年率第3讲几何概型学案20180509291.doc
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1、第3讲几何概型板块一知识梳理自主学习 必备知识考点1几何概型1几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,那么称这样的概率模型为几何概率模型,简称几何概型2几何概型的两个基本特点考点2几何概型的概率公式P(A).必会结论几种常见的几何概型(1)与长度有关的几何概型,其基本事件只与一个连续的变量有关;(2)与面积有关的几何概型,其基本事件与两个连续的变量有关,若已知图形不明确,可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标,这样基本事件就构成了平面上的一个区域,即可借助平面区域解决问题;(3)与体积有关的几何概型,可借助空间几何体的体积公式解答问题考点自测1判断
2、下列结论的正误(正确的打“”,错误的打“”)(1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零. ()(2)几何概型中,每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中的每一点被取到的机会相等()(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形()(4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率()(5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关()(6)从区间1,10内任取一个数,取到1的概率是P.()答案(1)(2)(3)(4)(5)(6)22017全国卷如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称在正方形内随
3、机取一点,则此点取自黑色部分的概率是()A. B. C. D.答案B解析不妨设正方形ABCD的边长为2,则正方形内切圆的半径为1,S正方形4.由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称,得S黑S白S圆,所以由几何概型知所求概率P.故选B.32018重庆一中模拟在2,3上随机取一个数x,则(x1)(x3)0的概率为()A. B. C. D.答案D解析由(x1)(x3)0,得1x3.由几何概型得所求概率为.42018衡水中学调研已知正方体ABCDA1B1C1D1内有一个内切球O,则在正方体ABCDA1B1C1D1内任取点M,点M在球O内的概率是()A. B. C. D.答案C解析设正方体
4、棱长为a,则正方体的体积为a3,内切球的体积为3a3,故M在球O内的概率为.52016全国卷从区间0,1随机抽取2n个数x1,x2,xn,y1,y2,yn,构成n个数对(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn),其中两数的平方和小于1的数对共有m个,则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为()A. B. C. D.答案C解析设由,构成的正方形的面积为S,xy1构成的图形的面积为S,所以,所以.故选C.板块二典例探究考向突破考向与长度有关的几何概型例1(1)2016全国卷某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为40秒若一名行人来到该路口遇到红灯,则至少需要等待15秒才出现绿
5、灯的概率为()A. B. C. D.答案B解析行人在红灯亮起的25秒内到达该路口,即满足至少需要等待15秒才出现绿灯,根据几何概型的概率公式知所求事件的概率P.故选B.(2)2017江苏高考记函数f(x)的定义域为D.在区间4,5上随机取一个数x,则xD的概率是_答案解析由6xx20,解得2x3,D2,3如图,区间4,5的长度为9,定义域D的长度为5,P.触类旁通求解与长度有关的几何概型应注意的问题(1)求解几何概型问题,解题的突破口为弄清是长度之比、面积之比还是体积之比;(2)求与长度有关的几何概型的概率的方法,是把题中所表示的几何模型转化为线段的长度,然后求解,应特别注意准确表示所确定的线
6、段的长度【变式训练1】(1)2018辽宁模拟在长为12 cm的线段AB上任取一点C,现作一矩形,邻边长分别等于线段AC,CB的长,则该矩形面积小于32 cm2的概率为()A. B. C. D.答案C解析设ACx cm(0x12),则CB(12x) cm,则矩形面积Sx(12x)12xx20,解得0x4或8x12,在数轴上表示为由几何概型概率公式,得概率为.故选C.(2)某路公共汽车每5分钟发车一次,某乘客到乘车点的时刻是随机的,则他候车时间不超过3分钟的概率是_答案解析本题可以看成向区间0,5 内均匀投点,设A某乘客候车时间不超过3分钟,则P(A).考向与面积有关的几何概型命题角度1与平面图形
7、面积有关的问题例22015陕西高考设复数z(x1)yi(x,yR),若|z|1,则yx的概率为()A. B.C. D.答案C解析|z|1,(x1)2y21,表示以M(1,0)为圆心,1为半径的圆及其内部,该圆的面积为.易知直线yx与圆(x1)2y21相交于O(0,0),A(1,1)两点,作图如右:OMA90,S阴影11.故所求的概率P.命题角度2与线性规划交汇的问题例32018湖北联考在区间0,4上随机取两个实数x,y,使得x2y8的概率为()A. B. C. D.答案D解析如图所示,表示的平面区域为正方形OBCD及其内部,x2y8(x,y0,4)表示的平面区域为图中阴影部分,所以所求概率P.
8、故选D.命题角度3随机模拟估算例4如图,矩形长为6,宽为4,在矩形内随机地撒300颗黄豆,数得落在椭圆外的黄豆为96颗,以此试验数据为依据估计椭圆的面积为()A7.68 B8.68 C16.32 D17.32答案C解析由随机模拟的思想方法,可得黄豆落在椭圆内的概率为0.68.由几何概型的概率计算公式,可得0.68,而S矩形6424,则S椭圆0.682416.32.触类旁通利用求解考向与体积有关的几何概型例5有一个底面半径为1,高为2的圆柱,点O为这个圆柱底面圆的圆心,在这个圆柱内随机抽取一点P,则点P到点O的距离大于1的概率为_答案解析圆柱的体积V柱R2h2,半球的体积V半球R3.圆柱内一点P
9、到点O的距离小于等于1的概率为.点P到点O的距离大于1的概率为1.触类旁通与体积有关的几何概型求法的关键点对于与体积有关的几何概型问题,关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间),对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求【变式训练2】已知正三棱锥SABC的底面边长为4,高为3,则在正三棱锥内任取一点P,则点P满足V三棱锥PABCV三棱锥SABC的概率是_答案解析设三棱锥PABC的高为h.由V三棱锥PABCV三棱锥SABC,得SABChSABC3,解得h,即点P在三棱锥的中截面以下的空间点P满足V三棱锥PABCV三棱锥SABC的概率是P1.考向与角度有关的几何概型例62017鞍山模
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