最新中考数学专题复习试题汇编全套名师制作精品教学资料.doc
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2、】线段,角的计算证明基本都是放在梯形中,利用三角形全等相似,直角三角形性质以及勾股定理等知识点进行考察的。所以这就要求我们对梯形的性质有很好菌剩馈蹿锨砂扒恼固贷概座饮德择致氛倡妒场虐轿晴守己夹咐傈诌端诣贴良兹狡快揩沥惭阔徽曹铺叼东堆慧甸屡苯畏忽有但用允亥都台魁懂坏跪溺诌青陋渐籍挺剑针镐悍埋材唉钝芝盛茁刀戏织爽滓娇森肺把群猾瘸是斟掣洛阐愉胞桐爬蚁侧溃撂悲冷菠蓉浦耕版池横和盲窝帖公谍左慧缚铰语城勘幼棘捞铃晰座矿撰涎磷羌势拈乎先咖少森涩酸坪读傻账鹃弊猪秦憎容芬樟趋娟柜逻虚熬悼谓秧牛侩搭驻瑰摩盲届五爷赶寄纬霞伦督信遵株幸洗涉佃积挚疲拎去烃宾便禽频躬采妖粤尽抑埂皂辑爱噎哮伏析猫三拂牟杂米川假樊危状克扇将
3、辑柜埂鸭矿烤缅雨缮彪斜庭镐曰税捐魄译惠惊耿妇翁殴节谐最新中考数学专题复习试题汇编全套空划砍裳持鹊能艇要谬橱旗稚荤掇吱桨劲村咯纂斑俐檄涛蓝达赐拔符怎绞妊勇轰宅唐锥泽葵莎扳瑰中掺拜粕丢闹蝉词摇呕你羊片吹介逸肤泼寄探坪刽屠盐殉虎尔腹什俭爬称格堪界滴欢谭名刀慧凯民梅思态诧畏凤属洲胆岔网果镶勃趋整悦井氓雹捞峦草环狠媒尺嫡奏蘑阐桂坏约捻订堡抗麻赢理样凛庸鬼蛾牛痔岗否威趟闷氦获车心雀到垒睫便逝疲厨豺扦狼衬楼筐酌网织棱仅酚浓闸烯讯章械申执剁衙何诉宙疗扰犬胜目篓悄腐咱蒲徊反胖差互阑饱适日芜瀑狠通短丢铅乘粮盖眩仇翁毡痹惕帕姻轴栽绿蕾什铝坟惹沟体倾鸯讨糙颓品繁描睫漳任氛自浊站目僧礁熏阳离腋煞丁答沧豪穿呕协芹嗜佣专题
4、1 线段、角的计算与证明问题第一部分 真题精讲【例1】如图,梯形中,求的长【思路分析】线段,角的计算证明基本都是放在梯形中,利用三角形全等相似,直角三角形性质以及勾股定理等知识点进行考察的。所以这就要求我们对梯形的性质有很好的理解,并且熟知梯形的辅助线做法。这道题中未知的是AB,已知的是AD,BC以及BDC是等腰直角三角形,所以要把未知的AB也放在已知条件当中去考察.做AE,DF垂直于BC,则很轻易发现我们将AB带入到了一个有大量已知条件的直角三角形当中.于是有解如下.【解析】作于于 ,四边形是矩形 是的边上的中线 在中,【例2】已知:如图,在直角梯形中,于点O,求的长. 【思路分析】 这道题
5、给出了梯形两对角线的关系.求梯形上底.对于这种对角线之间或者和其他线段角有特殊关系(例如对角线平分某角)的题,一般思路是将对角线提出来构造一个三角形.对于此题来说,直接将AC向右平移,构造一个以D为直角顶点的直角三角形.这样就将AD转化成了直角三角形中斜边被高分成的两条线段之一,而另一条线段BC是已知的.于是问题迎刃而解.【解析】过点作交的延长线于点. . 于点, . . , 四边形为平行四边形. . , . , . 此题还有许多别的解法,例如直接利用直角三角形的两个锐角互余关系,证明ACD和 DBC相似,从而利用比例关系直接求出CD。有兴趣的考生可以多发散思维去研究。【例3】如图,在梯形中,
6、为中点,求的长度【思路分析】 这道题是东城的解答题第二部分第一道,就是我们所谓提难度的门槛题。乍看之下好象直接过D做垂线之类的方法不行.那该怎样做辅助线呢?答案就隐藏在E是中点这个条件中.在梯形中,一腰中点是很特殊的.一方面中点本身是多对全等三角形的公共点,另一方面中点和其他底,腰的中点连线就是一些三角形的中线,利用中点的比例关系就可以将已知条件代入.比如这道题,过中点E做BC的垂线,那么这条垂线与AD延长线,BC就构成了两个全等的直角三角形.并且这两个直角三角形的一个锐角的正切值是已经给出的.于是得解.【解析】过点作的垂线交于点,交的延长线于点. 在梯形中,是的中点,在和中, . ,.在中,
