2019届高考数学大一轮复习第十二章概率随机变量及其分布12.5二项分布与正态分布学案理北师大版20.wps
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1、12.512.5 二项分布及其应用 最新考纲 考情考向分析 以理解独立重复试验、二项分布的概念为主, 1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念 重点考查二项分布概率模型的应用识别概 2.理解 n次独立重复试验的模型及二项分布 率模型是解决概率问题的关键在高考中, 3.能解决一些简单的实际问题. 常以解答题的形式考查,难度为中档. 1条件概率 在已知 B发生的条件下,事件 A发生的概率叫作 B发生时 A发生的条件概率,用符号 P(A|B) PAB 来表示,其公式为 P(A|B) (P(B)0) PB 2相互独立事件 (1)一般地,对两个事件 A,B,如果 P(AB)P(A)P(B),则称 A,B
2、相互独立 (2)如果 A,B相互独立,则 A与B,A与 B,A与B也相互独立 (3)如果 A1,A2,An相互独立,则有 P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An) 3二项分布 进行 n次试验,如果满足以下条件: (1)“”“每次试验只有两个相互对立的结果,可以分别称为 成功 和 失败”; (2)“”每次试验 成功 的概率均为 p“”, 失败 的概率均为 1p; (3)各次试验是相互独立的 用 X表示这 n次试验中成功的次数,则 P(Xk)Cknpk(1p)nk(k0,1,2,n) 若一个随机变量 X的分布列如上所述,称 X服从参数为 n,p的二项分布,简记为 XB(n,p) 1 题组一
3、 思考辨析 1判断下列结论是否正确(“”“请在括号中打或 ”) (1)条件概率一定不等于它的非条件概率( ) (2)相互独立事件就是互斥事件( ) (3)对于任意两个事件,公式 P(AB)P(A)P(B)都成立( ) (4)二项分布是一个概率分布,其公式相当于(ab)n 二项展开式的通项公式,其中 ap,b 1p.( ) (5)P(B|A)表示在事件 A 发生的条件下,事件 B 发生的概率,P(AB)表示事件 A,B 同时发生的 概率( ) 题组二 教材改编 2天气预报,在元旦假期甲地降雨概率是 0.2,乙地降雨概率是 0.3.假设在这段时间内两地 是否降雨相互之间没有影响,则这两地中恰有一个
4、地方降雨的概率为( ) A0.2 B0.3 C0.38 D0.56 答案 C 解析 设甲地降雨为事件 A,乙地降雨为事件 B,则两地恰有一地降雨为 ABAB, P(ABAB)P(AB)P(AB) P(A)P(B)P(A)P(B) 0.20.70.80.3 0.38. 3已知盒中装有 3 个红球、2 个白球、5 个黑球,它们大小形状完全相同,现需一个红球,甲 每次从中任取一个不放回,则在他第一次拿到白球的条件下,第二次拿到红球的概率为( ) 3 1 3 2 A. B. C. D. 10 3 8 9 答案 B 解析 设 A第一次拿到白球,B第二次拿到红球, C12 C13 C12 则 P(AB)
5、,P(A) , C110 C19 C110 PAB 1 所以 P(B|A) . PA 3 2 题组三 易错自纠 2 3 4两个实习生每人加工一个零件,加工成一等品的概率分别为 和 ,两个零件能否被加工成 3 4 一等品相互独立,则这两个零件恰好有一个一等品的概率为( ) 1 5 1 1 A. B. C. D. 2 12 4 6 答案 B 2 3 解析 因为两人加工成一等品的概率分别为 和 , 3 4 2 1 1 3 5 且相互独立,所以两个零件恰好有一个一等品的概率为 P . 3 4 3 4 12 5从 1,2,3,4,5中任取 2 个不同的数,事件 A 为“取到的 2 个数之和为偶数”,事件
6、 B 为“取 到的 2 个数均为偶数”,则 P(B|A)等于( ) 1 1 A. B. 8 4 2 1 C. D. 5 2 答案 B C23C2 2 解析 P(A) ,P(AB) , C25 5 C25 10 2 C 1 PAB 1 P(B|A) . PA 4 6箱子里有 5 个黑球,4 个白球,每次随机取出一个球,若取出黑球,则放回箱中,重新取 球;若取出白球,则停止取球,那么在第 4 次取球之后停止的概率为( ) C35C14 5 4 A. B. 3 C45 (9 ) 9 3 1 5 4 C DC 9 )3 1 5 4 9 答案 B 解析 由题意知,第四次取球后停止是当且仅当前三次取的球是
7、黑球,第四次取的球是白球的 5 4 情况,此事件发生的概率为 (9 ) 3 . 9 题型一 条件概率 1已知盒中装有 3 只螺口灯泡与 7 只卡口灯泡,这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放 着,现需要一只卡口灯泡,电工师傅每次从中任取一只且不放回,则在他第 1 次抽到的是螺口 3 灯泡的条件下,第 2 次抽到的是卡口灯泡的概率为( ) 3 2 A. B. 10 9 7 7 C. D. 8 9 答案 D 解析 方法一 设事件 A 为“第 1 次抽到的是螺口灯泡”,事件 B 为“第 2 次抽到的是卡口灯 泡”, 3 3 7 7 则 P(A) ,P(AB) , 10 10 9 30 7 PAB 3
