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1、陕西科技大学高等数学 练习册(下册)上答案姓名: 班级: 学号: ?1? 陕西科技大学 高等数学 练习册(下册)上答案 第八章 多元函数微分法及其应用 第一节 多元函数的基本概念 本节主要概念,定理,公式和重要结论 理解多元函数的概念,会表达函数,会求定义域; 理解二重极限概念,注意是点(x,y)以任何方式趋于(x0,y0); 注意理解本节中相关概念与一元函数中相应 8,1 1.求下列函数表达式: ,求 解: ,求f(x,y) 解: 2.求下列函数的定义域,并绘出定义域的图形 解: 解: 解: 3.求下列极限: (1) 解: ?2? (2) lim xy 解一: lim xy xy lim x
2、y4 lim 解二: lim xysin(xy)y 2 lim 14 (3) 2 2 解一:解二: sin(xy)ysin(xy)y (x,y 2 2 lim lim xy lim (4)lim 22 12 xy 22 22 解一:lim 2 12 2 y 2 2 2 2 解二:lim y 2 2 2 4.证明下列函数当时极限不存在 2 22 222 2 2 2 22 22 解:lim 2 2 2 2 2 2 解:lim xy 2 22 2 xx 44 xy 2 2 2 2 2 2 lim 22 5.下列函数在何处是间断的? 1 姓名: 班级: 学号: ?3? 解: 22 解: 第二节 偏导数
3、 本节主要概念,定理,公式和重要结论 1.偏导数:设在(x0,y0)的某一邻域有定义,则 , . 在点M(x0,y0,f(x0,y0)处的切线对x轴 fx(x0,y0)的几何意义为曲线 的斜率. f(x,y)在任意点(x,y)处的偏导数fx(x,y)、fy(x,y)称为偏导函数,简称偏导数.求fx(x,y)时,只需把y视为常数,对x求导即可. 2.高阶偏导数 的偏导数fx(x,y),fy(x,y)的偏导数称为二阶偏导数,二阶偏导数的偏导 数称为三阶偏导数,如此类推. 二阶偏导数依求导次序不同,有如下4个: ,,其中后两个称为混合偏导数. 22 2 2 2 2 若两个混合偏导数皆为连续函数,则它
4、们相等,即可交换求偏导数的次序.高阶混合偏导数也有类似结果. 习题 8,2 1.求下列函数的一阶偏导数解: xy xy 2 1y yx1 解: 2 2 x y 2 2 , x y 2 1x 2 2 22 ?4? 解: 2 2 解: 2 2 2 2 2 2 2 解: yz xz etdt xz 22 2 yz 22 yz 22 xz 22 解: yx cos yx 1y cos xy cos yx yx 2 sin xy sin 解: y, x 解: 2.求下列函数在指定点处的一阶偏导数: (1)解:(2) 2 y 2 xy ,求zx(0,1) 2 yx ,求zy(1,0) 解: e 0 3.求
5、下列函数的高阶偏导数, 求解: 22 , 2 2 , 2 xy 姓名: 班级: 学号: ?5? 2 2 2 ,求解: 2 2 2 2 , 2 2 , 2 , 2 22 2 2 2 解: x etdt, 求 x 2 2 222 , 2 2 2 2 x x 2 22 33 4.设 ,求fxy(0,0)和fyx(0,0). 解: ,,0) 2 2 4 2 2 4 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 5 22 5 4 2 5.设 11 , 求证x 2 解: 1x 2 e, 1y 2 e ?6? x 2 2 2 2 2 1x 2 1x 1y ) 2 1y 22 1x 1y 1x 1y ) 2 e 2