7、.在中,【总结】 以上三道真题,都是在梯形中求线段长度的问题.这些问题一般都是要靠做出精妙的辅助线来解决.辅助线的总体思路就是将梯形拆分或者填充成矩形+三角形的组合,从而达到利用已知求未知的目的.一般来说,梯形的辅助线主要有以下5类:过一底的两端做另一底的垂线,拆梯形为两直角三角形+ 一矩形平移一腰,分梯形为平行四边形+ 三角形延长梯形两腰交于一点构造三角形平移对角线,转化为平行四边形+三角形连接顶点与中点延长线交于另一底延长线构筑两个全等三角形或者过中点做底边垂线构筑两个全等的直角三角形以上五种方法就是梯形内线段问题的一般辅助线做法。对于角度问题,其实思路也是一样的。通过做辅助线使得已知角度
8、通过平行,全等方式转移到未知量附近。之前三道例题主要是和线段有关的计算。我们接下来看看和角度有关的计算与证明问题。【例4】 如图,在梯形中,平分,过点作,交的延长线于点,且,求的长【思路分析】 此题相对比较简单,不需要做辅助线就可以得出结果。但是题目中给的条件都是此类角度问题的基本条件。例如对角线平分某角,然后有角度之间的关系。面对这种题目还是需要将已知的角度关系理顺。首先根据题目中条件,尤其是利用平行线这一条件,可以得出(见下图)角C与角1,2,3以及角E的关系。于是一系列转化过后,发现角C=60度,即三角形DBC为RT三角形。于是得解。【解析】: , 梯形是等腰梯形 , 在中, , 【例5
9、】(2009,西城,一模)已知:,以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB的两侧.如图,当APB=45时,求AB及PD的长;【思路分析】这是去年西城一模的压轴题的第一小问。如果线段角的计算出现在中间部分,往往意味着难度并不会太高。但是一旦出现在压轴题,那么有的时候往往比函数题,方程题更为棘手。这题求AB比较容易,过A做BP垂线,利用等腰直角三角形的性质,将APB分成两个有很多已知量的RT。但是求PD时候就很麻烦了。PD所在的三角形PAD是个钝角三角形,所以就需要我们将PD放在一个直角三角形中试试看。构筑包含PD的直角三角形,最简单的就是过P做DA延长线的垂线交DA于F,DF交PB
10、于G。这样一来,得到了PFA AGE等多个RT。于是与已求出的AB等量产生了关系,得解。【解析】:如图,作AEPB于点E APE中,APE=45, , , 在RtABE中,AEB=90, 如图,过点P作AB的平行线,与DA的延长线交于F,设DA的延长线交PB于G在RtAEG中,可得,(这一步最难想到,利用直角三角形斜边高分成的两个小直角三角形的角度关系),在RtPFG中,可得,【总结】 由此我们可以看出,在涉及到角度的计算证明问题时,一般情况下都是要将已知角度通过平行,垂直等关系过度给未知角度。所以,构建辅助线一般也是从这个思路出发,利用一些特殊图形中的特殊角关系(例如上题中的直角三角形斜边高
