2019版高考数学一轮总复习第八章立体几何题组训练58专题研究球与几何体的切接问题理20180515.wps
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1、题组训练 5858 专题研究 球与几何体的切接问题 1.已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1,E,F 分别是棱 B1C1,C1D1的中 点试求: (1)AD1与 EF所成角的大小; (2)AF与平面 BEB1所成角的余弦值; (3)二面角 C1DBB1的正切值 2 2 答案 (1)60 (2) (3) 3 2 2 思路 解析 建立如图所示的空间直角坐标系,则 B1(0,0,0),A(1,0,1), 1 1 B(0,0,1),D1(1,1,0),E(0,0),F( ,1,0),D(1,1,1) 2 2 1 1 (1)因为AD1(0,1,1),EF( ,0), 2 2 1 1 (0,1
2、,1)( , ,0) 2 2 1 所以 cosAD1,EF , 2 2 2 2 即 AD1与 EF所成的角为 60. 1 (2)FA( ,1,1),由图可得,BA(1,0,0)为平面 BEB1的一个法向量,设 AF 与平面 BEB1 2 所成的角为 , 1 (1,0,0)( ,1,1) 2 1 2 2 则 sin|cosBA,FA| | ,所以 cos . 1 3 3 1 ( )2(1)212 2 (3)设平面 DBB1的法向量为 n n1(x,y,z), DB(1,1,0),B1B(0,0,1), 1 n n1 DB, n n1DBxy0, 由,)得z0,)令 y1,则 n n1(1,1,0
3、) n n1 B1B n n1B1B 同理,可得平面 C1DB 的一个法向量为 n n2(1,1,1) (1,1,0)(1,1,1) 6 则 cosn n1,n n2 . 2 3 3 2 所以 tann n1,n n2 . 2 2.如图所示,在三棱锥 PABC中,PA底面 ABC,PAAB,ABC60, BCA90,点 D,E 分别在棱 PB,PC 上,且 DEBC. (1)求证:BC平面 PAC; (2)当 D 为 PB的中点时,求 AD 与平面 PAC所成的角的余弦值; (3)是否存在点 E 使得二面角 ADEP 为直二面角?并说明理由 14 答案 (1)略 (2) (3)存在点 E 4
4、解析 方法一:(1)PA底面 ABC, PABC.又BCA90 , ACBC,BC平面 PAC. (2)D 为 PB的中点,DEBC, 1 DE BC. 2 又由(1)知,BC平面 PAC, DE平面 PAC,垂足为点 E. DAE 是 AD 与平面 PAC所成的角 PA底面 ABC,PAAB. 又 PAAB,ABP 为等腰直角三角形 1 AD AB. 2 1 在 RtABC中,ABC60.BC AB. 2 DE BC 2 RtADE中,sinDAE . AD 2AD 4 14 cosDAE . 4 (3)DEBC, 又由(1)知,BC平面 PAC,DE平面 PAC. 又AE 平面 PAC,P
5、E 平面 PAC, 2 DEAE,DEPE. AEP为二面角 ADEP 的平面角 PA底面 ABC, PAAC,PAC90. 在棱 PC 上存在一点 E,使得 AEPC. 这时,AEP90. 故存在点 E 使得二面角 ADEP 是直二面角 方法二:如图所示,以 A 为原点建立空间直角坐标系 Axyz. 1 3 3 设 PAa,由已知可得 A(0,0,0),B( a, a,0),C(0, a,0),P(0, 2 2 2 0,a) 1 (1)AP(0,0,a),BC( a,0,0), 2 BCAP0,BCAP. 又BCA90,BCAC.又 APACA, BC平面 PAC. (2)D 为 PB的中点
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