6、2 6.设 2 , 证明 2 2 2 2r 2 证明 : 2 2 2 x 22 由轮换对称性 22 2 2 2 32 2 , 2 2 2 2 323 1r 2 2 2 2 r 3 第三节 全微分 本节主要概念,定理,公式和重要结论 1.全微分的定义 若函数在点(x0,y0)处的全增量表示成 (x0,y0)的全微分,记作dz. 22 则称在点(x0,y0)可微,并称为在点2.可微的必要条件:若在(x0,y0)可微,则 (1)f(x,y)在(x0,y0) 处连续; (2)f(x,y)在(x0,y0)处可偏导,且,从而 一般地,对于区域D 8,3 1.求下列函数的全微分 解 12 x 2 2 2 2
7、 2 2 (2 2 2 2 2 姓名: 班级: 学号: ?7? 解 2 2 d) 2 2 y) 2 2 2 22 sinxy dy) 解 xz 2 2 解 2 2 dy) 3 22 2 2 2 2 2 解 2 2 2 2 2 2 222 222 2 2 2 2 2 2 2 所以解 yz 222 yz yzlnx yzlnx ( yzx yzx 2 2 2.求函数,当时的全微分. 解 2 2 23 y ,当 时的全增量与全微分. x 解 x4 xx2.124.24.2 3.求函数 ?8? 4.研究函数 在点(0,0)处的可微性. 解: 由于 2 2 ,所以f(x,y)在点(0,0)连 2 续,又
8、 2 1 2 2 2 0 2 又所以 2 2 2 2 2 2 所以f(x,y)在点(0,0)处可微 5.计算的近似值. 解:令 再设 则 df 6 6.已知边长的矩形,如果x边增加5cm,而y边减少10cm,求这个矩形的对角线的长度变化的近似值. 解:对角线长为 , 0.510 所以 第四节 多元复合函数的求导法则 本节主要概念,定理,公式和重要结论 复合函数的求导法则(链式法则)如下: 1.设在(x,y)可偏导,)在相应点有连续偏导数,则 姓名: 班级: 学号: ?9? 在(x,y) 的偏导数为 ; 2.推广: (1)多个中间变量:设 , 则 且 ; (2)只有一个中间变量:设 ; 则且 (
9、3)只有一个自变量:设,则且 dzdt 习题8,4 1.求下列复合函数的一阶导数 解: 3 解: x 2 2 2 解: dzdx e ax a 2 , xe 2 2 x 2x 解: edudx ax 2 ax 2 zdx 2 2 ax e ax sinx 2 ax e ax 2 2 sinx 2.求下列复合函数的一阶偏导数 解: ?10? st 2 (解: 1 s3s xss 2 x 2 s23 s 2 2 2s2 2 1 t y t t t 3.求下列复合函数的一阶偏导数(f是C(1)类函数) y2,exy) 解: ,解: , ) 解: f 2 , f 2 x ) 解: 2 2 , , x
10、4.设且f具有二阶连续偏导数,求 u 解: x 5.已知 x y ,其中有二阶连续导数,求 解: x 2 x z y 2 x 2 2xy 2 姓名: 班级: 学号: ?11? 6.设解: 2 xy yx ),其中f,g有连续二阶偏导数,求 2 1y 2 xy 1y yxx 32 1x 2 1y 2 y yx 3 1y 2 xy 3 1x 2 yx 3 第五节 隐函数的求导公式 本节主要概念,定理,公式和重要结论 1.一个方程的情形 (1)若方程确定隐函数, 则 dydx FxFy . FxFz (2)若方程确定隐函数,则 ; FyFz . 2.方程组的情形 (1)若确定,则 dydx dzdx
11、 , (2)若确定,则 dydx , ; , . 习题85 1(求下列方程所确定的隐函数的一阶导数 y 2y y dydx y 解: x x2 2 2 x 解: ?12? dydx 2x 解: yx dydx xy 22 (4)ln解:ln 22 yx 2 2 x y 2 x 2 2 2 dydx , 2(求下列方程所确定的隐函数的一阶偏导数 2z 2 解: 2 解: z 解: , 1 解: y ? 3(求下列方程所确定的隐函数的指定偏导数 (1)设求 2 解: 2 yz z z , z z zz 2 z z 3 2 2 2 2 2 z z 2 z 3 3 z2 3 (2)设 求 解: 2 y
