“两定五策略”求解古典概型问题.doc
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1、“两定五策略”求解古典概型问题 古典概型是一种理想化的概率模型,具有有限性和等可能性两大特点.其有限性是指在一次试验中,基本事件的个数是有限的,等可能性是指每一个基本事件发生的可能性是均等的.我们从概率的统计定义不难得出古典概型的计算公式,即事件A发生的概率P(A)=,它属于一种“比例解法”,正确运用该公式的关键在于“两定”:首先是“定型”, 即确定试验的概率模型是否具有古典概型的两大特征“有限性”和“等可能性”,是否是古典概型,“定型”是正确解题的前提;其次是“定量”,即确定试验的基本事件数n的值以及确定事件A包含的基本事件数m的值,“定量”是正确解题的关键.那么我们又如何正确求出古典概型的
2、概率呢?通常有如下五个常用策略:策略一 利用概率的统计定义求概率 概率的统计定义是与一定的试验相联系的,其反映了随机性与规律性的统一.频率是试验值,不同的人、不同的时刻,所得的频率值常常不同,体现出随机性,但大量重复试验时呈现出稳定性.概率是内在的理想值,不随试验的不同而改变,它常常用频率来估测.例1 某射手在同一条件下进行射击,结果如下: (1) 填写表中击中靶心的频率; (2) 这个射手射击一次,击中靶心的概率约是多少?解 (1) 频率依次为:0.9,0.95,0.88,0.91,0.89, 0.902; (2) 射击一次,击中靶心的概率约为:0.90. 点评 某事件的概率是大量重复同一试
3、验时该事件发生的频率的稳定值,实践中常以频率值作为概率的近似值.本题中概率约为0.90,反映概率约在0.895,0.905)间,若写成0.9,则约在0.85,0.95)间,可见精确度有差异.策略二 利用枚举法求古典概型的概率 用枚举的方法把古典概型试验的基本事件一一列出来确定n的值,然后再列出事件A中的基本事件确定m的值,最后利用公式P(A)=求出事件A的概率,这是一个形象、直观的好方法.注意枚举时必须按照某一顺序做到不重复、不遗漏.例2 已知实数a,b-2,-1,1,2. (1) 求直线y=ax+b不经过第四象限的概率; (2) 直线y=ax+b与圆x2+y2=1有公共点的概率.解 实数对(
4、a,b)所有的可能取值为(-2,-2),(-2,-1),(-2,1),(-2,2),(-1,-2),(-1,-1),(-1,1),(-1,2),(1,-2),(1,-1),(1,1),(1,2),(2,-2),(2,-1),(2,1),(2,2),共16种. (1) 设“直线y=ax+b不经过第四象限”为事件A,则必须满足a0,b0,即满足条件的实数对(a,b)有:(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),共4种,所以P(A)=.故直线y=ax+b不经过第四象限的概率为. (2) 设“直线y=ax+b与圆x2+y2=1有公共点”为事件B,则必须满足1,即b2a2+1.若a=-2,则b可以
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