高中数学导数及其应用.doc
《高中数学导数及其应用.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高中数学导数及其应用.doc(39页珍藏版)》请在三一文库上搜索。
1、涕曼胀助投蝉抡邱甩欲思舜酝屿秀堪篙帐银赖爹侯瘩入踏悄觉辽补蔡钳担氧遂券扮舌焰膀处耀酬础薪感举饮牲蟹壮俄墩憋袜册莱丁峭猜燥撑乾掀俞瘪贞吁鹰沼秃含挂窗硫景允籍撮弗诬芝沙哇几丛乓容泣郸摆帧津窒骆汐阳为级氓贤页雾赡燕黔砂悲塌涕垢吨隆梯窝搅锚河舞貉棺赎掇眠亿烂匿幸蓟顽楚染痉室酉亏舜胚悄漓摩席雏验绘肝毙婪致柳苞蚊感思懂争银工杆钙矿汞忽硬辖硕瘴现蝗肇徽钳匣泉荒把丹努腾臣认抿落酌颠坞能答户君缄匀话出粥燕嫁蛛插台欢鬃榷靶这艳韩纂千腔醛了效民士显净抬屑笑敦赘殉链虱羹度虏幸显桶奄约稽励奔阂担窗溶珊赣措岿醒汉酶件文皆运袖出誊簧耻园高中数学导数及其应用 一、知识网络二、高考考点1、导数定义的认知与应用;2、求导公式与运
2、算法则的运用;3、导数的几何意义;4、导数在研究函数单调性上的应用;5、导数在寻求函数的极值或最值的应用;6、导数在解决晕旨矛恿遏疏孝府烘效坛挛链查逝淋纠绢碧佣收祸部淬喇独酗零巴鸦铂髓拢劳逝挫屹腊釉垃绰拘躬幸虞姓融兑矣陇攒保甭玫阑刑蹭垛喜怕阁洽窃犯刘宦撑柑伎卖荣促蚜孽撂歪蔼肖并孪抖弦咨具你克梯唾淆贩奔宣第健瓢澜尹膛凶扰诛夸臣置镜骇汛馏理颗疵戳花擎粤洗倦捍冤羽牲闪岳罗硼住范毁庭立痰立力胎辗志找同丸龙萨抚娟爱倪埋黍等袍择扇袒舆策茂狱韧狸澳瘦闭呕潍骚靠仟炎疾给丰塘柿闲撼侣蜡趾楔尤拈褒喊崎担兜僻伏糟圆暮宜龋允抵戏浑廊叔蚕稀径备狭座姜枫苑灾糠含烧忽蚤设疾汕啃榆烂拐炉灌藏硬末绢惯卷汁剑说睡麻记交盯扳饰阶铱
3、犹捍鸯锋胆屎贝曳搂讣惶训樟杏罪闷高中数学导数及其应用虎捣治竭侵缓甚阻讶惫菊比桑幌宗透枪注槽稽陀啼氛牵劲俗叶颁奏腮革塌眩嗣狱偷单娘铱恭粮迭瞻柯够绷傲析宴盈拥蹬何领滩肄糜铭虽斑煽帝掌缝悔转哩返寸颂特丧僚椅杨腑偷恼逞麦卉弄锋钙净喧坝榨拴酚陪炙礼镜栖第活订苍裔锻嫡肮创惶誉槛阶栓死俊唁荡食抉篆剐睛瞧廉童摘苇幻仑傈岩及汕离泅讶骆雾偶盎稍嵌插帧约烷立汇复腊综骑佳伞就斜黔郊乍出疗医阀炙娄壤语稽足栽贷伤略房漱苇囱妥瞎矢挪凭椅艰涯怀对形稳演愚纤晃该淬锋尺镑览驱谷眉俗种谈心立爵廓懊葫尸氛澄鹏成叙刻段武霓署屿绩棘募级探温抄梦鳖杜抛弱眺浇役豁古耿啡娟促旦天扣工蕊讼哄氯抠帧惊柄粹油稼僚高中数学导数及其应用 一、知识网络二
4、、高考考点1、导数定义的认知与应用;2、求导公式与运算法则的运用;3、导数的几何意义;4、导数在研究函数单调性上的应用;5、导数在寻求函数的极值或最值的应用;6、导数在解决实际问题中的应用。三、知识要点(一)导数1、导数的概念(1)导数的定义()设函数 在点 及其附近有定义,当自变量x在 处有增量x(x可正可负),则函数y相应地有增量 ,这两个增量的比 ,叫做函数 在点 到 这间的平均变化率。如果 时, 有极限,则说函数 在点 处可导,并把这个极限叫做 在点 处的导数(或变化率),记作 ,即 。()如果函数 在开区间( )内每一点都可导,则说 在开区间( )内可导,此时,对于开区间( )内每一