12、z 2 2 , 2 2 2 2 2 5 2 3 2 2 2 2 2222 3 2 3 (3)设e解: 2 求 ) 2 求 2 2 3 (4)设解: 2 x y e x y e 2 2 2 , ze ?14? (设,而是由方程所确定的隐函数,求 解: 又,所以 5.求由下列方程组所确定的隐函数的导数或偏导数 (1)设,求 解:z) 设,求 解: 6.设,求 姓名: 班级: 学号: ?15? 解: 又 所以 7.设,而t是由方程所确定的x,y的函数,其中f,F都具有一阶连续偏导数.试证明 解:由, 又 dydx 所以 第六节 多元函数微分学的几何应用 本节主要概念,定理,公式和重要结论 1.空间曲
13、线的切线与法平面 设点, (1)参数方程情形: 若, 222 则切向量为;其中; 切线方程为 法平面方程为 ; . (2)一般方程情形:若 , ijk 则切向量为 GxGyGz ; M(x0,y0,z0) ?16? 切线方程为 M0 M0 M0 ; 法平面方程为 M0 M0 M0 2.空间曲面的切平面与法线 设点隐式方程情形 若, 则法向量为; 切平面为 法线为 ; . (2)显式方程情形 若, 则法向量为, 切平面为 法线为 ; . (3)参数方程情形 若, i 则法向量 xv jyuyv kzuzv , (u0,v0) (u0,v0) 切平面为 (u0,v0) (u0,v0) ; 法线为
14、(u0,v0) (u0,v0) (u0,v0) 习题86 对应的点处的切线和法平面方程 解: 1(求曲线 11 法平面: 22 切线: 1 姓名: 班级: 学号: ?17? 2(求下列曲面在指定点处的切平面与法线方程 (1),点(2,1,0) 解:切平面:法线:(2) zc 22 z0 解: abcabc2x2y1 切平面: 2xx0a 2xx0 a 2 x y 22 ,点(x0,y0,z0) 2 2yy0b2yy0 b 2 2 zcz c 2 2x0a z0c 2 2 2y0b 2 2 z0c 即 2y0 2 法线: 2 3 2 2x0 3(求出曲线上的点,使在该点的切线平行于平面解:设曲线
15、在点(x,y,z)|t的切向量为 平面的法向量为,由题意可知 3 2 所以,该点为 2 1 279 2 , 1 13 2 4(求椭球面上平行于平面的切平面方程. 222 解:设曲面在点(x0,y0,z0)处的法向量为n,则 ,由题意可知, 1 1 令t 2 3x01 2 2 z01 2 t3 ,又,所以 222 3 ,代入得 ?18? 或 即 0或(试证曲面 上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于1. 证明:设P(x,y,z)为曲面上任一点,则曲面在该点处的法向量为 即 ,该平面在三个坐标轴上的截距为 my0 12z0 6(求曲线在点(x0,y0,z0)处的切线和法平面方程. 解:曲线在
16、点(x0,y0,z0)处的切向量为所以切线的方程为法平面为1 m 2 2 my0 12z0 12 my0 12z0 ,即 第七节 方向导数与梯度 本节主要概念,定理,公式和重要结论 1.方向导数 ,(1)定义 设在点P(x,y)的某邻域设 (1) ,则梯度gradf(x,y)为下式定义的向量: gradf(x,y)(或) (2)方向导数与梯度的关系 姓名: 班级: 学号: ?19? (3)梯度的特征刻画 梯度是这样的一个向量,其方向为f(x,y)在点P(x,y)处增长率最大的一个方向;其模等于最大增长率的值. 习题87 1(求下列函数在指定点M0处沿指定方向l的方向导数 M0(1,2) , l
