LSM算法评定空间直线度误差的分析与改进.doc
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1、LSM算法评定空间直线度误差的分析与改进Analysis and Improvement of the LSM Algorithm for Assessing Spatial Straightness Error HU Zhong-xun, YANG Xu-jing,JIN Xiang-zhong (National Engineering Research Center for High Efficiency Grinding, College of Mechanical and Vehicle Engineering, Hunan Univ, Changsha, Hunan 410082,
2、China) Abstract:Theoretical defects of the Least Squares Method (LSM) in the evaluation of the spatial straightness error was analyzed in detail with geometry, the theory of errors, and optimization principle so as to effectively boost the precision of the assessment of the spatial straightness erro
3、r. The mathematical model of improved LSM algorithm was proposed after the LSM was modified. Finally, the improved LSM algorithm was programmed, and the corresponding numerical experiments were done. The experiment results have shown that the improved LSM algorithm has overcome the theoretical defec
4、ts of LSM with higher accuracy. Key words:geometric errors;error assessments;spatial straightness error;LSM algorithm analysis;improved LSM algorithm 随着数字化制造与检测技术的发展,机械制造零件的尺寸、形状、位置等的精度要求越来越高;然而,形位误差的评定理论和算法仍不完善,尤其是空间直线度误差,作为一种最复杂的形状误差,其评定算法一直处于探索之中. 空间直线度误差的评定算法主要有两类.一类是符合ISO或国家标准1规定的“最小条件”的精确算法,即“
5、最小包容区域法”.但这类算法的数学模型是非线性和不可微的,对其求解非常困难,因此,国内外许多学者运用各种数学理论、优化方法或算法对此进行了研究,如:基于柱面坐标系的非线性模型2,凸壳理论 3,改进的遗传算法4,基于实数编码的遗传算法 5,粒子群算法6,坐标变换原理7,半无限线性规划和基于单纯形的算法8,半有限规划和内点算法9,平面化投影处理方法10等等.虽然以上这些研究的算法各有其有效性,但仍不完善.另一类是在生产实际中常用的近似算法,如:两端点连线算法,最小二乘算法(Least Squares Method,LSM).其中,两端点连线算法不稳定,其评定结果有时较精确,有时却有较大偏差.LSM
6、算法具有一定的精度和鲁棒性,是目前较实用的方法.在坐标测量机CMM(Coordinate Measuring Machine)上的误差评定系统中,都是采用LSM算法.但是,LSM算法存在较大的“不确定度”,因此,Zhu11、王金星12等对LSM算法的“不确定度”计算或LSM算法的改进作了一些研究.但是,在现有对LSM算法的研究文献1112中,本文作者认为,对LSM算法的原理缺陷认识还不够,会严重影响到空间直线度误差评定结果的有效性,甚至可能造成被检零件的“误收”或“误废”. 湖南大学学报(自然科学版)2010年 第2期胡仲勋等:LSM算法评定空间直线度误差的分析与改进 本文拟深入分析LSM算法
7、及其缺陷,提出评定空间直线度误差的改进LSM算法,给出其数学模型,并用实例验证其效能,以期在评定空间直线度误差中获得较高的精度. 1 LSM算法及其缺陷分析 11LSM算法1,11-12 如图1所示,在三维直角坐标系O-XYZ中,若有空间直线度误差测点集R= Pi(xi,yi,zi),i=1,2,n,n为测点数目,设其最小二乘中线(即最小二乘拟合直线)为LS,则LS的方程为: 图1 空间直线最小二乘拟合示意图 Fig.1 Sketch map for least-squares fitting of spatial linex=b1+k1z,y=b2+k2z. 国家标准1规定:在评定任意方向上
8、直线度误差时,为包容实际直线,且轴线的方向与最小二乘中线LS平行(或重合)、并具有最小直径的圆柱面,称为最小二乘中线包容圆柱面.该最小二乘中线包容圆柱面的直径fL就是评定空间直线度的误差值,即: fL=2min (max (di).(7)12 LSM算法的缺陷分析 根据图2所示的空间直线最小二乘拟合的分析示意图,若图1中的最小二乘拟合直线LS对应于图2中的空间直线LS,则由图2可知,A是LS与XOY平面的交点;令式(1)中z=0,则可求出该交点的坐标A(b1,b2,0). 图2 空间直线最小二乘拟合的分析示意图 Fig.2 Sketch map for analysis of least-sq
9、uares fitting of spatial line 分析图1、图2和式(1)(6)可知: 1)初看起来,式(1)的第一式是图2中平行于Y轴的平面AA1B1B的表达式,式(1)的第二式是图2中平行于X轴的平面AA2B2B的表达式;式(1)表示的就是此两个平面的交线AB(LS上的线段).但参照平面内直线的最小二乘拟合公式1,经过深入分析发现:式(1)的第一式和式(2),(4)就是线段AB在XOZ平面内投影A1B1的二维最小二乘拟合直线的表达式,式(1)的第二式和式(3),(5)就是线段AB在YOZ平面内投影A2B2的二维最小二乘拟合直线的表达式;但式(1)中缺少线段AB在XOY平面内投影A
10、B3的对应表达式.这就表明:式(1)(5)实际上是对一系列空间测点Pi向XOZ和YOZ平面内作投影点P1i(xi,zi)和P2i(yi,zi)后,再分别在此两平面内对投影点作二维最小二乘拟合得出的. 2)式(6)是在XOZ平面内,求出Pi的投影点P1i(xi,zi)与A1B1之间的偏差值(xi-b1-k1zi);同时,在YOZ平面内,求出Pi的投影点P2i(yi,zi)与A2B2之间的偏差值(yi-b2-k2zi);再将此两个偏差值按平方和再开平方的方式合成后,作为测点Pi到拟合直线LS的距离di.因此,LSM算法是经过“测点投影平面拟合合成”过程而求得式(6)di的,该算法不是真正的三维拟合
11、算法. 3)由于空间直线LS通过点A(b1,b2,0),若设其方向向量为(u,v,w),则在三维空间中,LS的方程为: x-b1u=y-b2v=zw.(8) 显然,式(8)的等式中同除以w后可与式(1)等效.联立式(1)和式(8)可求得此两式的参数关系式为: u=k1w,v=k2w.(9) 由于通过LSM算法的一组公式:式(1)式(6),无法求得w,当然也无法确定u,v的值;因此,由LSM算法的一组公式无法直接精确拟合出式(8)的空间直线LS. 4)当已知各测点Pi(xi,yi,zi)的坐标值时,按LSM算法的计算值di如式(6)所示;然而,根据空间几何学和误差理论可知,测点Pi到LS的空间距
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