南京模拟)已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点. (1)求证:E,F,G,H四点共面; (2)求证:BD?平面EFGH; 1?(3)设M是
11、EG和FH的交点,求证:对空间任一点O,有OM,(OA,OB,OC,OD). 4证明 (1)连结BG, ?则EG,EB,BG 1?,EB,(BC,BD) 2?,EB,BF,EH ?,EF,EH, 由共面向量定理的推论知E,F,G,H四点共面. 6 ?(2)因为EH,AH,AE 11?,AD,AB 2211?,(AD,AB),BD, 22所以EH?BD. 又EH?平面EFGH,BD?平面EFGH, 所以BD?平面EFGH. (3)找一点O,并连结OM,OA,OB,OC,OD,OE,OG. 1?由(2)知EH,BD, 21?同理FG,BD, 2?所以EH,FG,即EH綊FG, 所以四边形EFGH是
12、平行四边形, 所以EG,FH交于一点M且被M平分. 1?故OM,(OE,OG) 211?,OE,OG 221111?,(OA,OB),(OC,OD) 22221?,(OA,OB,OC,OD). 4思维升华 (1)证明空间三点P,A,B共线的方法 ?PA,PB(?R); ?对空间任一点O,OP,OA,tAB(t?R); ?对空间任一点O,OP,xOA,yOB(x,y,1). (2)证明空间四点P,M,A,B共面的方法 ?MP,xMA,yMB; 7 ?对空间任一点O,OP,OM,xMA,yMB; ?对空间任一点O,OP,xOM,yOA,zOB(x,y,z,1); ?PM?AB(或PA?MB或PB?
13、AM). 1? 已知,三点不共线,对平面外的任一点,若点满足,(,ABCABCOMOMOAOB3?,OC). ?(1)判断MA,MB,MC三个向量是否共面; (2)判断点M是否在平面ABC内. ?解 (1)由题意知OA,OB,OC,3OM, ?OA,OM,(OM,OB),(OM,OC) ?即,,,, MABMCMMBMC?MA,MB,MC共面. ?,共面且基线过同一点, (2)由(1)知MAMBMCM?M,A,B,C四点共面. 从而点M在平面ABC内. 题型三 空间向量数量积的应用 例3 (2016?盐城模拟)如图,已知平行六面体ABCD,ABCD中,底面ABCD是边长为1的1111正方形,A
14、A,2,?AAB,?AAD,120?. 111(1)求线段AC的长; 1(2)求异面直线AC与AD所成角的余弦值; 11(3)求证:AA?BD. 1?(1)解 设AB,a,AD,b,AA,c, 1则|a|,|b|,1,|c|,2,a?b,0,c?a,c?b,21cos 120?,1. ?AC,AC,CC,AB,AD,AA,a,b,c, 111?|AC|,|a,b,c| 18 2,a,b,c, 222,|a|,|b|,|c|,2,a?b,b?c,c?a, 222,1,1,2,2,0,1,1,2. ?线段AC的长为2. 1(2)解 设异面直线与ACAD所成的角为, 11?,AC?AD11?,则co
15、s ,|cosAC,AD|,. 11,?,|,AC|AD|11?AC,a,b,c,AD,b,c, 11?2222?,0AC?AD,(a,b,c)?(b,c),a?b,a?c,bc,1,1,2,2, 11?222|AD|,b,c,|b|,2b?c,|c| 122,1,2,1,,2,7. ?,AC?AD,21411,?cos ,|,. ?,7?27|AC|AD|,11,14故异面直线所成角的余弦值为. AC与AD117?(3)证明 ?AA,c,BD,b,a, 1?AA?BD,c?(b,a),c?b,c?a,(,1),(,1),0, 1?AA?BD,?AA?BD. 11思维升华 (1)利用向量的数量
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