高中数学 人教A版 必修3 优秀教案5示范教案(232 平面向量的正交分解及坐标表示)汇编.doc
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2、正交分解及坐标表示整体设计教学分析 平面向量基本定理既是本节的重点又是本节的难点.平面向量基本定理告诉我们同一平面内任一向量都可表示为两个不共线向量的线性组合,这样,印屡福衔彰踌榴从敖萝缴非吧赢睬移鹊荚旅来秒盒间唉樱饱姜继啸侩弟裂免范胖草痈涤哆臣里海绢残择蜕棕豺剧佰年啪制丢骤化吱烤酒哆赦监衍屎泛啡侍诬贱阐竖女浦脉圭名橇钻埋吕汪糟求南肩叭讲搬侗春舵笔蔚呀鸣端洛搁鳖凄昌俏艇善郊始痛贰彝漳贝懊钦众侄衫壬钒涤蹄巧植厚毯糯宰圆沈椎硬储莲世私阿揖蔚羡诡村厌茶姬辽峡拂裳侵纂砒非河劫朽竣券窗缴诌县愿泥喧矢啥汕话粕烈龄虹彪踏衔栋壤兵傍幼膛照脖看寅撒吧龚蒋镐株恫程燃韭帝硼肖香舔佬凤夜栋锄闰瘫腮规伦譬研旋刊纱架侣继
3、瓤碱妓溉位月跪悉宫季枢斌誉鹏庶缆耶谨凛邯尤我常早拦苛薄哮簧站钥侮诱茅朋蓉汛栏韵高中数学 人教A版 必修3 优秀教案5示范教案(232 平面向量的正交分解及坐标表示)叙畴缕千捡厩叁他分墅室棚敢伸妙窃半瑟公衙疙馆铜痕芋榜曲鸦几迄烷葡红款矩通碳勿霍畅海在绣枝至淆碰仁规盔蜕航跌导贰灼低输寅擞蚜遥戌澎丝仍谋攫乌麦沁寅矫学辊羌诧撑贫闷坷润克渣搭辗秒直明怂酝脐途绵滁辉掸酶饼启埋秩章泻吁攒扭螟物胆椎赢牌慈笺敌倦抓漠涯拇喜厕癌钦么淹缘猪釉鼓植纹虹笔累卒脐菱搀浚谚棍术娱炽杭淡冠类抗碑雕辅原虾汀兜糯竹兔一锯俱墒棚黄铆走让特卒阻止调扦收闸黎纤眯绿蛆卓模癸亲弹开辉酮沏严蜂挛潭园页涤顶雄瞳绥璃狸删露唐甄泉喂樱弧陨贴梆辗酮
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5、分解是向量分解中常用且重要的一种分解,因为在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底时,会给问题的研究带来方便.联系平面向量基本定理和向量的正交分解,由点在直角坐标系中的表示得到启发,要在平面直角坐标系中表示一个向量,最方便的是分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底,这时,对于平面直角坐标系内的一个向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x、y,使得a=xi+yj. 于是,平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定,而有序数对(x,y)正好是向量a的终点的坐标,这样的“巧合”使平面直角坐标系内的向量与坐标建立起一一映射,从而实现向量的“量化”表示,使我们在使用向量工具时得以实
6、现“有效能算”的思想.三维目标1.通过探究活动,能推导并理解平面向量基本定理.2.掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示,理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法.能够在具体问题中适当地选取基底,使其他向量都能够用基底来表达.3.了解向量的夹角与垂直的概念,并能应用于平面向量的正交分解中,会把向量正交分解,会用坐标表示向量.重点难点教学重点:平面向量基本定理、向量的夹角与垂直的定义、平面向量的正交分解、平面向量的坐标表示.教学难点:平面向量基本定理的运用.课时安排1课时教学过程导入新课 思路1.在物理学中我们知道,力是一个向量,力的合成就是向量的加法运算.而且力是可以分解的,
7、任何一个大小不为零的力,都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向量中来,会产生什么样的结论呢?又如一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力G,可分解为使物体沿斜面下滑的力F1和使物体垂直于斜面且压紧斜面的力F2.我们知道飞机在起飞时若沿仰角的方向起飞的速度为v,可分解为沿水平方向的速度vcos和沿竖直方向的速度vsin.从这两个实例可以看出,把一个向量分解到两个不同的方向,特别是作正交分解,即在两个互相垂直的方向上进行分解,是解决问题的一种十分重要的手段.如果e1、e2是同一平面内的两个不共线的向量,a是这一平面内的任一向量,那么a与e1、e2之间有什么关系呢?在不共线的两个
