年案201805092175.doc
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1、第3讲三角函数的图象和性质板块一知识梳理自主学习 必备知识考点正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 必会结论1函数yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期为T,函数ytan(x)的最小正周期为T.2正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是周期而正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期3三角函数中奇函数一般可化为yAsinx或yAtanx的形式,而偶函数一般可化为yAcosxb的形式考点自测1判断下列结论的正误(正确的打“”,错误的打“”)(1)ycosx在第一、二象限内是减函数()(2)函数ysin是偶函数,最小正周期为.(
2、)(3)函数ysinx的对称轴方程为x2k(kZ)()(4)函数ytanx在整个定义域上是增函数()答案(1)(2)(3)(4)2课本改编若函数f(x)cos2x,则f(x)的一个递增区间为()A. B.C. D.答案B解析由f(x)cos2x知递增区间为,kZ,故只有B项满足32018福建模拟函数f(x)sin的图象的一条对称轴是()Ax BxCx Dx答案C解析由xk,得xk,当k1时,x.42018厦门模拟函数ysin1的图象的一个对称中心的坐标是()A. B.C. D.答案B解析对称中心的横坐标满足2xk,解得x,kZ.当k1时,x,y1.故选B.5课本改编函数ytan的定义域是()A
3、x BxCx Dx答案D解析ytantan,由xk,kZ,得xk,kZ.故选D.6函数y32cos的最大值为_,此时x_.答案52k(kZ)解析函数y32cos的最大值为325,此时x2k(kZ),即x2k(kZ)板块二典例探究考向突破考向三角函数的定义域、值域例1(1)2018烟台模拟函数y的定义域为()A.B.(kZ)C.(kZ)DR答案C解析cosx0,得cosx,2kx2k,kZ.(2)函数y2sin(0x9)的最大值与最小值之和为_答案2解析0x9,x,sin1,故2sin2.即函数y2sin(0x9)的最大值为2,最小值为.所以最大值与最小值的和为2.本例(2)中的函数换为“y3s
4、inx2cos2x,x”,如何解答?解x,sinx.又y3sinx2cos2x3sinx2(1sin2x)22,当sinx时,ymin;当sinx或sinx1时,ymax2.故函数的最大值与最小值的和为2.本例(2)中的函数换为“ysinxcosxsinxcosx,x0,”,又该如何解答?解令tsinxcosx,又x0,tsin,t1,由tsinxcosx,得t212sinxcosx,即sinxcosx.原函数变为yt,t1,即yt2t.当t1时,ymax11;当t1时,ymin11.故函数的最大值与最小值的和为110.触类旁通三角函数定义域、值域的求解策略(1)求三角函数的定义域实际上是构造
5、简单的三角不等式(组),也可借助三角函数线或三角函数图象来求解(2)求解三角函数的值域(最值),首先把三角函数化为yAsin(x)k的形式,再求最值(值域),或用换元法(令tsinx,或tsinxcosx)化为关于t的二次函数求值域(最值)(3)换元法的应用:把sinx或cosx看作一个整体,转化为二次函数,求给定区间上的值域(最值)问题此时注意所换元的取值范围【变式训练1】(1)函数y的定义域为()A.B.(kZ)C.(kZ)D.(kZ)答案B解析由2sinx10,得sinx,所以2kx2k(kZ)(2)函数ycos,x的值域是_答案解析x,x,y.考向三角函数的单调性例2已知函数f(x)2
6、sin(0)的最小正周期为.(1)求的值;(2)讨论f(x)在区间上的单调性解(1)因为f(x)2sin的最小正周期为,且0.从而有,故1.(2)因为f(x)2sin.若0x,则2x.当2x,即0x时,f(x)单调递增;当2x,即x时,f(x)单调递减综上可知,f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减触类旁通三角函数单调性问题的解题策略(1)求形如yAsin(x)或yAcos(x)(其中,0)的单调区间时,要视“x”为一个整体,通过解不等式求解但如果0)在区间 上单调递减,则有,即T,所以T,解得.所以的值可以是.故选A.(2)函数ysin的递增区间是_答案(kZ)解析ysin,2k2x2k
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