2019届高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形4.5两角和与差及二倍角的三角函数第2课时学案理北.wps
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1、第 2 2 课时 简单的三角恒等变形 题型一 三角函数式的化简 2sinsin 2 1(2017湖南长沙一模)化简: . cos2 2 答案 4sin 2sinsin 2 解析 1 2sin 2sin cos cos2 21cos 2 2sin 1cos 4sin . 1 21cos 1 2cos4x2cos2x 2 2化简: . 2tan( x)sin2( x) 4 4 1 答案 cos 2x 2 1 24cos 4x4cos2x1 解析 原式 sin( x) 4 2 cos 2( x) 4 cos( x) 4 2cos2x12 4sin( x)cos( x) 4 4 cos22x 2sin
2、( 2x) 2 cos22x 1 cos 2x. 2cos 2x 2 10 3(2018聊城模拟)已知 cos( 4) 10,(0, 2),则 sin(2 3) . 43 3 答案 10 1cos(2 2) 1 4 解析 由题意可得,cos 2( 4) 10,cos(2 2)sin 2 , 2 5 1 4 即 sin 2 . 5 10 因 为 cos( 4) 10 0,(0, 2), 所以 0 , 2 11 cos() . 14 cos cos() cos()cos sin()sin 11 1 5 3 4 3 49 1 . 14 7 14 7 98 2 命题点 2 给值求角 5 3 10 典例
3、 (1)设 , 为钝角,且 sin ,cos ,则 的值为( ) 5 10 3 5 A. B. 4 4 7 5 7 C. D. 或 4 4 4 答案 C 5 3 10 解析 , 为钝角,sin ,cos , 5 10 2 5 10 cos ,sin , 5 10 2 cos()cos cos sin sin 0. 2 3 又 (,2),( ,2), 2 7 . 4 1 1 (2)已 知 , (0, ), 且 tan( ) , tan , 则 2 的 值 2 7 为 3 答案 4 解析 tan tan() tantan 1tantan 1 1 2 7 1 0, 1 1 3 1 2 7 4 00,
4、 1tan2 1 4 1(3 ) 2 00, 2sin 3cos ,又 sin2cos21, 2 3 cos ,sin , 13 13 sin( 4) sin 2cos 21 2 2 sin cos 2 26 . sin cos 2cos2sin2 4cos 8 3 1 (2)(2017昆明模拟)计算: . cos 10 sin 170 答案 4 3sin 170cos 10 2sin1030 3sin 10cos 10 解析 原式 4. cos 10sin 170 cos 10sin 10 1 sin 20 2 1 3 3 a b sin sin (3)定 义 运 算 |c d | ad b
5、c.若 cos 7, |cos cos | , 0 , 则 14 2 . 答案 3 3 3 解析 由题意有 sin cos cos sin sin() ,又 0 ,0 14 2 , 2 13 故 cos() 1sin2 , 14 1 4 3 而 cos ,sin , 7 7 于是 sin sin() sin cos()cos sin() 4 3 13 1 3 3 3 . 7 14 7 14 2 又 0 ,故 . 2 3 题型三 三角恒等变形的应用 6 典例 (2017浙江)已知函数 f(x)sin2xcos2x2 3sin xcos x(xR R) 2 (1)求 f (3 )的值; (2)求
6、f(x)的最小正周期及递增区间 2 3 2 1 解 (1)由 sin ,cos ,得 3 2 3 2 2 3 1 3 1 f(3 )(2 ) 2(2 )22 3 2(2 )2. (2)由 cos 2xcos2xsin2x 与 sin 2x2sin xcos x,得 f(x)cos 2x 3sin 2x2sin(2x 6). 所以 f(x)的最小正周期是 . 由正弦函数的性质,得 3 2k2x 2k,kZ Z, 2 6 2 2 解得 kx k,kZ Z. 6 3 所以 f(x)的递增区间为 2 k(kZ Z) k, 6 3 思维升华 三角恒等变形的应用策略 (1)进行三角恒等变形要抓住:变角、变
7、函数名称、变结构,尤其是角之间的关系;注意公式 的逆用和变形使用 (2)把形如 yasinxbcosx 化为 y a2b2sin(x),可进一步研究函数的周期性、单调 性、最值与对称性 跟踪训练 (1)函数 f(x)sin(x)2sin cos x 的最大值为 (2)函数 f(x)sin(2x 4)2 2sin 2x 的最小正周期是 答案 (1)1 (2) 解析 (1)因为 f(x)sin(x)2sin cos x sin xcos cos xsin sin(x), 又1sin(x)1, 所以 f(x)的最大值为 1. 2 2 (2)f(x) sin 2x cos 2x 2(1cos 2x)
8、2 2 2 2 sin 2x cos 2x 2 2 2 7 sin(2x 4) 2, 2 所以 T . 2 化归思想和整体代换思想在三角函数中的应用 典例 (12分)(2016天津)已知函数 f(x)4tan xsin( x)cos(x 3) 3. 2 (1)求 f(x)的定义域与最小正周期; (2)讨论 f(x)在区间 4上的单调性 , 4 思想方法指导 (1)讨论形如 yasin xbcos x 型函数的性质,一律化成 y a2b2 sin(x)型的函数 (2)研究 yAsin(x)型函数的最值、单调性,可将 x 视为一个整体,换元后结合 ysin x 的图像解决 规范解答 解 (1)f(
9、x)的定义域为Error!. f(x) 4tan xcos xcos(x 3) 3 4sin xcos(x 3) 3 1 3 4sin x( sin x) 3 cos x 2 2 2sin xcos x2 3sin2x 3 sin 2x 3(1cos 2x) 3 sin 2x 3cos 2x2sin(2x 3).5分 2 所以 f(x)的最小正周期 T .6 分 2 5 (2)因为 x ,所以 2x 3 ,8 分 , 6 4 , 4 6 5 由 ysin x 的图像可知,当 2x , 3 , 2 6 即 x ,12时,f(x)是减少的; 4 当 2x 3 , ,即 x 时,f(x)是增加的10
10、分 6 , 4 2 12 8 所以当 x 4时,f(x)在区间 上是增加的,在区间 上是减少的 , 12 , 4 , 4 12 4 12 分 1 1(2018厦门质检)若 sin( )4,则 cos( 2)等于( ) 3 3 7 1 1 7 A B C. D. 8 4 4 8 答案 A 2 解析 cos( 2)cos(2) 3 3 2 cos(2)12sin2( ) 3 3 1 7 12 (4 )2 . 8 cos 85sin 25cos 30 2. 等于( ) cos 25 3 2 1 A B. C. D1 2 2 2 答案 C 3 sin 5 sin 25 2 解析 原式 cos 25 3
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