8、0 7 则所求概率为 P(B|A) . PA 3 9 10 方法二 第 1 次抽到螺口灯泡后还剩余 9 只灯泡,其中有 7 只卡口灯泡,故第 2 次抽到卡口灯 C17 7 泡的概率为 . C19 9 2一个正方形被平均分成 9 个部分,向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中)设 投中最左侧 3 个小正方形区域的事件记为 A,投中最上面 3 个小正方形或正中间的 1 个小正方 形区域的事件记为 B,求 P(AB),P(A|B) 解 如图,n()9,n(A)3,n(B)4, 1 n(AB)1,P(AB) , 9 nAB 1 P(A|B) . nB 4 PAB 思维升华 (1)利用定义,分别求
9、 P(A)和 P(AB),得 P(B|A) ,这是通用的求条件概率的 PA 方法 (2)借助古典概型概率公式,先求事件 A 包含的基本事件数 n(A),再在事件 A 发生的条件下求 nAB 事件 B 包含的基本事件数,即 n(AB),得 P(B|A) . nA 题型二 相互独立事件的概率 2 典例 (2017哈尔滨质检)某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为 3 3 和 .现安排甲组研发新产品 A,乙组研发新产品 B.设甲、乙两组的研发相互独立 5 4 (1)求至少有一种新产品研发成功的概率; (2)若新产品 A研发成功,预计企业可获利润 120 万元;若新产品 B研发成功
10、,预计企业可获 利润 100 万元,求该企业可获利润的分布列 2 1 解 记 E甲组研发新产品成功,F乙组研发新产品成功,由题设知 P(E) ,P(E) , 3 3 3 P(F) , 5 2 P(F) ,且事件 E与 F,E与F,E与 F,E与F都相互独立 5 (1)记 H至少有一种新产品研发成功,则HE F, 1 2 2 于是 P(H)P(E)P(F) , 3 5 15 2 13 故所求的概率为 P(H)1P(H)1 . 15 15 (2)设企业可获利润为 X(万元),则 X的可能取值为 0,100,120,220, 1 2 2 因为 P(X0)P(E F) , 3 5 15 1 3 3 1
11、 P(X100)P(EF) , 3 5 15 5 2 2 4 P(X120)P(EF) , 3 5 15 2 3 6 2 P(X220)P(EF) , 3 5 15 5 故所求的分布列为 X 0 100 120 220 P 2 15 1 5 4 15 2 5 思维升华 求相互独立事件同时发生的概率的方法 (1)首先判断几个事件的发生是否相互独立 (2)求相互独立事件同时发生的概率的方法 利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解; 正面计算较烦琐或难以入手时,可从其对立事件入手计算 跟踪训练 为了纪念 2017在德国波恩举行的联合国气候大会,某社区举办“环保我参与”有 奖问答比赛活动某场比赛中,甲
12、、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题已 3 1 知甲家庭回答正确这道题的概率是 ,甲、丙两个家庭都回答错误的概率是 ,乙、丙两个家 4 12 1 庭都回答正确的概率是 .若各家庭回答是否正确互不影响 4 5 (1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率; (2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于 2 个家庭回答正确这道题的概率 解 (1)“记 甲回答正确这道题”“、 乙回答正确这道题”“”、 丙回答正确这道题 分别为事件 3 A,B,C,则 P(A) , 4 且有Error! 即Error! 3 2 所以 P(B) ,P(C) . 8 3 (2)有 0 个家庭回答正确的概率为 P0P(A
13、 B C)P(A)P(B)P(C) 1 5 1 5 , 4 8 3 96 有 1 个家庭回答正确的概率为 P1P(AB CABCA BC) 3 5 1 1 3 1 1 5 2 7 , 4 8 3 4 8 3 4 8 3 24 所以不少于 2 个家庭回答正确这道题的概率为 5 7 21 P1P0P11 . 96 24 32 题型三 独立重复试验与二项分布 命题点 1 根据独立重复试验求概率 典例 某市电视台举办纪念红军长征胜利知识回答活动,宣传长征精神,首先在甲、乙、丙、 丁四个不同的公园进行支持签名活动. 公园 甲 乙 丙 丁 获得签名人数 45 60 30 15 然后在各公园签名的人中按分层
