最新（江苏专用）版高考数学大一轮复习第三章导数及其应用3.2导数的应用第2课时导数与函数的极值、最值教师用书文苏教版优秀名师资料.doc

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1、（江苏专用）2018版高考数学大一轮复习第三章导数及其应用3.2导数的应用第2课时导数与函数的极值、最值教师用书文苏教版第2课时 导数与函数的极值、最值 题型一 用导数解决函数极值问题 命题点1 根据函数图象判断极值 例1 (1)(2016?淮安模拟)设f(x)是函数f(x)的导函数，y,f(x)的图象如图所示，则y,f(x)的图象最有可能是_. (2)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数y,(1,x)f(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是_. ?函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1); ?函数f(x)有极大值f(,2)和极小值f(1); ?函数f(x)有极大值

2、f(2)和极小值f(,2); ?函数f(x)有极大值f(,2)和极小值f(2). 答案 (1)? (2)? 解析 (1)由f(x)图象可知，x,0是函数f(x)的极大值点，x,2是f(x)的极小值点. (2)由题图可知，当x0; 当,2x1时，f(x)0; 当1x2时，f(x)2时，f(x)0. 1 由此可以得到函数f(x)在x,2处取得极大值，在x,2处取得极小值. 命题点2 求函数的极值 3例2 设a为实数，函数f(x),x，3x，a. (1)求f(x)的极值; ，使得方程(),0恰好有两个实数根,若存在，求出实数的值;若不(2)是否存在实数afxa存在，请说明理由. 2解 (1)令f(x

3、),3x，3,0， 得x,1，x,1. 12又因为当x?(,?，,1)时，f(x)0; 当x?(1，?)时，f(x)a,2，即函数的极大值大于极小值， 所以当极大值等于0时，有极小值小于0， 此时曲线f(x)与x轴恰好有两个交点， 即方程f(x),0恰好有两个实数根， 所以a，2,0，a,2，如图1.当极小值等于0时，有极大值大于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x),0恰好有两个实数根，所以a,2,0，a,2.如图2. 综上，当a,2或a,2时方程恰好有两个实数根. 命题点3 已知极值求参数 2 2x，a例3 (1)若函数f(x),x,1处取极值，则a,_. 在，1x132(

4、2)(2016?南京学情调研)已知函数f(x),x，x,2ax，1，若函数f(x)在(1,2)上有极值，3则实数a的取值范围为_. 3答案 (1)3 (2)(，4) 22x，a解析 (1)?f(x),() ，1x222,x，a,x，1,x，a,x，1,x，2x,a,， 22,x，1,x，1,又?函数f(x)在x,1处取极值， ?f(1),0. ?1，21,a,0， ?a,3.验证知a,3符合题意. 2(2)方法一 令f(x),x，2x,2a,0， 得,1,1x,1，2a，x，1，2a， 12因为x?(1,2)，因此则需1x2， 12即1,1，1，2a2， 3即41，2a9，所以a4， 23故实

5、数a的取值范围为(，4). 22方法二 f(x),x，2x,2a的图象是开口向上的抛物线，且对称轴为x,1，则f(x),f,1,3,2a0，,3,在(1,2)上是单调递增函数，因此解得a0，,3故实数a的取值范围为(，4). 2思维升华 (1)求函数f(x)极值的步骤: ?确定函数的定义域; ?求导数f(x); ?解方程f(x),0，求出函数定义域内的所有根; ?列表检验f(x)在f(x),0的根x左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x00处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x处取极小值. 0(2)若函数y,f(x)在区间(a，b)内有极值，那么y,f(x)在(a，b)内绝不是单

6、调函数，即在3 某区间上单调函数没有极值. 22 (1)函数f(x),(x,1)，2的极值点是_. 1(2)函数y,2x,的极大值是_. 2x答案 (1)x,1或,1或0 (2),3 42解析 (1)?f(x),x,2x，3， 3?由f(x),4x,4x,4x(x，1)(x,1),0，得 x,0或x,1或x,1. 又当x,1时，f(x)0， 当,1x0. 当0x1时，f(x)1时，f(x)0， ?x,0,1，,1都是f(x)的极值点. 2(2),2，令,0，得,1. yyx3x当x0或x0;当,1x0时，y0，f(x)在区间(0，e上单调递增，此时函数f(x)无最小值. ?若0ae，则当x?(

