2018中考数学压轴题及答案40例(8).doc
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1、2018中考数学压轴题及答案40例(8)查字典数学网中考频道提供大量中考资料,在第一时间更新中考资讯。以下是2018中考数学压轴题及答案40例:32.已知:RtABC的斜边长为5,斜边上的高为2,将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中,使其斜边AB与x轴重合(其中OA(1)求线段OA、OB的长和经过点A、B、C的抛物线的关系式.(2)如图2,点D的坐标为(2,0),点P(m,n)是该抛物线上的一个动点(其中m0,n0),连接DP交BC于点E.当BDE是等腰三角形时,直接写出此时点E的坐标.又连接CD、CP(如图3),CDP是否有最大面积?若有,求出CDP的最大面积和此时点P的坐标;若没有,请说
2、明理由.解:(1)由题意知RtAOCRtCOB, = .OC 2=OAOB=OA(AB-OA),即22=OA(5-OA).OA 2-5OA+4=0,OAA(-1,0),B(4,0),C(0,2).可设所求抛物线的关系式为y=a(x+1)(x-4). 3分将点C(0,2)代入,得2=a(0+1)(0-4),a=- .经过点A、B、C的抛物线的关系式为y=- (x+1)(x-4). 4分即y=- x 2+ x+2.(2)E1(3, ),E2( , ),E3( , ). 7分关于点E的坐标求解过程如下(原题不作要求,本人添加,仅供参考):设直线BC的解析式为y=kx+b.则 解得 直线BC的解析式为
3、y=- x+2.点E在直线BC上,E(x,- x+2).若ED=EB,过点E作EHx轴于H,如图2,则DH= DB=1.OH=OD+DH=2+1=3.点E的横坐标为3,代入直线BC的解析式,得y=- 3+2= .E1(3, ).若DE=DB,则(x-2)2+(- x+2)2=22.整理得5x 2-24x+16=0,解得x1=4(舍去),x2= .y=- +2= ,E2( , ).若BE=BD,则(x-4)2+(- x+2)2=22.整理得5x 2-24x+16=0,解得x1= (此时点P在第四象限,舍去),x2= .y=- ( )+2= ,E3( , ).CDP有最大面积. 8分过点D作x轴的
4、垂线,交PC于点M,如图3.设直线PC的解析式为y=px+q,将C(0,2),P(m,n)代入,得 解得 直线PC的解析式为y= x+2,M(2, +2).SCDP=SCDM+SPDM= xPyM= m( +2)=m+n-2=m+(- m2+ m+2)-2=- m2+ m=- (m- )2+ 当m= 时,CDP有最大面积,最大面积为 . 9分此时n=- ( )2+ +2= 此时点P的坐标为( , ). 10分33.如图,已知抛物线y=x 2+4x+3交x轴于A、B两点,交y轴于点C,抛物线的对称轴交x轴于点E,点B的坐标为(-1,0).(1)求抛物线的对称轴及点A的坐标;(2)在平面直角坐标系
5、xOy中是否存在点P,与A、B、C三点构成一个平行四边形?若存在,请写出点P的坐标;若不存在,请说明理由;(3)连结CA与抛物线的对称轴交于点D,在抛物线上是否存在点M,使得直线CM把四边形DEOC分成面积相等的两部分?若存在,请求出直线CM的解析式;若不存在,请说明理由.解:(1)对称轴为直线x=- =-2,即x=-2; 2分令y=0,得x 2+4x+3=0,解得x1=-1,x2=-3.点B的坐标为(-1,0),点A的坐标为(-3,0). 4分(2)存在,点P的坐标为(-2,3),(2,3)和(-4,-3). 7分(3)存在. 8分当x=0时,y=x 2+4x+3=3,点C的坐标为(0,3)
6、.AO=3,EO=2,AE=1,CO=3.DECO,AEDAOC. = ,即 = .DE=1. 9分DECO,且DECO,四边形DEOC为梯形.S梯形DEOC= (1+3)2=4.设直线CM交x轴于点F,如图.若直线CM把梯形DEOC分成面积相等的两部分,则SCOF=2即 COFO=2. 3FO=2,FO= .点F的坐标为(- ,0). 10分直线CM经过点C(0,3),设直线CM的解析式为y=kx+3.把F(- ,0)代入,得- k+3=0. 11分k= .直线CM的解析式为y= x+3. 12分34.在平面直角坐标系中,现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限,斜靠在两坐标轴上,且点A(0