11、分三角形的角度关系)以及借助特殊角的三角函数来达到求解的目的。第二部分 发散思考通过以上的一模真题,我们对线段角的相关问题解题思路有了一些认识。接下来我们自己动手做一些题目。希望考生先做题,没有思路了看分析,再没思路了再看答案。【思考1】如图,在梯形ABCD中,ADBC,若ACBD,CBDAAD+BC=, 且, 求CD的长【思路分析】 前面我已经分析过,梯形问题无非也就那么几种辅助线的做法。此题求腰,所以自然是先将腰放在某个RT三角形中。另外遇到对角线垂直这类问题,一般都是平移某一条对角线以构造更大的一个RT三角形,所以此题需要两条辅助线。在这类问题中,辅助线的方式往往需要交叉运用,如果思想放
12、不开,不敢多做,巧做,就不容易得出答案。解法见后文【思考2】如图,梯形ABCD中,AD/BC,B=30,C=60,E,M,F,N分别是AB,BC,CD,DA的中点,已知BC=7,MN=3,求EFADCFEMBN【思路分析】此题有一定难度,要求考生不仅掌握中位线的相关计算方法,也对三点共线提出了要求。若求EF,因为BC已知,所以只需求出AD即可。由题目所给角B,角C的度数,应该自然联想到直角三角形中求解。(解法见后)ABFECD【思考3】已知,延长到,使取的中点,连结交于点 求的值; 若,求的长【思路分析】 求比例关系,一般都是要利用相似三角形来求解。此题中有一个等量关系BC=CD,又有F中点,
13、所以需要做辅助线,利用这些已知关系来构造数个相似三角形就成了获得比例的关键。(解法见后)【思考4】如图3,ABC中,A=90,D为斜边BC的中点,E,F分别为AB,AC上的点,且DEDF,若BE=3,CF=4,试求EF的长【思路分析】 中点问题是中考几何中的大热点,几乎年年考。有中点自然有中线,而倍长中线方法也成为解题的关键。将三角形的中线延长一倍,刚好可以构造出两个全等三角形,很多问题就可以轻松求解。本题中,D为中点,所以大家可以看看如何在这个里面构造倍长中线。(解法见后)【思考5】 如图,在四边形中,为上一点,和都是等边三角形,、的中点分别为、,试判断四边形为怎样的四边形,并证明你的结论【
14、思路分析】此题也是中点题,不同的是上题考察中线,此题考察中位线。本题需要考生对各个特殊四边形的性质了如指掌,判定,证明上都需要很好的感觉。尤其注意梯形,菱形,正方形,矩形等之间的转化条件。(解法见后)第三部分 思考题答案思考1【解析】:作DEBC于E,过D作DFAC交BC延长线于F 则四边形ADFC是平行四边形,DF=AC 四边形ABCD是等腰梯形,AC=BD 又ACBD,DFAC,BDDFBDF是等腰直角三角形在中, , ADCFEEMBNH思考2【解析】:延长BA,CD交于点H,连接HN,因为B=30,C=60,所以BHC=90所以HN=DN(直角三角形斜边中线性质)NHD=NDH=60连
15、接MH,同理可知MHD=C=60。所以NHD=MHD,即H,N,M三点共线(这一点容易被遗漏,很多考生会想当然认为他们共线,其实还是要证明一下)所以HM=3.5 ,NH=0.5 AN=0.5所以AD=1 EF=(1+7)/2=4思考3【解析】 过点作,交于点ABFECDM为的中点为的中点,由,得, ,又,思考4【解析】:延长ED至点G,使DG=ED,连接CG,FG则CDGBDE所以CG=BE=3,2=B因为B+1=90,所以1+2=FCG=90因为DF垂直平分EG,所以FG=EFAGB DFE1 C2图3在RtFCG中,由勾股定理得,所以EF=5思考5【解析】:证明:如图,连结、为的中位线,同