17、为从点(1,2)到点(2,2+3)的方向 l 解:方向为,而 所以 12 2 y 解: 3 , 3 而 所以 4 14 14 12 2(求函数在抛物线上点(1,2)处,沿着这抛物线在该点处偏向x 轴正向的切线方向的方向导数. 2 解:抛物线在点(1,2) 处的切向量为l= (1, 3 2 , 2 132 1 32 23 3(求函数在点(1,1,2)处沿方向角为 4 3 的方向的方 向导数. 解: 3 4 3 12 112 4(设f(x,y)具有一阶连续的偏导数,已给四个点A(1,3),B(3,3),C(1,7),D(6,15),若 ?20? f(x,y)在点A处沿AB方向的方向导数等于3,而沿
18、AC方向的方向导数等于26,求f(x,y)在点A处沿AD方向的方向导数. 解:1313 所以 5(设,求gradf(0,0,0)及gradf(1,1,1) 解:6(问函数在点处沿什么方向的方向导数最大,并求此方向导数的最大值. 解:沿梯度方向的方向的方向导数最大 第八节 多元函数的极值及其求法 本节主要概念,定理,公式和重要结论 1.极大(小)值问题 必要条件. 若f(x,y)在点(x0,y0)有极值且可偏导,则 使偏导数等于零的点(x0,y0)称为f的驻点(或稳定点).驻点与不可偏导点都是可疑极值点,还须用充分条件检验. 充分条件. 设在区域D内是C (2) 类函数,驻点,记 2 (1)当时
19、,f(x0,y0)是极值,且是极小(大)值; (2)当时,f(x0,y0)不是极值; (3)当时,还需另作判别. 2.最大(小)值问题 首先找出f(x,y)在D上的全部可疑极值点(设为有限个),算出它们的函数值,并与D的边界上f的最大.最小值进行比较,其中最大、最小者即为f在D上的最大、最小值. 姓名: 班级: 学号: ?21? 对于应用问题,若根据问题的实际意义,知目标函数f(x,y)在D88 1(求下列函数的极值 (1)解: 2 2 2x 22x 2x (2x 2 2x 2 2 2x 2 2 2 2x 2 2x , 1 2 故f(x,y)在处取得极大值 2 2 112 12 e (2)解:
20、 2 232 2 2 可疑极值点有四个,即 2 2 ?22? 2(求下列函数在约束方程下的最大值与最小值 (1) 解:令 1) f(17 最大值 2 (2) 解:令 3最大值 ,最小值 3(从斜边之长为l的一切直角三角形中,求有最大周长的直角三角形. 222解:令 y) 所以当直角三角形的两直角边 2 222l时,该直角三角形的周长最大,且为 l 222224(求两曲面交线上的点与xoy面距离最小值. 解:设两曲面交线上的点为P(x,y,z),由题意可得 2 姓名: 班级: 学号: ?23? 令u 当时,当时, 当时,与矛盾 ,当时, 当时, 当时,与矛盾 所以当时,P(x,y,z)到xoy面
21、的距离最短。 5(求抛物线到直线之间的最短距离. 解:设抛物线上任一点P(x,y)到直线的距离为d,则 222令 所以,点P(,)到直线的距离为d 为最小,且 6(求表面积为1500cm2,全部棱长之和为200cm的长方体体积的最大值和最小值. 解:设长方体的三条棱长分别为x,y,z,由题意可知,令 ?24? 当时, 所以当时,V有最大和最小值,即 7(抛物面被平面截成一椭圆,求原点到这椭圆的最长与最短距离. 解:曲线上任一点P(x,y,z)到坐标原点的距离为d,则 令 当时,矛盾,所以,即,代入得 姓名: 班级: 学号: ?25? 所以 2 第九章 重积分 第一节 二重积分的概念与性质 本节