7、,2),点C(-1,0),如图所示;抛物线y=ax 2+ax-2经过点B.(1)求点B的坐标;(2)求抛物线的解析式;(3)在抛物线上是否还存在点P(点B除外),使ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形?若存在,求所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)过点B作BDx轴于D.BCD+ACO=90,ACO+CAO=90.BCD=CAO. 1分又BDC=COA=90,BC=CA.RtBCDRtCAO, 2分BD=CO=1,CD=AO=2. 3分点B的坐标为(-3,1); 4分(2)把B(-3,1)代入y=ax 2+ax-2,得1=9a-3a-2,解得a= . 6分抛物线的解析式为y=
8、x 2+ x-2; 7分(3)存在. 8分延长BC至点P1,使CP1=BC,则得到以点C为直角顶点的等腰直角三角形ACP1.9分过点P1作P1Mx轴.CP1=BC,P1CM=BCD,P1MC=BDC=90.RtP1CMRtBCD, 10分CM=CD=2,P1M=BD=1,可求得点P1(1,-1); 11分把x=1代入y= x 2+ x-2,得y=-1.点P1(1,-1)在抛物线上. 12分过点A作AP2AC,且使AP2=AC,则得到以点A为直角顶点的等腰直角三角形ACP2.13分过点P2作P2Ny轴,同理可证RtP2NARtAOC. 14分P2N=AO=2,AN=CO=1.可求得点P2(2,1
9、). 15分把x=2代入y= x 2+ x-2,得y=1.点P2(2,1)在抛物线上. 16分综上所述,在抛物线上还存在点P1(1,-1)和P2(2,1),使ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形.35.如图,在平面直角坐标中,二次函数图象的顶点坐标为C(4,- ),且在x轴上截得的线段AB的长为6.(1)求二次函数的解析式;(2)点P在y轴上,且使得PAC的周长最小,求:点P的坐标;PAC的周长和面积;(3)在x轴上方的抛物线上,是否存在点Q,使得以Q、A、B三点为顶点的三角形与ABC相似?如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.解:(1)设二次函数的解析式为y=a(x -4)
10、2- (a0),且A(x1,0),B(x2,0).y=a(x -4)2- =ax 2-8ax+16a- x1+x2=8,x1x2=16- .AB 2=(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=82-4(16- )=36,a= .二次函数的解析式为y= (x -4)2- . 2分(2)如图1,作点A关于y轴的对称点A,连结AC交y轴于点P,连结PA,则点P为所求.令y=0,得 (x -4)2- =0,解得x1=1,x2=7.A(1,0),B(7,0).OA=1,OA=1.设抛物线的对称轴与x轴交于点D,则AD=3,AD=5,DC= .AOPADC, = ,即 = ,OP= .P(0,- )
11、. 4分AC= = = AC= = = PAC的周长=PA+PC+AC=AC+AC= + . 5分SPAC=SAAC - SAAP= AA(DC-OP)= 2( - )= .7分(3)存在. 8分tanBAC= = ,BAC=30.同理,ABC=30,ACB=120,AC=BC.若以AB为腰,BAQ1为顶角,使ABQ1CBA,则AQ1=AB=6,BAQ1=120.如图2,过点Q1作Q1Hx轴于H,则Q1H=AQ1sin60=6 = ,HA=AQ1cos60=6 =3.HO=HA-OA=3-1=2.点Q1的坐标为(-2, ).把x=-2代入y= (x -4)2- ,得y= (-2-4)2- =