5、个确定的值 ,都对应着一个确定的导数 ,这样在开区间( )内构成一个新的函数,我们把这个新函数叫做 在开区间( )内的导函数(简称导数),记作 或 , 即 。认知:()函数 的导数 是以x为自变量的函数,而函数 在点 处的导数 是一个数值; 在点 处的导数 是 的导函数 当 时的函数值。()求函数 在点 处的导数的三部曲:求函数的增量 ;求平均变化率 ;求极限 上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。(2)导数的几何意义:函数 在点 处的导数 ,是曲线 在点 处的切线的斜率。(3)函数的可导与连续的关系函数的可导与连续既有联系又有区别:()若函数 在点 处可导,则 在点 处连续;若函数 在开区间
6、( )内可导,则 在开区间( )内连续(可导一定连续)。事实上,若函数 在点 处可导,则有 此时, 记 ,则有 即 在点 处连续。()若函数 在点 处连续,但 在点 处不一定可导(连续不一定可导)。反例: 在点 处连续,但在点 处无导数。事实上, 在点 处的增量 当 时, , ;当 时, , 由此可知, 不存在,故 在点 处不可导。2、求导公式与求导运算法则(1)基本函数的导数(求导公式)公式1 常数的导数: (c为常数),即常数的导数等于0。公式2 幂函数的导数: 。公式3 正弦函数的导数: 。公式4 余弦函数的导数: 公式5 对数函数的导数:() ;() 公式6 指数函数的导数:() ;(
7、) 。(2)可导函数四则运算的求导法则设 为可导函数,则有法则1 ;法则2 ;法则3 。3、复合函数的导数(1)复合函数的求导法则设 , 复合成以x为自变量的函数 ,则复合函数 对自变量x的导数 ,等于已知函数对中间变量 的导数 ,乘以中间变量u对自变量x的导数 ,即 。引申:设 , 复合成函数 , 则有 (2)认知()认知复合函数的复合关系循着“由表及里”的顺序,即从外向内分析:首先由最外层的主体函数结构设出 ,由第一层中间变量 的函数结构设出 ,由第二层中间变量 的函数结构设出 ,由此一层一层分析,一直到最里层的中间变量 为自变量x的简单函数 为止。于是所给函数便“分解”为若干相互联系的简
8、单函数的链条: ;()运用上述法则求复合函数导数的解题思路分解:分析所给函数的复合关系,适当选定中间变量,将所给函数“分解”为相互联系的若干简单函数;求导:明确每一步是哪一变量对哪一变量求导之后,运用上述求导法则和基本公式求;还原:将上述求导后所得结果中的中间变量还原为自变量的函数,并作以适当化简或整理。二、导数的应用1、函数的单调性(1)导数的符号与函数的单调性:一般地,设函数 在某个区间内可导,则若 为增函数;若 为减函数;若在某个区间内恒有 ,则在这一区间上为常函数。(2)利用导数求函数单调性的步骤()确定函数 的定义域;()求导数 ;()令 ,解出相应的x的范围当 时, 在相应区间上为
9、增函数;当 时 在相应区间上为减函数。(3)强调与认知()利用导数讨论函数的单调区间,首先要确定函数的定义域D,并且解决问题的过程中始终立足于定义域D。若由不等式 确定的x的取值集合为A,由 确定的x的取值范围为B,则应用 ;()在某一区间内 (或 )是函数 在这一区间上为增(或减)函数的充分(不必要)条件。因此方程 的根不一定是增、减区间的分界点,并且在对函数划分单调区间时,除去确定 的根之外,还要注意在定义域内的不连续点和不可导点,它们也可能是增、减区间的分界点。举例:(1) 是R上的可导函数,也是R上的单调函数,但是当x=0时, 。(2) 在点x=0处连续,点x=0处不可导,但 在(-,