22、主要概念、定理、公式和重要结论 1(重积分的定义,与定积分定义类似,用划分、近似、求和、逼近的思想方法,二重、三重积分定义为下列和式的极限(其中右端的极限存在,并设被积函数在积分域上有界): n D ; n 和 其中是(二维或三维)各小区域直径的最大值。 可积充分条件:若被积函数在积分域上连续或分块连续,则重积分存在。 几何意义:以曲面为顶的曲顶柱体的体积为柱体在xoy面上的底 物理意义: 设为平面薄片(所占区域为D)的面密度,则其质量 D ,其中D D 设为立体(所占区域为)的体密度,则其质量 2(重积分性质 (1)线性性质:; D D D (2)区域可加性:若积分区域D由D1和D2构成,且
23、,则 D D1 D2 f(x,y)dxdy; (3)正性:若,则; D (4)单调性:若在D上,则 D x,y)dxdy D ; (5)绝对可积性:若f(x,y)可积,则|f(x,y)|可积,且有 ?26? ; (6)积分中值定理:设,则,使得 为D的面积); M,m分别为f(x,y)在D上的最大、最小值, (7)估计定理 若 则有 三重积分也有类似性质,不另列。 习题 9,1 1(利用二重积分的性质比较下列积分的大小 (1)与,其中积分区域D是由x轴,y轴与直 DD23 线所围成. 解: 与,其中D由所围成的区域. DD 2222222解: 2(利用二重积分的性质,估计下列积分的值 (1),
24、其中D为矩形区域: 解: 22(2),其中D是圆形闭区域: D 解:因为所以 3(设 ,其中;又 其中,试利用二重积分的几何意义说明I1与I2之间的关系. 解: 第二节 二重积分的计算法 本节主要概念、定理、公式和重要结论 1(计算二重积分的一般方法(其中):先将二重积分化为二次积 D 姓名: 班级: 学号: ?27? 分,然后计算两次定积分求得二重积分的值。 2(利用直角坐标化为二次积分: 若D为X-型区域(x,y),则 D b a f(x,y)dy 若D为Y-型区域,则 D b a f(x,y)dx 若D既非X-型、又非Y-型区域,则将D划分为若干个子区域,使每一个子区域是X-型或Y-型的
25、,再分别利用上述公式计算,并将计算结果相加。 3(利用极坐标计算二重积分 令,则有如下的变换公式 D D 若D可表为,则上式右端可化为如下的二次积分: D 4(二重积分的一般换元法 D fx(u,v),y(u,v) |J(u,v)|dudv 其中变换: 具有连续偏导数 ,且 称J为Jacobi行列式,并常称|J|为变换 T下面积元素的伸缩系数 。 习题 9,2(1) 1( 画出积分区域并计算下列二重积分 ,其中D是由及所围成的闭区域 D 解: D 2 2 2 2 3 2 2 3 2 2 20 x 2 13 83 203 ,其中D是顶点分别为(0,0),(2,4),(6,0)的三角形闭区域 D
26、解: D x 40 x 2 40 1 y(e dy y ?28? 1 ,其中D是由 及所围成的区域 2解: Dxdxdy,D是由及所围成 y x y 1 2解: ,D是由及y轴围成的右半闭区域 D 解: D2 ,D是由所确定的闭区域 解: 2(按两种不同次序化二重积分为二次积分.其中D为 D (1)由直线及抛物线所围成的闭区域 解: 1 所围成的闭区域 4(2)由直线及双曲线 解: 由x轴及半圆周所围成的闭区域 解: 姓名: 班级: 学号: ?29? D r0 dyf(x,y)dx (4)由所确定的闭区域 解: D 20 D 11f(x,y)dx 3(改变下列二次积分的次序 0 2 2y y2
27、 f(x,y)dx 2yy 2 解: 2 D f 40 dx1 x f(x,y)dy 2 1 21 2 f(x,y)dy; 解: 1 e1 D 10 f(x,y)dy e lnx 解: 0 1 lnx0 D f(x,y) 10 ee y f(x,y)dy f(x,y)dx; 解: D dx0 f(x,y)dy 4 4 0 f(x,y)dx 解: 0 D 20 2 f(x,y)dy 4(求下列积分 1 y10 1 2 解: y 1 x 2 D 10 x x 2 10 x 2 12 e x 2 1 12 ) 6 6 y cosx dx x y 解: cosxx D x0 cosxx 60 12 5