12、.点Q1在抛物线上. 9分若以BA为腰,ABQ2为顶角,使ABQ2ACB,由对称性可求得点Q1的坐标为(10, ).同样,点Q2也在抛物线上. 10分若以AB为底,AQ,BQ为腰,点Q在抛物线的对称轴上,不合题意,舍去.11分综上所述,在x轴上方的抛物线上存在点Q1(-2, )和Q2(10, ),使得以Q、A、B三点为顶点的三角形与ABC相似. 12分36.如图,抛物线y=ax 2+bx+c(a0)与x轴交于A(-3,0)、B两点,与y轴相交于点C(0, ).当x=-4和x=2时,二次函数y=ax 2+bx+c(a0)的函数值y相等,连结AC、BC.(1)求实数a,b,c的值;(2)若点M、N
13、同时从B点出发,均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动,其中一个点到达终点时,另一点也随之停止运动.当运动时间为t秒时,连结MN,将BMN沿MN翻折,B点恰好落在AC边上的P处,求t的值及点P的坐标;yOxCNBPMA(3)在(2)的条件下,抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得以B,N,Q为顶点的三角形与ABC相似?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)由题意得解得a=- ,b=- ,c= .3分(2)由(1)知y=- x 2- x+ ,令y=0,得- x 2- x+ =0.解得x1=-3,x2=1.A(-3,0),B(1,0).又C(0, ),OA=3,OB=1,
14、OC= ,AB=4,BC=2.tanACO= = ,ACO=60,CAO=30.同理,可求得CBO=60,BCO=30,ACB=90.ABC是直角三角形.又BM=BN=t,BMN是等边三角形.BNM=60,PNM=60,PNC=60.RtPNCRtABC, = .由题意知PN=BN=t,NC=BC-BN=2-t, = .t= . 4分OM=BM-OB= -1= .如图1,过点P作PHx轴于H,则PH=PMsin60= = .MH=PMcos60= = .OH=OM+MH= + =1.点P的坐标为(-1, ). 6分(3)存在.由(2)知ABC是直角三角形,若BNQ与ABC相似,则BNQ也是直角
15、三角形.二次函数y=- x 2- x+ 的图象的对称轴为x=-1.点P在对称轴上.PNx轴,PN对称轴.又QNPN,PN=BN,QNBN.BNQ不存在以点Q为直角顶点的情形.如图2,过点N作QN对称轴于Q,连结BQ,则BNQ是以点N为直角顶点的直角三角形,且QNPN,MNQ=30.PNQ=30,QN= = = .= = . =tan60= , .当BNQ以点N为直角顶点时,BNQ与ABC不相似. 7分如图3,延长NM交对称轴于点Q,连结BQ,则BMQ=120.AMP=60,AMQ=BMN=60,PMQ=120.BMQ=PMQ,又PM=BM,QM=QM.BMQPMQ,BQM=PQM=30.BNM
16、=60,QBN=90.CAO=30,ACB=90.BNQABC. 8分当BNQ以点B为直角顶点时,BNQABC.设对称轴与x轴的交点为D.DMQ=DMP=60,DM=DM,RtDMQRtDMP.DQ=PD,点Q与点P关于x轴对称.点Q的坐标为(-1,- ). 9分综合得,在抛物线的对称轴上存在点Q(-1,- ),使得以B,N,Q为顶点的三角形与ABC相似. 10分37.如图,已知抛物线y=ax 2+bx+3(a0)与x轴交于点A(1,0)和点B(-3,0),与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式;(2)设抛物线的对称轴与x轴交于点M,问在对称轴上是否存在点P,使CMP为等腰三角形?若存在,请直
17、接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;(3)如图,若点E为第二象限抛物线上一动点,连接BE、CE,求四边形BOCE面积的最大值,并求此时E点的坐标.解:(1)由题意得 . 1分解得 . 2分所求抛物线的解析式为y=-x 2-2x+3; 3分(2)存在符合条件的点P,其坐标为P(-1, )或P(-1, )或P(-1,6)或P(-1, ); 7分(3)解法一:过点E作EFx轴于点F,设E(m,-m 2-2m+3)(-30)则EF=-m 2-2m+3,BF=m+3,OF=-m. 8分S四边形BOCE =SBEF +S梯形FOCE= BFEF + (EF+OC)OF= (m+3)(-m
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