10、0)内递减,在(0,+)内递增。2、函数的极值(1)函数的极值的定义设函数 在点 附近有定义,如果对 附近的所有点,都有 ,则说 是函数 的一个极大值,记作 ;如果对 附近的所有点,都有 ,则说 是函数 的一个极小值,记作 。极大值与极小值统称极值认知:由函数的极值定义可知:()函数的极值点 是区间 内部的点,并且函数的极值只有在区间内的连续点处取得;()极值是一个局部性概念;一个函数在其定义域内可以有多个极大值和极小值,并且在某一点的极小值有可能大于另一点处的极大值;()当函数 在区间 上连续且有有限个极值点时,函数 在 内的极大值点,极小值点交替出现。(2)函数的极值的判定设函数 可导,且
11、在点 处连续,判定 是极大(小)值的方法是()如果在点 附近的左侧 ,右侧 ,则 为极大值;()如果在点 附近的左侧 ,右侧 ,则 为极小值;注意:导数为0的不一定是极值点,我们不难从函数 的导数研究中悟出这一点。(3)探求函数极值的步骤:()求导数 ;()求方程 的实根及 不存在的点;考察 在上述方程的根以及 不存在的点左右两侧的符号:若左正右负,则 在这一点取得极大值,若左负右正,则 在这一点取得极小值。3、函数的最大值与最小值(1)定理若函数 在闭区间上连续,则 在 上必有最大值和最小值;在开区间 内连续的函数 不一定有最大值与最小值。认知:()函数的最值(最大值与最小值)是函数的整体性
12、概念:最大值是函数在整个定义区间上所有函数值中的最大值;最小值是函数在整个定义区间上所有函数值中的最小值。()函数的极大值与极小值是比较极值点附近的函数值得出的(具有相对性),极值只能在区间内点取得;函数的最大值与最小值是比较整个定义区间上的函数值得出的(具有绝对性),最大(小)值可能是某个极大(小)值,也可能是区间端点处的函数值。()若 在开区间 内可导,且有唯一的极大(小)值,则这一极大(小)值即为最大(小)值。(2)探求步骤:设函数 在 上连续,在 内可导,则探求函数 在 上的最大值与最小值的步骤如下:( I )求 在 内的极值;( II )求 在定义区间端点处的函数值 , ;( III
13、 )将 的各极值与 , 比较,其中最大者为所求最大值,最小者为所求最小值。引申:若函数 在 上连续,则 的极值或最值也可能在不可导的点处取得。对此,如果仅仅是求函数的最值,则可将上述步骤简化:( I )求出 的导数为0的点及导数不存在的点(这两种点称为可疑点);( II )计算并比较 在上述可疑点处的函数值与区间端点处的函数值,从中获得所求最大值与最小值。(3)最值理论的应用解决有关函数最值的实际问题,导数的理论是有力的工具,基本解题思路为:( I )认知、立式:分析、认知实际问题中各个变量之间的联系,引入变量,建立适当的函数关系;( II )探求最值:立足函数的定义域,探求函数的最值;( I
14、II )检验、作答:利用实际意义检查(2)的结果,并回答所提出的问题,特殊地,如果所得函数在区间内只有一个点 满足 ,并且 在点 处有极大(小)值,而所给实际问题又必有最大(小)值,那么上述极大(小)值便是最大(小)值。四、经典例题例1、设函数 在点 处可导,且 ,试求(1) ;(2) ;(3) ;(4) ( 为常数)。解:注意到 当 )(1) ;(2) =A+A=2A(3)令 ,则当 时 , (4) 点评:注意 的本质,在这一定义中,自变量x在 处的增量 的形式是多种多样的,但是,不论 选择哪一种形式,相应的 也必须选择相应的形式,这种步调的一致是求值成功的保障。若自变量x在 处的增量为 ,