7、0，a)时，f(x)0，函数f(x)在区间(a，e上单调递增， 所以当x,a时，函数f(x)取得最小值ln a. ?若a?e，则当x?(0，e时，f(x)?0，函数f(x)在区间(0，e上单调递减， a所以当x,e时，函数f(x)取得最小值. e综上可知，当a?0时，函数f(x)在区间(0，e上无最小值; 当0aa，则实数a,22的取值范围是_. 7答案 (,?，) 22解析 由题意知，f(x),3x,x,2， 2令f(x),0，得3x,x,2,0， 2解得x,1或x,， 372157又f(1),，f(,),， 232711f(,1),，f(2),7， 277故f(x),，?a0)的导函数y,

8、f(x)的两个零点为,3和0. xe5 (1)求f(x)的单调区间; 3(2)若f(x)的极小值为,e，求f(x)在区间,5，?)上的最大值. x2xax，b,e,ax，bx，c,e,2解 (1)f(x), x2,e,2,，,ax，,2abxbc,. xe2令g(x),ax，(2a,b)x，b,c， x2因为e0，所以y,f(x)的零点就是g(x),ax，(2a,b)x，b,c的零点且f(x)与g(x)符号相同. 又因为a0，所以当,3x0，即f(x)0， 当x0时，g(x)0，即f(x)5,5e,f(0)， 5所以函数f(x)在区间,5，?)上的最大值是5e. 思维升华 求一个函数在闭区间上

9、的最值和在无穷区间(或开区间)上的最值时，方法是不同的.求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值. 1232 若函数f(x),x，x,在区间(a，a，5)上存在最小值，则实数a的取值范围33是_. 答案 ,3,0) 2解析 由题意，得f(x),x，2x,x(x，2)， 6 故f(x)在(,?，,2)，(0，?)上是增函数， 在(,2,0)上是减函数，作出其图象如图所示， 12232令x，x,，得x,0或x,3， 333,3?a,0，,则结合图象可知，解得a?,3,0). ,a，50，

10、,3.利用导数求函数的最值 典例 (16分)已知函数f(x),ln x,ax(a?R). ()的单调区间; (1)求函数fx(2)当a0时，求函数f(x)在1,2上的最小值. 思维点拨 (1)已知函数解析式求单调区间，实质上是求f(x)0，f(x)0)， x1?当a?0时，f(x),a0，即函数f(x)的单调递增区间为(0，?). 2分 x11?当a0时，令f(x),a,0，可得x,， xa11,ax当0x0; ax11,ax当x时，f(x),0时，函数f(x)的单调递增区间为0， ,a1,单调递减区间为，?. 7,a,分 1(2)?当?1，即?1时，函数()在区间1,2上是减函数，所以()的

11、最小值是(2),afxfxfaln 2,2a. 9分 11?当?2，即0a?时，函数f(x)在区间1,2上是增函数，所以f(x)的最小值是f(1),a2a. 11分 1111，?当12，即a1时，函数f(x)在1，上是增函数，在，2上是减函数.又f(2),f(1)a2，a，a，,ln 2,a， 1所以当ln 2时，最小值是(1),; afa2当ln 2?a1时，最小值为f(2),ln 2,2a. 14分 综上可知， 当0a0，则f(x)单调递增; 当x?(,2,2)时，f(x)0，即a,3a,180. ?a6或a0时，f(x)的极值，则下面关于当x89 说法正确的是_. ?有极大值，无极小值;

12、 ?有极小值，无极大值; ?既有极大值又有极小值; ?既无极大值也无极小值. 答案 ? xe2解析 由题意知xf(x),， xxg,x,e2令g(x),xf(x)，则g(x),且f(x),， 2xxxxg,x,2g,x,e,2g,x,因此f(x),. 33xxx令h(x),e,2g(x), xx2ee,x,2,xx则h(x),e,2g(x),e,， xx所以当x2时，h(x)0;当0x2时，h(x)0时，f(x)是单调递增的， 故f(x)既无极大值也无极小值. 16.(2016?南京模拟)已知y,f(x)是奇函数，当x?(0,2)时，f(x),ln x,ax(a)，当x?(,22,0)时，f(