28、(设平面薄片所占的闭区域D由及x轴所围成,它的面密度为 ?30? 22 ,求此薄片的质量 解: D 22 10 22 10 2 13 33 10 2 83 2 83 2 3 83 3 43 2 3 解二: D D ) 40 4 40 4 4 而 4 2 2 4 2 ) 4 1 4 4 40 4 ) 40 1 40 2 40 4 43 4 4 4 所以 40 4 4 ) 或 4 2 2 40 2 ) ) 40 2 40 ) 44 2 40 2 13 3 13 43 7(设f(x,y)在区域D上连续,且f(x,y) 及所围成的区域,求f(x,y) 2 D f(u,v)dudv,其中D是由, 解:令
29、,所以 D 姓名: 班级: 学号: ?31? D x0 2 D 而 D 10 10 ( 12 52 112 13 A 即 112 D 13 2 ,故 18 8.计算 解:对称性) D D D D 2 2 2 2 而 D 2 2 2 2 3 所以 D D 习题 9,2(2) 1(画出积分区域,将积分表示为极坐标形式的二次积分,其中积分区域D是 D (1)解: D D 2 (2) 1 解: D D f(r 2(把下列积分化为极坐标形式,求积分的值 x1 x 2 x 2 1x 22 12 dy 解: 2 D 22 12 cos 2 dr 40 2 1 a0 a 3x0 a 22 解: D D 2 2
30、 a 3 3 30 1cos 3 30 3 3 2 30 3 2 ?32? 30 3 30 30 3 303 a0 dxa 6 (3) a0 解: a0 22 D 22 D 3 a 3 8 a 4 3(利用极坐标计算下列各题 其中D是由圆周及坐标轴所围成的位于第一象限的闭 D 2 2 区域 解: D 22 D 2 10 2 20 10 10 2 10 1 2 2 22 1 2r 3 2 1 2r 32 dr 4 4 2 2 4 D yx 其中D是由圆周 22 及直线所围 成的在第一象限内的闭区域 解: D yx D 1 2 2 64 4(用适当的坐标计算下列各题 D xy 22 其中D是由直线
31、 22 及曲线所围成的闭区域 4 解: D xy 22 2 1 x xy 22 x 2 1 2 12 22 52 D 22 其中D是由圆周及坐标轴所围成的在第一象限内的闭 区域 解: D D dr ? D 2 2 2 2 2 2 2 区域 其中D是由及在第一象限围成的 解: D 2 D 2 2 a 3 20 3 a 3 3 2 23 D 2 解: D 22 D 2 22 22 解: D 2 D 20 1 20 5(求位于圆周的三重积分 本节主要概念、定理、公式和重要结论 1(利用直角坐标系计算三重积分 (1)坐标面投影法(“先一后二”法) 将三重积分先化为叠积分,再化为三次单积分: z2(x,y) b y2(x) z2(x,y) Dxy z1(x,y) a y1(x) z1(x,y) f(x,y,z) dz ?34? 化三重积分为三次积分的关键是各积分限的确定。 (2)坐标轴投影法(截面法、切片法、“先二后一”法) q p Dz 2(利用柱面坐标计算三重积分 柱面坐标: (其中体积元素再把它化为累次积分计算。 适用时机:当是柱形、锥形或旋转体且在坐标面上的投影是圆域或圆域的一部分,或被积函数式中含有式子等时,常用柱面坐标计算。 3(利用球面坐标计算三重积分 球面坐标:其中为OM与z轴正向的夹角
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