与双曲线性质有关的若干问题探究及其拓展.doc
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1、与双曲线性质有关的若干问题探究及其拓展 双曲线作为圆锥曲线之一,它与椭圆、抛物线有许多相同或相类似的性质. 借助于双曲线问题的研究,可以引申为一般圆锥曲线的相关结论. 另一方面,双曲线又不同于其它圆锥曲线,其最大区别在于渐近线. 因此探讨双曲线上的点与其渐近线的关系,又可以得到某些不同结果. 除此之外,双曲线还有不少鲜为人知的性质,在高中数学教学中,若能引导学生运用类比的方法和函数的思想,对这些性质进行探讨,不仅可以使学生获得对圆锥曲线本质的更深层次的理解,同时还可以达到在新课程理念下培养学生创新意识和综合素质的目的. 本文仅将笔者在教学中与学生共同探讨的有关结论概括阐述,希望得到同行的指正.
2、 一、常见性质 我们知道,双曲线有许多熟知的性质,除了中学数学教材所列举的几个基本常用性质之外,通常还可以知道下面两个性质: 1双曲线的任一焦点到渐近线的距离等于其虚半轴之长. 2在双曲线的同一支上,以过焦点的弦为直径的圆必与双曲线的准线相交,且该圆被准线所截得的圆弧度数为定值. 这些结论在相关的教学参考书1或教辅资料2均有证明,在此从略. 二、探究拓展 下面我们将进一步探究双曲线以及圆锥曲线的其它性质,并且在函数背景下将双曲线的某些特征引申为一类函数的特征,从而得到一些有价值的结论. 为叙述方便,本文均借助于标准方程来表示圆锥曲线. 探究之一:内切圆与轨迹问题 定理1设双曲线方程为 (a0,
3、b0),其左、右焦点分别为F1、F2,若P为双曲线上任一点,则PF1F2的内切圆必与双曲线的实轴相切于双曲线的顶点. 此定理是文3的一个例子,现简单证明如下:如图1,不妨设P为双曲线右支上的点,PF1F2的内切圆C与实轴的切点为A,与PF1、PF2的切点分别为M、N,则由双曲线的定义以及圆的切线性质易得|AF1|AF2|=|PF1|PF2|=2a. 故A为双曲线顶点. (当P在左支时同理可以证明) 由以上证明可以发现,PF1F2的内切圆的圆心C实际上是在过双曲线顶点A的实轴的垂线上,因此,若从定理1的逆命题出发,则又可以得到关于双曲线轨迹的一个条件,即 定理2已知平面上定长为2c(c0)的线段
4、F1F2,A为线段F1F2上异于F1、F2及其中点的一个定点,圆C为平面上与线段F1F2相切于点A的动圆,过F1、F2分别作圆C异于F1F2的切线F1M、F2N,则F1M、F2N的交点P的轨迹为以F1、F2为焦点,以A为顶点的一支双曲线(即靠近A点的焦点所对应的半条双曲线,根据对称性可以得到另一支). 定理2的证明留给读者. 将上述定理在圆锥曲线中进行拓展,又可以得到下列结论: 定理3设椭圆 (ab0)的左、右焦点分别为F1、F2,若P为椭圆上任一点,则 PF1F2在线段F1F2之外的旁切圆必与椭圆的长轴相切于椭圆的顶点. 定理4已知平面上定长为2c(c0)的线段F1F2,A为线段F1F2延长
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- 关 键 词:
- 双曲线 性质 有关 若干问题 探究 及其 拓展
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