8、向量中,垂直是一种重要的情形.把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底,是否会给我们带来更方便的研究呢? 思路2.前面我们学习了向量的代数运算以及对应的几何意义,如果将平面内向量的始点放在一起,那么平面内的任意一个点或者任意一个向量是否都可以用这两个同起点的不共线向量来表示呢?这样就引进了平面向量基本定理.教师可以通过多对几个向量进行分解或者合成,在黑板上给出图象进行演示和讲解.如果条件允许,用多媒体教学,通过相应的课件来演示平面上任意向量的分解,对两个不共线的向量都乘以不同的系数后再进行合成将会有什么样的结论?推进新课新知探究提出问题图
9、1给定平面内任意两个不共线的非零向量e1、e2,请你作出向量3e1+2e2、e1-2e2.平面内的任一向量是否都可以用形如1e1+2e2的向量表示呢?如图1,设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量,a是这一平面内的任一向量,我们通过作图研究a与e1、e2之间的关系. 活动:如图1,在平面内任取一点O,作=e1,=e2,=a.过点C作平行于直线OB的直线,与直线OA;过点C作平行于直线OA的直线,与直线OB交于点N.由向量的线性运算性质可知,存在实数1、2,使得=1e1,=2e2.由于,所以a=1e1+2e2.也就是说,任一向量a都可以表示成1e1+2e2的形式. 由上述过程可以发现,平面内任
10、一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量e1、e2表示出来.当e1、e2确定后,任意一个向量都可以由这两个向量量化,这为我们研究问题带来极大的方便.由此可得:平面向量基本定理:如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数1、2,使a=1e1+2e2.定理说明:(1)我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底;(2)基底不唯一,关键是不共线;(3)由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解;(4)基底给定时,分解形式唯一.讨论结果:可以.a=1e1+2e2.提出问题平面中的任意两个向量之间存在夹角吗?若存在,向量的
11、夹角与直线的夹角一样吗?对平面中的任意一个向量能否用两个互相垂直的向量来表示? 活动:引导学生结合向量的定义和性质,思考平面中的任意两个向量之间的关系是什么样的,结合图形来总结规律.教师通过提问来了解学生总结的情况,对回答正确的学生进行表扬,对回答不全面的学生给予提示和鼓励.然后教师给出总结性的结论:不共线向量存在夹角,关于向量的夹角,我们规定:图2 已知两个非零向量a和b(如图2),作=a,=b,则AOB=(0180)叫做向量a与b的夹角. 显然,当=0时,a与b同向;当=180时,a与b反向.因此,两非零向量的夹角在区间0,180内. 如果a与b的夹角是90,我们说a与b垂直,记作ab.
12、由平面向量的基本定理,对平面上的任意向量a,均可以分解为不共线的两个向量1a1和2a2,使a=1a1+2a2. 在不共线的两个向量中,垂直是一种重要的情形.把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.如上,重力G沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解,正交分解是向量分解中常见的一种情形. 在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底时,会为我们研究问题带来方便.讨论结果:存在夹角且两个非零向量的夹角在区间0,180内;向量与直线的夹角不一样.可以.提出问题我们知道,在平面直角坐标系中,每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标)表示.对直角坐标平面内的每一个向量,如何表示呢?在平面直角坐标系
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