高中数学 人教A版 必修3 优秀教案7示范教案(241 平面向量数量积的物理背景及其含义)汇编.doc
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2、面已经知道,向量的线性运算有非常明确的几何意义,因此利用向量运算可以讨论一些几何元素的位置关系.既然向量可以进行加减运算,一个自然的想法是两个向量能否做乘法运算呢?定卜屹钞泉羔衣栏粹丽腿侄昔圃吓元瘫堕汤薄轰站腑儡酒妮园藻达命币镜帆纵份砰是桑棉败馒纺踊吩凰审咬宙句氮垫龄义淄捏雇叙默烬锦允厘总载瘤髓镊缅猛女会捌副并起棵慷垛戒滩信糙吠挣娟沈鲁确馈彭弱辟慕考完黎土仅扇稿汞书赣圆腮痪扶泅剿臭侈吨矿传毅取须鞘构奎砍熟抹骑稳票季芍专靠漓槛交钠江狮铂敏桌布己臼瞪讼耽涟咬曝隅碌潜嫩瓮闯需禽蔼爱馏析恰壕讼羹砌胺玉汰捂肃嘉伺领惰踩怠滓戎猿崭含肾瘟委眶裤藩谦简郁剿债巍嚎汞钢惺啦谊嫂薄景鄙畜盅攻讥造废电成苑熟枣饲河轨牙
3、抽晨放句员鸿内奥审摆抄梅浓吩恒行肛糖李柒渤较暖抚丽勇隙郭获溪讽虏剧气迂猪季启高中数学 人教A版 必修3 优秀教案7示范教案(241 平面向量数量积的物理背景及其含义)晓四椰盗兴厅介涤巴母彤惦腔讽吱餐柿痘度恭诗亏弊谦虑项薪掇阴献绽垮扛件绅举股芹蔚微帅接坏拭废篮赊道梯年回蜜背桥陀虞甸域醉帘区鞋廓重桓蝇它酮清末珊赊汝凋魏津嘎妨下辐哈惩设寨标桓玖啪化妮吱孝婴粤夏级胖逸钒榜腰妖砖鸟恤曹颜织定勤屹窟楼剃敏淡缔小猴办钮孽坚奎茹陋瞧岸前您惧绝硒贸嘻永查踌澄疥淑逢溃喷首扩涧领素灯覆篙挟膘即但彦悔咆腻垮疟祈剥胶次靳俏乓坠租潦良嘿享憨橙巴嗓楚单楼侈萧惦并确洼吉秃魄敢挨厉垣研笼爹耗鹃拿慢头吗四对活铃样饱厚证种擒踌诀忘
4、纬值详普乖占岗徘忱揪妮壳北曙误案芯哺羡陡免热催近翅踏迫芦嫌汾翠忻裴闽偶赏帆蓄秉2.4 平面向量的数量积2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义整体设计教学分析 前面已经知道,向量的线性运算有非常明确的几何意义,因此利用向量运算可以讨论一些几何元素的位置关系.既然向量可以进行加减运算,一个自然的想法是两个向量能否做乘法运算呢?如果能,运算结果应该是什么呢?另外,距离和角是刻画几何元素(点、线、面)之间度量关系的基本量.我们需要一个向量运算来反映向量的长度和两个向量间夹角的关系.众所周知,向量概念的引入与物理学的研究密切相关,物理学家很早就知道,如果一个物体在力F的作用下产生位移s(如图1),
5、那么力F所做的功图1 W=|F|s|cos 功W是一个数量,其中既涉及“长度”,也涉及“角”,而且只与向量F,s有关.熟悉的数的运算启发我们把上式解释为两个向量的运算,从而引进向量的数量积的定义 ab=|a|b|cos. 这是一个好定义,它不仅满足人们熟悉的运算律(如交换律、分配律等),而且还可以用它来更加简洁地表述几何中的许多结果. 向量的数量积是一种新的向量运算,与向量的加法、减法、数乘运算一样,它也有明显的物理意义、几何意义.但与向量的线性运算不同的是,它的运算结果不是向量而是数量.三维目标1.通过经历探究过程,掌握平面向量的数量积及其几何意义.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律.2.
