2016年广东高考文科数学函数与导数问题教育价值分析与思考.doc
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1、2016年广东高考文科数学函数与导数问题教育价值分析与思考期盼了一年,也研究了一年的广东高考数学全国卷终于见面了,特别是2016年是新课改以来广东省首次使用全国卷,高考试题自然成为教师们探讨的热点. 全国高考数学试题结构稳定,以主干知识为主线,突出对学生数学能力的考查,常规中显新意,给中学的教学以及高三的备考指明了方向. 而教师们对高考试题的研究,更多的是停留在试题的特点、规律以及数学问题的解决上,思考其教育价值的不多. 本文笔者试探讨2016年广东高考文科数学试题(全国新课标()卷或(乙)卷)(下面简称“试题”)中函数与导数问题的教育价值. ? “试题”再现 9. 函数y=2x2-e在-2,
2、2的图像大致为 xOy1-22xOy1-22A. B. xOy1-22xOy1-22C. D. 12. 若函数f(x)=x-sin2x+asinx在(-,+)上单调递增,则a的取值范围是 21. 已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2. (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围. 函数与导数是高中数学主干知识之一,也是每年高考重点考查的内容之一. 第9题主要考查了函数的性质(偶函数、单调性)、函数的图像(对称性),考查了对函数的解析式、函数图像的分析能力;第12题主要考查了函数的单调性、二次函数的图像与性质、由函数的单调性确定参数的取值,考查了求导运算
3、能力、换元法、数形结合法、逆向思维等;第21题主要考查了带参数的函数单调性的判断、函数的零点、参数取值的确定,考查了分类讨论、数学结合的思想方法. 这三道试题都有一定的综合性,是中高难度的问题,蕴含了丰富的教育价值. ? 综合体现数学核心素养 数学核心素养是具有数学基本特征的、适应个人终身发展和社会发展的人的关键能力和思维品质,是数学课程目标的集中体现,它是在数学学?的过程中逐步形成的. 数学核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析. 这些数学核心素养既有独立性,又相互交融,形成了一个有机整体. “试题”中函数与导数问题,关注了学生数学核心素养的综合体现. 例如,
4、第9题函数y=2x2-e的自变量x的结构特征是x2和x,当自变量x取相反数-x时,函数值y相等,符合偶函数的定义,因此直观可以判断该函数图像关于y轴对称. 而四个选项的图像都是关于y轴对称,仅凭此不能做出选择. 再从给出的数据进行分析:当x=2时,y=8-e2,通过估算可知y(0,1),这样由图像的直观,可排除A和B选项. C和D选项的图像的区别是函数y=2x2-e在区间0,2的变化趋势,即单调性. 首先由函数y=2x2-ex直观分析2x2在区间0,2上是增函数,而-ex在区间0,2上是减函数,没办法直观判断;接着可以尝试对函数进行求导运算,通过判断导函数的符号,从而得到函数的单调性,即y=4
5、x-ex,当0 由函数f(x)=x-sin2x+asinx在(-,+)上单调递增,可得 f(x)=1-cos2x+acosx=-cos2x+acosx+0在(-,+)上恒成立. 令cosx=t-1,1,则 g(t)=-t2+at+0在-1,1上恒成立. 结合二次函数图像(如图1)可得 g(-1)0, g(1)0. tOy1 所以 - -a+0, - +a+0,解得-a. 故a的取值范围是 -, . ? 体现多种数学思想方法 数学思想方法是数学的灵魂,引领数学问题的分析与解决,在数学学习中是至关重要的,同时也是高考考查的重点之一. “试题”中函数与导数问题,体现了多种数学思想方法的应用. 1.
6、分类讨论的数学思想方法 所谓分类讨论,就是当问题所给的对象不能进行统一研究时,就需要对研究对象按某个标准进行分类,然后对每一类分别研究得出每一类的结论,最后综合各类结果得到整个问题的解答. 分类讨论是解决问题的一种逻辑方法,也是一种数学思想2,这种思想对于简化研究对象、发展学生的思维有着重要的作用. 同时分类讨论的数学思想方法的应用也体现了学生逻辑推理、数据分析等数学核心素养. 因此,有关分类讨论的数学问题在高考试题中占有重要地位. 而为什么要分类?分类讨论的标准是什么?这是在分析问题中学生首先需要思考的问题. “试题”第21题是导数的综合应用问题,函数f(x)含有参数a,由于a的不同取值会影
7、响函数f(x)的变化性态,因此要对a的取值进行分类讨论. 通过对函数进行求导运算,发现a的取值影响了导函数f(x)的零点个数以及零点的大小,即影?了函数f(x)的单调性,因此第(1)问讨论f(x)的单调性,就是要对a进行分类讨论. 由a的取值对函数f(x)的影响自然得到第一级的分类标准就是导函数f (x)的零点个数:有且只有一个零点时a0,有两个零点时a0. 当x1时, f (x)0,则f(x)在(1,+)上是增函数. 若a1时, f (x)0,则f(x)在(1,+)上是增函数. 当ln(-2a)0,则f(x)在(-,ln(-2a)上是增函数. 当ln(-2a)1,即aln(-2a)时, f
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