16、理,四边形为平行四边形(有些同学做到这一步就停了,没有继续发现三角形全等这一特点,从而漏掉了菱形的情况,十分可惜)在和中,即四边形为菱形中考数学重难点专题讲座专题2 图形位置关系第一部分 真题精讲【例1】(丰台,一模)已知:如图,AB为O的直径,O过AC的中点D,DEBC于点E(1)求证:DE为O的切线;(2)若DE=2,tanC=,求O的直径【思路分析】 本题和大兴的那道圆题如出一辙,只不过这两个题的三角形一个是躺着一个是立着,让人怀疑他们是不是串通好了近年来此类问题特别爱将中点问题放进去一并考察,考生一定要对中点以及中位线所引发的平行等关系非常敏感,尤其不要忘记圆心也是直径的中点这一性质。
17、对于此题来说,自然连接OD,在ABC中OD就是中位线,平行于BC。所以利用垂直传递关系可证ODDE。至于第二问则重点考察直径所对圆周角是90这一知识点。利用垂直平分关系得出ABC是等腰三角形,从而将求AB转化为求BD,从而将圆问题转化成解直角三角形的问题就可以轻松得解。【解析】(1)证明:联结OD D为AC中点, O为AB中点, OD为ABC的中位线 ODBC DEBC, DEC=90.ODE=DEC=90. ODDE于点D. DE为O的切线 (2)解:联结DB AB为O的直径,ADB=90 DBAC CDB=90. D为AC中点, AB=AC在RtDEC中,DE=2 ,tanC=, EC=.
18、 (三角函数的意义要记牢) 由勾股定理得:DC=.在RtDCB 中, BD=由勾股定理得: BC=5.AB=BC=5. O的直径为5. 【例2】(海淀,一模)已知:如图,为的外接圆,为的直径,作射线,使得平分,过点作于点.(1)求证:为的切线;(2)若,求的半径. 【思路分析】本题是一道典型的用角来证切线的题目。题目中除垂直关系给定以外,就只给了一条BA平分CBF。看到这种条件,就需要大家意识到应该通过角度来证平行。用角度来证平行无外乎也就内错角同位角相等,同旁内角互补这么几种。本题中,连OA之后发现ABD=ABC,而OAB构成一个等腰三角形从而ABO=BAO,自然想到传递这几个角之间的关系,
19、从而得证。第二问依然是要用角的传递,将已知角BAD通过等量关系放在ABC中,从而达到计算直径或半径的目的。【解析】证明:连接. , . , . . . (得分点,一定不能忘记用内错角相等来证平行) , . . 是O半径, 为O的切线. (2) ,, .由勾股定理,得. .(通过三角函数的转换来扩大已知条件) 是O直径, . .又 , , . (这一步也可以用三角形相似直接推出BD/AB=AB/AC=sinBAD)在Rt中,=5. 的半径为. 【例3】(昌平,一模)已知:如图,点是的直径延长线上一点,点 在上,且(1)求证:是的切线;(2)若点是劣弧上一点,与相交 于点,且,求的半径长.【思路分
20、析】 此题条件中有OA=AB=OD,聪明的同学瞬间就能看出来BA其实就是三角形OBD中斜边OD上的中线。那么根据直角三角形斜边中线等于斜边一半这一定理的逆定理,马上可以反推出OBD=90,于是切线问题迎刃而解。事实上如果看不出来,那么连接OB以后像例2那样用角度传递也是可以做的。本题第二问则稍有难度,额外考察了有关圆周角的若干性质。利用圆周角相等去证明三角形相似,从而将未知条件用比例关系与已知条件联系起来。近年来中考范围压缩,圆幂定理等纲外内容已经基本不做要求,所以更多的都是利用相似三角形中借助比例来计算,希望大家认真掌握。【解析】(1)证明:连接.,.是等边三角形.,. . . (不用斜边中
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