Cauchy-Schwarz不等式的证明和应用.doc
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1、Cauchy-Schwarz不等式的证明和应用一、Cauchy-Schwarz不等式的几种证明方法 1.第一种证明方法 定理1对任意的向量,有|(,)|.当且仅当,线性相关时,等号才成立. 证明当=0时,不等式成立.设0.令t是一个实变数,作向量=+t.不论t取何值,一定有 (,)=(+t,+t)0. 即 (,)+2(,)t+(,)t20(1) 取 t=. 代入(1)式,得 (,)-0, 即 (,)2(,)(,). 两边开方便得 |(,)|. 当,线性相关时,等号显然成立.反过来,如果等号成立,由以上证明过程可以看出,或者=0,或者 -=0, 也就是说,线性相关. 2.第二种证明方法 引理:设
2、V是欧氏空间,是V的单位向量,那么, |(,)|1. 证明,既是单位向量,则有(,)=1,(,)=1,而|,|20,即 |,|2=(-,-) =(,)+(,)-2(,) =2-2(,)0 所以,(,)1; 又|,|20,即 |,|2=(+,+) =(,)+(,)+2(,) =2-2(,)0 所以,(,)-1.总之,|,|1. 定理2设,是欧氏空间V中的任意两个向量,那么,|(,)|,等号成立当且仅当,线性相关. 证明10若,中有一个是零向量,则结论显然成立; 20设,都不为零,今将,单位化,令=,=,则由引理.知|(,)| 1,而(,)=(|,|)=|(,)所以,|(,)|(,)1. 再设与的
3、夹角为,则的余弦为cos=(,)由此可知,|(,)| |(,)=1cos=11=,此即知与线性相关. 3.第三种证明方法 定理3设,是欧氏空间V中的任意两个向量,那么,|(,)|,等号成立当且仅当,线性相关. 证明x1,x2R取,则(x1+x2 ,x1+ x2 )0,即 (,)x12+2(,)x1x2+(,)x220, 而此式左端恰为关于x1,x2的半正定二次型,故其矩阵的行列式0,即 (,)(,)(,)(,)0 则得|(,)| |,且等号成立 (,)(,)(,)(,)=0,线性相关. 二、Cauchy-Schwarz不等式的应用 Cauchy-Schwarz不等式在不同的空间对应着不同的形式
4、,下面是它在不同空间上的几种变形.母不等式:设V是欧氏空间,若,V,则 (,)2(,)(,)(2) 上式等号成立的充要条件是,线性相关. 变形一:取V=Rn,令=(a1,a2,an),=(b1,b2,bn)则有 (a1b1+anbn)(a12+a22+an2) (b12+b12+bn2)(3) 等号成立的充要条件 bi=cai(i=1,2,n),c是为常数. 变形二:取V是定义在a,b上一切连续实函数所构成的实线性空间,设f(x), g(x)V,则有 f(x)g(x)dx2f 2(x)dxg2(x)dx(4) 变形三:取 V 为概率空间,对任意属于V 的随机变量 与 都有 |E|2 E2E2(
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