最新(江苏专用)版高考数学大一轮复习第三章导数及其应用3.2导数的应用第1课时导数与函数的单调性教师用书文苏教版优秀名师资料.doc
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1、(江苏专用)2018版高考数学大一轮复习第三章导数及其应用3.2导数的应用第1课时导数与函数的单调性教师用书文苏教版3.2 导数的应用 第1课时 导数与函数的单调性 1.函数的单调性 在某个区间(a,b)内,如果f(x)0,那么函数y,f(x)在这个区间内单调递增;如果f(x)0,右侧f(x)0,那么f(x)是极大值; 00?如果在x附近的左侧f(x)0,那么f(x)是极小值. 00(2)求可导函数极值的步骤: ?求f(x); ?求方程f(x),0的根; ?考察f(x)在方程f(x),0的根附近的左右两侧导数值的符号.如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在
2、这个根处取得极小值. 3.函数的最值 (1)在闭区间a,b上连续的函数f(x)在a,b上必有最大值与最小值. (2)若函数f(x)在a,b上单调递增,则f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若函数f(x)在a,b上单调递减,则f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值. (3)设函数f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,求f(x)在a,b上的最大值和最小值的步骤如下: 第一步 求f(x)在区间(a,b)上的极值; 第二步 将第一步中求得的极值与f(a),f(b)比较,得到f(x)在区间a,b上的最大值与最小值. 【知识拓展】 1.在某区间内f(x)0(f(x)0.( ) (
3、2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f(x),0,则f(x)在此区间内没有单调性.( ? ) (3)函数的极大值不一定比极小值大.( ? ) (4)对可导函数f(x),f(x),0是x点为极值点的充要条件.( ) 00(5)函数的最大值不一定是极大值,函数的最小值也不一定是极小值.( ? ) (6)三次函数在R上必有极大值和极小值.( ) 321.(教材改编)(),fxx,6x的单调递减区间为 . 答案 (0,4) 2解析 f(x),3x,12x,3x(x,4), 由f(x)0,得0x0,得cos x, 2又x?(0,),所以x. 333.(教材改编)函数y,3x,9x,5的极大值为 . 答案
4、 11 2解析 y,9x,9.令y,0,得x,?1. 当x变化时,y,y的变化情况如下表: (,?,,x ,1 (,1,1) 1 (1,?) 1) 2 y , 0 , 0 , y ? 极大值 ? 极小值 ? 从上表可以看出,当x,1时,函数y有极大值, 33(,1),9(,1),5,11. 4.(2016?苏中八校联考)函数f(x),x,ln x的单调递减区间为 . 答案 (0,1) x,11解析 函数的定义域是(0,?),f(x),1,, xx令f(x)0,得0x0时,,e,1, x?a,e0). x3 令y0,得0x0, ,则其在区间(,,)上的解集为,,,和0, ,22,即f(x)的单调
5、递增区间为,,,和0,. ,2,2,思维升华 确定函数单调区间的步骤 (1)确定函数f(x)的定义域; (2)求f(x); (3)解不等式f(x)0,解集在定义域内的部分为单调递增区间; (4)解不等式f(x)0,即8x,0,解得x, 2x2112,?函数y,4x,的单调增区间为,?. 2x,(2)因为函数f(x),xln x,定义域为(0,?), 所以f(x),ln x,1(x0), 1当f(x)0时,解得x, e1即函数的单调递增区间为(,?); e1当f(x)0时,解得0x, e1即函数的单调递减区间为(0,). e题型二 含参数的函数的单调性 4 t,13322例2 (2016?江苏新
6、海中学月考改编)已知函数f(x),2x,tx,3tx,(t?0),求f(x)22的单调区间. 22解 f(x),6x,3tx,3t,3(2x,t)(x,t). t令(),0,得,或,fxxtx. 2?t?0,以下分两种情况进行讨论: t?若t0,则t. 0,得x,t; 或2t由f(x)0,得x0,则t. ,2t由f(x)0,得x; 2t()0,得,由fxtx. 2tt?当t0时,f(x)的单调递增区间为(,?,,t),(,?),单调递减区间为(,t,). 22思维升华 (1)研究含参数的函数的单调性,要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论. (2)划分函数的单调区间时,要在函数定义域内讨论,
7、还要确定导数为0的点和函数的间断点. 32(3)个别导数为0的点不影响所在区间的单调性,如f(x),x,f(x),3x?0(f(x),0在x,0时取到),f(x)在R上是增函数. 2 讨论函数f(x),(a,1)ln x,ax,1的单调性. 解 f(x)的定义域为(0,?), 2a,12ax,a,1f(x),,2ax,. xx?当a?1时,f(x)0,故f(x)在(0,?)上单调递增; ?当a?0时,f(x)0,故f(x)在(0,?)上单调递减; aa1,1,?当0a1时,令f(x),0,解得x, ,则当x?(0, )时,f(x)0,故f(x)在(0, )上单调递减,在( ,2a2a2a?)上
8、单调递增. 5 题型三 已知函数单调性求参数 12例3 (2016?南通模拟)已知函数f(x),ln x,g(x),ax,2x(a?0). 2(1)若函数h(x),f(x),g(x)存在单调递减区间,求a的取值范围; (2)若函数h(x),f(x),g(x)在1,4上单调递减,求a的取值范围. 12解 (1)h(x),ln x,ax,2x,x?(0,?), 21所以h(x),ax,2,由于h(x)在(0,?)上存在单调递减区间, x1所以当x?(0,?)时,,ax,2,有解. 2xx12设G(x),,所以只要aG(x)即可. min2xx12而G(x),(,1),1,所以G(x),1. min
9、x所以a,1,即a的取值范围为(,1,?). ()在1,4上单调递减得, (2)由hx1当x?1,4时,h(x),ax,2?0恒成立, x12即a?,恒成立. 2xx12所以a?G(x),而G(x),(,1),1, maxx11因为x?1,4,所以?,1, x47所以G(x),(此时x,4), max1677所以a?,,即a的取值范围是,,?). 1616引申探究 1.本题(2)中,若函数h(x),f(x),g(x)在1,4上单调递增,求a的取值范围. 解 由h(x)在1,4上单调递增得, 当x?1,4时,h(x)?0恒成立, 12即当x?1,4时,a?,恒成立, 2xx12又当x?1,4时,
10、(,),1(此时x,1), min2xx?a?,1,即a的取值范围是(,?,,1. 6 2.本题(2)中,若h(x)在1,4上存在单调递减区间,求a的取值范围. 解 h(x)在1,4上存在单调递减区间, 则h(x),有解, xa2xx12又当x?1,4时,(,),1, min2xx?a,1,即a的取值范围是(,1,?). 思维升华 根据函数单调性求参数的一般思路 (1)利用集合间的包含关系处理:y,f(x)在(a,b)上单调,则区间(a,b)是相应单调区间的子集. (2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x?(a,b)都有f(x)?0且在(a,b)内的任一非空子区间上f(x)不恒为零,应注意
11、此时式子中的等号不能省略,否则漏解. (3)函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题. xx 已知函数(),eln ,e(?R). fxxaa1(1)若f(x)在点(1,f(1)处的切线与直线y,x,1垂直,求a的值; e(2)若f(x)在(0,?)上是单调函数,求实数a的取值范围. 11xxxx解 (1)f(x),eln x,e?,ae,(,a,ln x)e, xx1f(1),(1,a)e,由(1,a)e?,1,得a,2. e1x(2)由(1)知f(x),(,a,ln x)e, x若f(x)为单调递减函数,则f(x)?0在x0时恒成立. 1即,a,ln x?0在x0时恒成立. x1所
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