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1、与高中生数学解题错误作“斗争”的策略一、与误判错误作“斗争”的策略 1. 误判错误的表现 (1)求数列an,bn的通项公式; (2)若f(n)=an,n为奇数,bn,n为偶数,是否存在kN*,使f(k+3)=4f(k)成立?若存在,求出所有符合条件的k值;若不存在,请说明理由。 下面的第(1)问是某个学生的解题过程: P1(a1,b1)是直线与直线l:y=3x+1与y轴的交点 又数列an是公差d=1的等差数列 bn=3an+1=3n-3 这个学生的错误就是把与y轴的交点看成是(a,0),也就是说与y轴的交点看成是纵坐标为0,与x轴的交点看成是横坐标为0。 2. “斗争”的策略 (1) “把控”
2、信息源头。所谓源头就是从根本上弄清楚一些基本的概念和公式定理,从错误的源头去解决有关数学错误问题。例如,上述的例1就是对向量的夹角这个概念理解不够清楚造成错误的,如果平常我们能结合图形去学习向量的概念,那就非常的清楚知道共起点两个向量所在的两条射线所夹的角,能做到这样,这些错误就不会存在的。 (2)排除干扰信息。一些数学题特别是选择题有很多的信息,有些是利于我们解题的,有些是对我们解题有干扰的作用。我们如何才能正确的得出正确答案,那就需要我们利用特殊代替一般、数形结合、排除等数学思想和方法排除干扰信息,直奔主题,最后就可以得出正确的答案。例3:已知y=loga(2-ax)在0,1上是x的减函数
3、,则a的取值范围是( ) A、(0,1) B、(1,2) C、(0,2) D、2,+) 根据对数的概念我们可知对数的底不为1,我们可以排除C,然后根据特殊代替一般的数学思想,当x=1,a=3时,真数2-ax=-1与真数大于0相矛盾,也排除D,由于原函数的真数部分是由一次函数构成的,故原函数是一个复合函数,它的单调性与一次函数和对数函数的单调性有关,简单来说就是这两个函数的单调性相同,原函数单调递增,如果它们的单调性相反,原函数的单调递减。无论我们选A或B,一次函数是单调递减,据题意要原函数递减,对数函数只能是递增,那么对数函数的底数只能大于1,故答案选B。 (3)决策正确信息。决策正确信息是通
4、过审题,对题目的一些重要的或者容易忽略的信息要着重加上标志,防止解题的时候会忽略或者搞错。例如上述例2就是一个很好的例子。学生错误就是没有在“直线l与y轴的交点”中的y做上标志,导致解题时,看成是“直线l与x轴的交点”而造成解题错误,因此决策正确信息是与与误判错误作“斗争”的一种重要策略。 二、与分析错误作“斗争”的策略 1. 分析错误的表现 因此学生也可以掌握放缩法的规律就是要变成f(n)-f(n+1)或者f(n-1)- f(n)的形式才可以“裂项”相加。 2. “斗争”的策略 (1)吃透已知、所求。对题目的已知和所求都要清楚是什么、有什么样的特点,针对这些特点,我们该如何选取适当的解题方法
5、进行解决。例4的这种错法就是一个很好的例子,学生就是没有吃透已知中的0,学生能够吃透已知、所求就会很容易利用诱导公式将变为正,然后再求单调区间。 (2)监控逻辑过程。也就是解题时,过程要符合我们的数学逻辑,而不是简单的“形而上学”。例如数列的“裂项”求和,主要是通过“裂项”达到相消的目的。而例5中的裂成,表面上是没错,但是我们“裂项”的目的就是为了相消,而例5通过“裂项”根本没办法做到了,而要相消,分母就要变成f(n)-f(n+1) 这种形式,学生就会想到通过放缩的方法达到这种目的。 三、解题错误 1. 解题错误的表现 解题错误主要是指解题的思想和方法的策略不适当所造成的错误。解题策略不当通常
6、是受到某种思维的干扰,而学生又没有对知识进行完善的归纳、小结,知道某些题的解法,认为所有题都是这样的解法,解题比较死板,不灵活。例如:在求函数的参数的取值范围时,经常用到的一种方法是分离系数法。但有时候用分离系数法去解决问题就比较困难。如例6:2015年的广州市一模的理科数学试题的第21题的第1问:已知函数,求出函数g(x)的最大值,则只需a大于g(x)的最大值即可。但问题是求函数g(x)的最大值的时候,首先要对g(x)进行求导,在求导的时候,相对就比较困难,求单调区间和极值、最值就更加困难,因此在这里采用分离系数法去解决问题不适宜。而正确的解题方法直接求导,结合分类讨论的思想,讨论单调区间,
7、从而求出参数a的取值范围。 2. “斗争”的策略 (1)正确预评解题思想和方法。在审题之后,经过分析后,估计选用哪种方法或数学思想去解这个题比较适当。在例6中,虽然可以通过分离系数法简单的将a分离出来,但是利用导数求最值时,y=g(x)这个函数求导比较麻烦,所以我们还是直接求导利用分类讨论、数形结合的数学思想去解决比较简单。 (2)注意一题多解,能做到举一反三。我们在平时的解题中,要知道解决问题的数学方法和思想有哪些,这些解题的方法和思想有什么样特征,它们分别可以解决哪些问题,能做到举一反三。例如解决参数的取值范围的方法有分离系数法、直接求法、分类讨论和数形结合等方法。参数的次数是齐次,而且可以分离出来,且求导比较简单,通常用分离系数法;而不能分离或者分离出来以后求导比较麻烦,通常用直接法;而函数是我们熟悉的函数,通常我们可以借助函数的图像(数形结合法)去解决;有时有很多种情况,就要进行分类讨论。而例6虽然可以分离,但是求导比较麻烦,故我们还是选取直接法,经过变形后出现二次函数而且有很多种情况,故我们也选用分类讨论和数形结合的数学思想去解决。但如果我们的方法比较单一,我们只会分离系数法,解这个题的时候就会相当的麻烦了,这个就是我们提出一题多解的好处了。
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