“点在曲线上”的问题探究.doc
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1、“点在曲线上”的问题探究点在曲线上的问题是近几年江苏高考解析几何题型中的热点问题,该问题处理方法多样,计算方法灵活多变,值得教师学生细细品味. 下面,笔者通过典型例题具体说明. 例:如图1,在平面直角坐标系xOy中,已知圆O:x2+y2=5,过点M(1,0)作直线l交圆C于A,B两点,其中点A在第一象限,且=2,求直线l的斜率. 思路一:由于是直线和圆的问题,可以先从几何角度去考虑,可以构造直角三角形,通过计算圆心到直线的距离,求出直线l的斜率. 解法一:连接OA,OB,作OHAB交直线AB于点H,如图2所示. 设OH=x,由=2,且OA=OB可得:=3,所以=3,所以x=. 设直线l的斜率为
2、k,所以直线l的方程为: ?摇?摇?摇?摇kx-y-k=0(k0),所以=,故k=1. 解法一体现几何法是在解决直线和圆问题的主要方法,然而如果将本题改为椭圆背景的问题,几何法不一定适用,此时可以通过代数法处理. 思路二:利用方程思想结合点在圆上的条件,可以将点A或点B的坐标解出来,从而求出直线l的斜率. 解法二:设A(x1,y1),B(x2,y2),由=2,M(1,0),可得:1-x2=2(x1-1),-y2=2y1,所以-x2=2x1-3,-y2=2y1. 因为A,B均在圆O上, 所以(2x1-3)2+(2y1)2=5,x+y=5. 解得x1=2,y1=1, 所以直线l的斜率为kAM=1.
3、 思路三:结合思路二,可以结合一元二次方程根与系数的关系,将直线l的方程与圆O的方程联立,通过韦达定理进行计算. 解法三:设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为:x=my+1(m0), 联立圆O的方程:x2+y2=5,可得:(1+m2)y2+2my-4=0, 所以y1+y2=,y1?y2=. 由=2,M(1,0),可得-y2=2y1. 由y1+y2=,-y2=2y1,可得y1=,y2=, 所以y1?y2=, 解得m=1,所以直线l的斜率为=1. 通过例题的三种解题思路可知:对于“点在曲线上”的问题一般可以从几何和代数两个角度去思考,计算的时候可以通过方程组求在曲线上的点的坐标或利
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