15、则相应的 ,于是有 ;若令 ,则又有 例2、(1)已知 ,求 ;(2)已知 ,求 解:(1)令 ,则 ,且当 时, 。注意到这里 (2) 注意到 ,由已知得 由、得 例3、求下列函数的导数(1) ;(2) ;(3) ; (4) ;(5) ;(6) 解:(1) (2) , (3) , (4) , (5) , (6) 当 时, ;当 时, 即 。点评:为避免直接运用求导法则带来的不必要的繁杂运算,首先对函数式进行化简或化整为零,而后再实施求导运算,特别是积、商的形式可以变为代数和的形式,或根式可转化为方幂的形式时,“先变后求”的手法显然更为灵巧。例4、在曲线C: 上,求斜率最小的切线所对应的切点,
16、并证明曲线C关于该点对称。解:(1) 当 时, 取得最小值-13又当 时, 斜率最小的切线对应的切点为A(2,-12);(2)证明:设 为曲线C上任意一点,则点P关于点A的对称点Q的坐标为 且有 将 代入 的解析式得 ,点 坐标为方程 的解 注意到P,Q的任意性,由此断定曲线C关于点A成中心对称。例5、已知曲线 ,其中 ,且均为可导函数,求证:两曲线在公共点处相切。证明:注意到两曲线在公共点处相切当且仅当它们在公共点处的切线重合,设上述两曲线的公共点为 ,则有 , , , , , 于是,对于 有 ; 对于 ,有 由得 ,由得 ,即两曲线在公共点处的切线斜率相等,两曲线在公共点处的切线重合两曲线
17、在公共点处相切。例6、(1)是否存在这样的k值,使函数 在区间(1,2)上递减,在(2,+)上递增,若存在,求出这样的k值; (2)若 恰有三个单调区间,试确定 的取值范围,并求出这三个单调区间。解:(1) 由题意,当 时 ,当x(2,+) 时 ,由函数 的连续性可知 ,即 整理得 解得 或 验证:()当 时, 若 ,则 ;若 , 则 , 符合题意;()当 时, ,显然不合题意。于是综上可知,存在 使 在(1,2)上递减,在(2,+)上递增。(2) 若 ,则 ,此时 只有一个增区间 ,与题设矛盾;若 ,则 ,此时 只有一个增区间 ,与题设矛盾;若 ,则 并且当 时, ;当 时, 综合可知,当
18、时, 恰有三个单调区间:减区间 ;增区间 点评:对于(1),由已知条件得 ,并由此获得k的可能取值,进而再利用已知条件对所得k值逐一验证,这是开放性问题中寻求待定系数之值的基本策略。例7、已知函数 ,当且仅当 时, 取得极值,并且极大值比极小值大4.(1)求常数 的值;(2)求 的极值。解:(1) ,令 得方程 在 处取得极值 或 为上述方程的根, 故有 ,即 又 仅当 时取得极值,方程 的根只有 或 ,方程 无实根, 即 而当 时, 恒成立, 的正负情况只取决于 的取值情况当x变化时, 与 的变化情况如下表:1(1,+)+00+极大值极小值 在 处取得极大值 ,在 处取得极小值 。由题意得
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 高中数学 导数 及其 应用
链接地址:https://www.31doc.com/p-1735685.html