2019版高考数学一轮总复习第八章立体几何题组训练57空间向量的应用二空间的角与距离第3课时理201.wps
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1、题组训练 5757 空间向量的应用(二)空间的角与距离 第 3 3 课时 1(2018皖南八校联考)四棱锥 VABCD 中,底面 ABCD是边长为 2 的正方形,其他四个侧面 是腰长为 3 的等腰三角形,则二面角 VABC 的余弦值的大小为( ) 2 A. B. 3 2 4 7 2 2 C. D. 3 3 答案 B 解析 如图所示,取 AB 中点 E,过 V 作底面的垂线,垂足为 O,连接 OE, VE,根据题意可知,VEO是二面角 VABC 的平面角因为 OE1,VE OE 1 2 32122 2,所以 cosVEO ,故选 B. VE 2 2 4 2.如图,三棱锥 SABC 中,棱 SA,
2、SB,SC 两两垂直,且 SASBSC,则二面 角 ABCS 的正切值为( ) A1 B. 2 2 C. 2 D2 答案 C 解析 三棱锥 SABC中,棱 SA,SB,SC 两两垂直,且 SASBSC,SA平 面 SBC,且 ABAC SA2SB2,如图,取 BC 的中点 D,连接 SD,AD,则 SDBC,AD 2 BC则,ADS 是二面角 ABCS 的平面角,设 SASBSC1,则 SD ,在 Rt 2 SA 1 ADS中,tanADS 2,故选 C. SD 2 2 另解:以 S 为坐标原点,SB,SC,SA的方向分别为 x,y,z 轴的正方向建立空间直角坐标系, 设 SA1,则 S(0,
3、0,0),A(0,0,1),B(1,0,0),C(0,1,0),SA(0,0,1),AB(1, 0,1),AC(0,1,1),易知SA(0,0,1)为平面 SBC的一个法向量,设 n n(x,y,z) n nAB0, xz0, 为平面 ABC的法向量,则0,)即yz0,)令 z1,则 n n(1,1,1)为平面 ABC的 n nAC 3 一个法向量,所以 cosSA,n n ,故二面角 ABCS 的正切值为 2. 3 1 3(2018福州质量检测)三棱锥 ABCD 中,ABC为等边三角形,AB2 3,BDC90, 二面角 ABCD 的大小为 150,则三棱锥 ABCD 的外接球的表面积为( )
4、 A7 B12 C16 D28 答案 D 解析 本题考查空间直线与平面的位置关系、球的表面积设球心为F,过点A 作 AO平面BCD, 3 3 3 垂足为 O,取 BC 的中点 E,连接 AE,OE,EF,则AEO30,AE3,AO ,OE ,EC 2 2 3,外接球球心 F 在过 E 且平行于 AO的直线上,设 FEx,外接球半径为 R,则 R23x2 3 3 3 ( )2( x)2,解得 x2,R27,则外接球的表面积为 4R228,故选 D. 2 2 4.(2018浙江温州中学模拟)如图,四边形 ABCD,ABBDDA2,BCCD 5 2.现将ABD 沿 BD 折起,当二面角 ABDC 处
5、于 , 的过程中,直线 AB 6 6 与 CD 所成角的余弦值的取值范围是( ) 5 2 2 2 5 2 A , B , 8 8 8 8 2 5 2 C0, D0, 8 8 答案 D 解析 如图所示,取 BD 中点 E,连接 AE,CE,AEC即为二面角 ABDC 的平面角 而 AC2AE2CE22AECEcosAEC42 3cosAEC,又AEC , 6 5 , 6 AB2BC2AC2 AC1, 7 ,ABCD2 2cosAB,CDAB(BDBC)2ABBC 1 2ABBC AC2 5 1 , , 2 2 2 1 5 5 2 设异面 直线 AB,CD 所成的角为 ,0cos ,故选 D. 2
6、 2 2 8 5.如图,平面 与平面 相交成锐角 ,平面 内的一个圆在平面 1 上的射影是离心率为 的椭圆,则 _ 2 答案 6 解析 如图,经过平面 内圆的圆心作平行于和垂直于二面角的棱的 2 两条直径,则这两条直径在平面 上的射影是椭圆的长轴和短轴,则短轴的延长线和垂直于 c 1 b 3 棱的直径所在直线的夹角为二面角的平面角,记为 .因为 e ,所以 ,故 cos a 2 a 2 b 3 ,解得 . a 2 6 6.(2018甘肃天水一模)已知在四棱锥 PABCD中,底面 ABCD 是矩形, 且 ADPA2,ABP A1,平 面 ABCDE,是 BC 边上的动点,记二面角 PEDA 的大
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