“一一对应”在解计数问题和二项式问题中的转化作用.doc
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1、“一一对应”在解计数问题和二项式问题中的转化作用 上世纪80年代中叶,日本动画片聪明的一休风靡一时,其中一集中有这样的剧情:老方丈为了考察众小僧的智力,在烈日中,将众小僧带到一个屋檐下,命他们快速数出屋顶上瓦片的行数.众小僧迎着刺眼的阳光,争先恐后地数了起来.无奈阳光实在太毒辣了,刺得他们连眼睛都睁不开,实在没办法数下去.只有一休,背对阳光,低头数起屋檐下瓦片投下的阴影,并很快数出了屋顶上瓦片的行数.因此他受到了老方丈赞誉.事实上,一休无意中运用了数学上的“一一对应”原则:屋顶上一行瓦片在地面上投下一轮阴影,一轮阴影对应一行瓦片,数数阴影的轮数,就能得到屋上瓦片的行数.好个聪明的一休!这种方法
2、在数学上有着广泛的运用.刚学计数原理、二项式定理的同学尤其要体会这种方法的优越性. 例1 圆周上有20个点,过任意两点连接一条弦,这些弦在圆内的交点最多有多少个? 解析 将思考的重心放在过任意两点的弦上,但这些弦有的相交,有的不相交,若要理清它们是否相交,则会陷入“泥潭”. 换个角度,弦在圆内的交点一定是相应的圆内接四边形对角线的交点,因此交点的个数与圆内接四边形的个数相同,又可能有交点重合的情况,故交点最多有C4 20 =4 845个. 例2 某教研室有6个参加全国英语口语大赛的指标,分给甲、乙、丙三所学校,每所学校至少分得一个指标,则不同的分配方案有多少种? 解析 用“”表示1个指标,将6
3、个指标排成一排,为, 用两个挡板将它们隔成三部分,则一种隔法对应一种分法,且一种分法对应一种隔法,如/这种隔法对应着甲学校分得一个指标,乙学校分得三个指标,丙学校分得两个指标.因此有多少种分隔方法便有多少种分配方案. 而两个挡板插入6个指标间的五个空隙,有C2 5 =10种插法,因此共有10种分配方案. 例3 求x+y+z=6的非负整数解的组数. 解析 在上例中,设甲、乙、丙三校分别分得x,y,z个指标,则x+y+z=6(x,y,zN*). 由此可知,x+y+z=6的每组正整数解对应着每一种分法,于是此方程共有C2 5 =10组正整数解. 但这里是x+y+z=6(x,y,zN).如何求x+y+
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- 一一 对应 计数 问题 二项式 中的 转化 作用
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