一类线性丢番图方程非负整数解的探讨.doc
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1、一类线性丢番图方程非负整数解的探讨一、引言 随着素质教育在中小学的进一步推行,现在我们的中学生活丰富,经常参加一些实践,科技竞赛等活动。在参加生物竞赛的时候,我们遇到了蛋白质分子组成的判定问题,经与老师同学们研究,发现如果将蛋白质分子分子量记为种氨基酸的已知分子量,的线性组合,这一类问题可以即可转化为一类线性丢番图方程的求解问题,这样就把一个生物问题转化为一个数学问题。同时这个转化也体现了数学在其他学科中的地位和作用。当我们在实际生活中需要求某一类特定方程的整数解的时候,那么就会得到由古希腊亚历山大学后期的重要学者和数学家丢番图(diophantus)的名字命名的一个丢番图方程。当时代数学的创
2、始人之一丢番图在有理数域上写下了一些方程。丢番图方程又被称为不定方程、整系数多项式方程。近些年,丢番图方程的求解问题也受到了广大学者的关注。丢番图方程整数解的存在性已经有很多相关结果,本文主要研究一类线性丢番图方程的非负整数解的问题。 首先我们给出一次线性丢番图方程的概念。 定义 方程 (1)称为元一次线性丢番图方程。这里都是整数。 下面的引例在本文主要结论的证明过程中将要用到,也是一次线性丢番图方程整数解的存在的一个常用的充分必要条件。 引理 设,是不全为零的正整数,对任意的整数,都存在,使得方程成立当且仅当。特殊的,方程(1)对每个有解当且仅当。 二、主要结论 本节我们给出本文的两个主要结论,分别给出了一次?性丢番图方程非负整数解的存在的一个常用的充分条件。 定理 2.1 设,皆为正整数,并且满足,如果,则一次线性丢番图方程存在非负整数解,。 证明 因为,由引理可得,存在整数,使得一次线性丢番图方程成立。 由带余除法可知,存在整数,使得 成立,这里。 不妨设,那么 。 又由题设知,。 因此,从而,故得证。 定理 2.2 设,皆为正整数,并且满足,当时,一次线性丢番图方程存在非负整数解,。 证明 因为 所以,我们有 。 再结合定理2.1可知定理2.2成立。
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