13、x)的最小值为1，则a,_. 答案 1 解析 由题意知，当x?(0,2)时，f(x)的最大值为,1. 11令f(x),a,0，得x,， xa1当0x0; a1当x时，f(x)0)的极大值是正数，极小值是负数，则a的取值范围是_. 2答案 (，?) 222解析 f(x),3x,3a,3(x，a)(x,a)， 由f(x),0得x,?a， 当,时，()a或x0，函数递增. 3333?f(,a),a，3a，a0且f(a),a,3a，a.?a的取值范围是(，?). 221132已知函数9.(2016?徐州模拟)f(x),x,x,x，m在0,1上的最小值为，则实数m的值33为_. 答案 2 132解析 由

14、f(x),x,x,x，m， 32可得f(x),x,2x,1， 2令x,2x,1,0，可得x,1?2. 当x?(1,2，1，2)时，f(x)0， 即函数f(x)在(1,2，1，2)上是减函数， 即f(x)在0,1上的最小值为f(1)， 11所以,1,1，m,，解得m,2. 333210.(2016?南京模拟)已知函数f(x),x，ax,4在x,2处取得极值，若m?,1,1，则f(m)的最小值为_. 答案 ,4 2解析 f(x),3x，2ax，由f(x)在x,2处取得极值知f(2),0. 11 即,34，2a2,0，故a,3. 32由此可得f(x),x，3x,4. 2f(x),3x，6x，由此可得

15、f(x)在(,1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增， ?对m?,1,1时，f(m),f(0),4. min1211.已知函数f(x),xln x.若对于任意x?，e，不等式2f(x)?,x，ax,3恒成立，则e实数a的取值范围为_. 1答案 ,2，3e，?) e332解析 由题意知，2xln x?,x，ax,3，则a?2ln x，x，.设h(x),2ln x，x，(x,0)，xxx，3,x,1,23,1则h(x),，1,.当x?，1)时，h(x)0，h(x)单调递增.由h(),2，3e，h(e),2，e，h(),h(e)eeee21111,2e,40，可得h()h(e).所以当x?，e时

16、，h(x)的最大值为h(),2，3e.eeeee1故a?,2，3e. e212.设f(x),a(x,5)，6ln x，其中a?R，曲线y,f(x)在点(1，f(1)处的切线与y轴相交于点(0,6). (1)确定a的值; (2)求函数f(x)的单调区间与极值. 2解 (1)因为f(x),a(x,5)，6ln x， 6所以f(x),2a(x,5)，. x令x,1，得f(1),16a，f(1),6,8a， 所以曲线y,f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为 y,16a,(6,8a)(x,1)， 1由点(0,6)在切线上，可得6,16a,8a,6，故a,. 212(2)由(1)知，f(x),(x,5

17、)，6ln x(x0)， 2x,2,x,3,6,f(x),x,5，,. xx令f(x),0，解得x,2或3. 当0x3时，f(x)0， 12 故f(x)在(0,2)，(3，?)上为增函数; 当2x3时，f(x)0，b?R). (1)设a,1，b,1，求f(x)的单调区间; (2)若对任意的x0，f(x)?f(1)，试比较ln a与,2b的大小. 2解 (1)由f(x),ax，bx,ln x，x?(0，?)， 2ax，bx,12得f(x),. x?a,1，b,1， 2x,x,1x，1,x,1,2,2?f(x),(x0). xx(),0，得,1. 令fxx当0x1时，f(x)1时，f(x)0，f(x)单调递增. ?f(x)的单调递减区间是(0,1); 单调递增区间是(1，?). (2)由题意可知，f(x)在x,1处取得最小值， 即x,1是f(x)的极值点， ?f(1),0，?2a，b,1，即b,1,2a. x1,4令g(x),2,4x，ln x(x0)，则g(x),. x1令g(x),0，得x,. 41当0x0，g(x)单调递增， 41当x时，g(x)0，g(x)单调递减， 411?g(x)?g(),1，ln 44,1,ln 40， ?g(a)0，即2,4a，ln a,2b，ln a0， 13 故ln a,2b. 14