2019年高考数学一轮总复习第七章立体几何7.7.2空间向量的应用课时跟踪检测理2018051942.wps
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1、7.7.27.7.2 空间向量的应用 课 时 跟 踪 检 测 1已知单位正方体 ABCDA1B1C1D1,E,F 分别是棱 B1C1,C1D1的中点试求: (1)AD1与 EF 所成角的大小; (2)AF 与平面 BEB1所成角的余弦值 解:建立如图所示的空间直角坐标系, 1 1 得 A(1,0,1),B(0,0,1),D1(1,1,0),E(0, ,0),F(,1,0). 2 2 1 1 (1)因为AD1(0,1,1),EF , , ( ,0) 2 2 1 1 0,1,1(, ,0) 1 2 2 所以 cosAD1,EF , 2 2 2 2 即 AD1与 EF 所成的角为 60. 1 (2)
2、FA(,1,1), 2 由图可得,BA(1,0,0)为平面 BEB1的一个法向量, 设 AF 与平面 BEB1所成的角为 , 则 sin|cosBA,FA| 1 |1,0,0(,1,1)| 2 1 , 1 3 1 (2 ) 2 1212 2 2 所以 cos . 3 2 2 即 AF 与平面 BEB1所成角的余弦值为 . 3 2(2018 届昆明市两区七校调研)如图,在长方体 ABCDA1B1C1D1中, ABAA11,E 为 BC 中点 1 (1)求证:C1DD1E; AM (2)在棱 AA1上是否存在一点 M,使得 BM平面 AD1E?若存在,求 的值;若不存在,说 AA1 明理由; (3
3、)若二面角 B1AED1的大小为 90,求 AD 的长 解:(1)证明:以 D 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz,设 ADa,则 a D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,1,0),B1(a,1,1),C1(0,1,1),D1(0,0,1),E(,1,0), 2 a 所以C1D(0,1,1),D1E , (,1,1) 2 所以C1DD1E0,所以 C1DD1E. AM (2)设 h,则 M(a,0,h), AA1 a 连接 BM,所以BM(0,1,h),AE , (a,0,1), ( ,1,0) AD1 2 设平面 AD1E 的法向量为 n n(x,y,z), 则Error
4、!, 所以平面 AD1E 的一个法向量为 n n(2,a,2a), 因为 BM平面 AD1E,所以BMn n, 1 即BMn n2aha0,所以 h . 2 即在 AA1上存在点 M,使得 BM平面 AD1E, AM 1 此时 . AA1 2 a (3)连接 AB1,B1E,设平面 B1AE 的法向量为 m m(x,y,z),AE( ,1,0),AB1 2 2 (0,1,1), 则Error! 所以平面 B1AE 的一个法向量为 m m(2,a,a) 因为二面角 B1AED1的大小为 90, 所以 m mn n,所以 mnmn4a22a20, 因为 a0,所以 a2,即 AD2. 3如图 1,
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