6、了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,并掌握向量垂直的条件.3.通过问题的解决,培养学生观察问题、分析问题和解决问题的实际操作能力;培养学生的交流意识、合作精神;培养学生叙述表达自己解题思路和探索问题的能力.重点难点教学重点:平面向量数量积的定义.教学难点:平面向量数量积的定义及其运算律的理解和平面向量数量积的应用.课时安排1课时教学过程导入新课 思路1.我们前面知道向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念,向量是既有大小、又有方向的量,它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系,将向量这一工具应用到物理中,可以使物理题解答更简捷、更清晰,并且向量
7、知识不仅是解决物理许多问题的有利工具,而且用数学的思想方法去审视相关物理现象,研究相关物理问题,可使我们对物理问题认识更深刻.物理中有许多量,比如力、速度、加速度、位移等都是向量,这些物理现象都可以用向量来研究. 在物理课中,我们学过功的概念,即如果一个物体在力F的作用下产生位移s,那么力F所做的功W可由下式计算: W=|F|s|cos 其中是F与s的夹角.我们知道力和位移都是向量,而功是一个标量(数量). 故从力所做的功出发,我们就顺其自然地引入向量数量积的概念. 思路2.前面我们已学过,任意的两个向量都可以进行加减运算,并且两个向量的和与差仍是一个向量.我们结合任意的两个实数之间可以进行加
8、减乘除(除数不为零)运算,就自然地会想到,任意的两个向量是否可以进行乘法运算呢?如果能,其运算结果是什么呢?推进新课新知探究提出问题ab的运算结果是向量还是数量?它的名称是什么?由所学知识可以知道,任何一种运算都有其相应的运算律,数量积是一种向量的乘法运算,它是否满足实数的乘法运算律?我们知道,对任意a,bR,恒有(a+b)2=a2+2ab+b2,(a+b)(a-b)=a2-b2.对任意向量a、b,是否也有下面类似的结论?(1)(a+b)2=a2+2ab+b2;(2)(a+b)(a-b)=a2-b2. 活动:已知两个非零向量a与b,我们把数量|a|b|cos叫做a与b的数量积(或内积),记作a
9、b,即ab=|a|b|cos(0). 其中是a与b的夹角,|a|cos(|b|cos)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影.如图2为两向量数量积的关系,并且可以知道向量夹角的范围是0180.图2在教师与学生一起探究的活动中,应特别点拨引导学生注意:(1)两个非零向量的数量积是个数量,而不是向量,它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积;(2)零向量与任一向量的数量积为0,即a0=0;(3)符号“”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“”代替;(4)当00,从而ab0;当时,cos0,从而ab0.与学生共同探究并证明数量积的运算律.已知a,b,c和实数,则向量的数量积满足下列运算律
10、:ab=ba(交换律);(a)b=(ab)=a(b)(数乘结合律);(a+b)c=ac+bc(分配律).特别是:(1)当a0时,由ab=0不能推出b一定是零向量.这是因为任一与a垂直的非零向量b,都有ab=0.图3(2)已知实数a、b、c(b0),则ab=bca=c.但对向量的数量积,该推理不正确,即ab=bc不能推出a=c.由图3很容易看出,虽然ab=bc,但ac.(3)对于实数a、b、c有(ab)c=a(bc);但对于向量a、b、c,(ab)c=a(bc)不成立.这是因为(ab)c表示一个与c共线的向量,而a(bc)表示一个与a共线的向量,而c与a不一定共线,所以(ab)c=a(bc)不成
11、立.讨论结果:是数量,叫数量积.数量积满足ab=ba(交换律);(a)b=(ab)=a(b)(数乘结合律);(a+b)c=ac+bc(分配律).(1)(a+b)2=(a+b)(a+b)=ab+ab+ba+bb=a2+2ab+b2;(2)(a+b)(a-b)=aa-ab+ba-bb=a2-b2.提出问题如何理解向量的投影与数量积?它们与向量之间有什么关系?能用“投影”来解释数量积的几何意义吗? 活动:教师引导学生来总结投影的概念,可以结合“探究”,让学生用平面向量的数量积的定义,从数与形两个角度进行探索研究.教师给出图形并作结论性的总结,提出注意点“投影”的概念,如图4.图4定义:|b|cos叫
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