14、抽样的方式抽取 10 名幸运之星回答问题,从 10 个关于长征的 问题中随机抽取 4 个问题让幸运之星回答,全部答对的幸运之星获得一份纪念品 (1)求此活动中各公园幸运之星的人数; 2 (2)若乙公园中每位幸运之星对每个问题答对的概率均为 ,求恰好 2 位幸运之星获得纪念品 2 的概率; (3)若幸运之星小李对其中 8 个问题能答对,而另外 2 个问题答不对,记小李答对的问题数为 6 X,求 X的分布列 解 (1)甲、乙、丙、丁四个公园幸运之星的人数分别为 45 60 30 15 103, 104, 102, 101. 150 150 150 150 2 1 (2)根据题意,乙公园中每位幸运之
15、星获得纪念品的概率为 C 4 , 4(2 ) 4 所以乙公园中恰好 2 位幸运之星获得纪念品的概率为 1 3 27 C 24(4 )2(4 )2 . 128 C28C2 (3)由题意,知 X的所有可能取值为 2,3,4,服从超几何分布,P(X2) , C140 15 2 C38C12 8 P(X3) , C140 15 C48C02 1 P(X4) . C140 3 所以 X的分布列为 X 2 3 4 P 2 15 8 15 1 3 命题点 2 根据独立重复试验求二项分布 典例 一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要 么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现
16、一次音乐获得 10分,出现两次音乐获得 20 分,出 现三次音乐获得 100 分,没有出现音乐则扣除 200分(即获得200分)设每次击鼓出现音乐 1 的概率为 ,且各次击鼓出现音乐相互独立 2 (1)设每盘游戏获得的分数为 X,求 X的分布列; (2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少? 解 (1)X可能的取值为 10,20,100,200. 根据题意,有 1 1 3 P(X10)C13(2 )1(12 )2 , 8 1 1 3 P(X20)C23(2 )2(12 )1 , 8 1 1 1 P(X100)C3(2 )3(1 0 , 2 ) 8 1 1 1 P(X200)C03(2 )
17、0(12 )3 . 8 7 所以 X的分布列为 X 10 20 100 200 P 3 8 3 8 1 8 1 8 (2)“设 第 i”盘游戏没有出现音乐 为事件 Ai(i1,2,3), 1 则 P(A1)P(A2)P(A3)P(X200) . 8 “”所以 三盘游戏中至少有一盘出现音乐 的概率为 1 1 511 1P(A1A2A3)1(8 )31 . 512 512 511 因此,玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是 . 512 思维升华 独立重复试验与二项分布问题的常见类型及解题策略 (1)在求 n次独立重复试验中事件恰好发生 k次的概率时,首先要确定好 n和 k的值,再准确 利用公式求
18、概率 (2)在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时,关键是理清事件与事件之间的关系,确定 二项分布的试验次数 n和变量的概率,求得概率 跟踪训练 (2017牡丹江模拟)为研究家用轿车在高速公路上的车速情况,交通部门随机选取 100名家用轿车驾驶员进行调查,得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为:在 55名男 性驾驶员中,平均车速超过 100 km/h 的有 40人,不超过 100 km/h 的有 15人;在 45名女性驾 驶员中,平均车速超过 100 km/h 的有 20人,不超过 100 km/h 的有 25人 (1)在被调查的驾驶员中,从平均车速不超过 100 km/h的人中随机抽取
19、2 人,求这 2 人恰好有 1 名男性驾驶员和 1 名女性驾驶员的概率; (2)以上述样本数据估计总体,从高速公路上行驶的家用轿车中随机抽取 3 辆,记这 3 辆车平 均车速超过 100 km/h 且为男性驾驶员的车辆为 X,求 X的分布列 解 (1)平均车速不超过 100 km/h的驾驶员有 40 人,从中随机抽取 2 人的方法总数为 C420,记 “这 2 人恰好有 1 名男性驾驶员和 1 名女性驾驶员”为事件 A,则事件 A所包含的基本事件数 C115C215 15 25 25 为 C115C215,所以所求的概率 P(A) . C420 20 39 52 (2)根据样本估计总体的思想,
20、从总体中任取 1 辆车,平均车速超过 100 km/h 且为男性驾驶员 40 2 的概率为 , 100 5 2 故 XB(3,5 ). 2 3 27 所以 P(X0)C 03(5 )0(5 )3 , 125 8 2 3 54 P(X1)C 13(5 )(5 )2 , 125 2 3 36 P(X2)C 23(5 )2(5 ) , 125 2 3 8 P(X3)C 3 5 )0 . 3(5 )( 125 所以 X的分布列为 X 0 1 2 3 P 27 125 54 125 36 125 8 125 独立事件与互斥事件 典例 (1)中国乒乓球队甲、乙两名运动员参加奥运乒乓球女子单打比赛,甲夺得冠
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