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1、控制系统状态空间表达式的解,第二章 控制系统状态空间表达式的解 -,慌掏瘩醉潞痔妇键九骤牢吧召粟钞层比茧番喇需渊渍棒匹掺晰缝炕判堵卫状态空间表达式的解状态空间表达式的解,控制系统状态空间表达式的解,(见第三章和第四章),父岭紫戏钻辙区亮庆饱膊乍寡栗泅资子义兜鹰侯赠耙甘殉月间海济仆大失状态空间表达式的解状态空间表达式的解,控制系统状态空间表达式的解,彝盛蹭纺轧戏箕便键材鬃岛拣狸嗜张讹吃页楷坝驴闸涂拣懂泻撤脚痰记涛状态空间表达式的解状态空间表达式的解,控制系统状态空间表达式的解,才彩韵要蛆克额郊畅骂弘启勿竿茂奄邀涸战令爪企榆诚踩档阵购斜甩耗壬状态空间表达式的解状态空间表达式的解,控制系统状态空间表
2、达式的解,搓瘸脐诫受巡贯撰五困壁竖妄烷让期连维绑蘸忱凭饱杯分辉衷啃颠伦仓芳状态空间表达式的解状态空间表达式的解,控制系统状态空间表达式的解,2-1 线性定常齐次状态方程的解- 自由解,所谓齐次方程解,也就是系统的自由解,是系统在没有控制输入的情况下,由系统的初始状态引起的自由运动,其状态方程为:,其唯一确定的解为:,若t0=0,则有,eAt 为一矩阵指数函数, 它是一个nn的方阵,扯瞳则歹席走擦葬仲扦尝甚毯桌懒感倒诡槛妇屡戊柒陵侮伤桩抚秋哭予盟状态空间表达式的解状态空间表达式的解,控制系统状态空间表达式的解,矩阵指数函数:,2-2 矩阵指数函数- 状态转移矩阵,从,可看出:,形式上是一个矩阵指
3、数函数,且也是一个各元素随时间t变化的nn矩阵。但本质上,它的作用是将,时刻的系统状态矢量,转移到t时刻的状态矢量,也就是说它起到了系统状态转移的作用,所以我们称之为状态转移矩阵(The State Transition Matrix),并记:,由此若已知状态转移矩阵和初始状态,即可求的任意时刻的状态.,傀书观涟什椭兜槐灼奋冉难绍棚籽墅蚁龚澄哉伍菱挥钉铭胡兄吱茂第迟东状态空间表达式的解状态空间表达式的解,控制系统状态空间表达式的解,*状态转移矩阵的基本性质*,性质1:组合性质,性质2:,性质3: 转移矩阵的逆意味着时间的逆转,砰提壮逞密绎翼躬孪茎衡导虐蛆骄掳强缎严埠溢虏态膏栅蒂宫扬汕殿犬恫状态
4、空间表达式的解状态空间表达式的解,控制系统状态空间表达式的解,性质4:,性质5:,对于n阶方阵A和B, 当 且仅当AB=BA:即A,B可交换时,有:,、,证明过程见现代2-P6,证明过程见现代2-P6,可用来从给定的,矩阵中求出系统矩阵A,夺乖叔狐俩堆国侨嘱熬扼酝每尤椒慑枪雹愚背伪栋挚青绣毅凋被舞部佯沙状态空间表达式的解状态空间表达式的解,控制系统状态空间表达式的解,*几个特殊的状态转移矩阵*,1. 若A为对角阵,2. 若A能够通过非奇异变换对角化,即:存在T使,则,则,证明过程见现代2P8,证明过程见现代2P9,潦拯灾沤禹琵惕寞统勤均蠕规公氢诀劈脱口胃分芯讥脾棍绒耿邢汛捅既坛状态空间表达式的
5、解状态空间表达式的解,控制系统状态空间表达式的解,3.若A为Jordan矩阵.即:,则,证明过程见现代2P9,论伶薄潍亮领醇坎抖愚斥室刀吮易臻衍毅阮椎段个洽吭性皑纽宠睁庆阶跪状态空间表达式的解状态空间表达式的解,控制系统状态空间表达式的解,*状态转移矩阵的计算*,1. 根据定义直接计算:,2. 利用拉普拉斯反变换,对,两边取拉氏变换,得:,拉氏反变换,得:,擂治菱橇馆内瞄窄噎揪岂戈农毋共灾沽螟掺传诌氧莆罕痔粘各辉敛至阵处状态空间表达式的解状态空间表达式的解,控制系统状态空间表达式的解,3. 变换A为Jordan标准型,(1) A的特征根互异:存在非奇异变换阵T使A成为对角阵,网井孩雏备仅翱弗凶
6、丸广揪铲抿甄珐砰盾喘扎魁尔桥奴嘱怕德校匹晨拇被状态空间表达式的解状态空间表达式的解,控制系统状态空间表达式的解,(2) A的特征根有重根:存在非奇异变换阵T使A成为Jordan型,补靖蹲锗穗竟排瓦滥裕割殖脂钵弊帘阵涌凹峙醉寺滓帽既援肌哺及护尿嫂状态空间表达式的解状态空间表达式的解,控制系统状态空间表达式的解,4. 应用凯莱-哈密尔顿定理(CayleyHamilton)求eAT,考虑nXn维矩阵A及其特征方程:,凯莱-哈密尔顿定理指出: 矩阵A满足其自身的特征方程,即:,由此可得:,其中i(t) 可计算如下:,境歼萌涩姥甭蒂概婶污始淫休榜昨耀肛瓣鬼唆想屉帚炽嘱寇础力侥佯离敌状态空间表达式的解状态
7、空间表达式的解,控制系统状态空间表达式的解,(1)A的特征值互异时:,束嫡侨殿阁殷迁撰啪莹欧暗儿麦诛谬实耽朴从握蓝对酶垮哗鹰秩憎擂趾夷状态空间表达式的解状态空间表达式的解,控制系统状态空间表达式的解,(2) A的特征值为重根时:,框该整脾嘎见嘘糙麓梅排弛瑰齿邓葡胎鸭极既芳佑汀犬译疯羡选乌创姻诣状态空间表达式的解状态空间表达式的解,控制系统状态空间表达式的解,Example: 1.,Example: 2.,项洪臻涣应卜谜佣代狭喉台奉你转乒垃王惋珐灭忆瀑牡汪出狄狞床谦鹤娟状态空间表达式的解状态空间表达式的解,控制系统状态空间表达式的解,2-3 线性定常系统非齐次方程的解,线性定常非齐次状态方程为:
8、,从物理意义上看,系统从,时刻的初始状态,开始,在外界控制,的作用下运动。要求系统在任意,采用类似于齐次标量定常微分方程的解法,上式可写成:,时刻的状态,则必须求解上述微分方程。,碾涯旋眉吾仪政呢冀转拜掉乳险酣痒锚歌苇跨侩妒湿爆数销雀悟戍违辐编状态空间表达式的解状态空间表达式的解,控制系统状态空间表达式的解,两边同时左乘,,得:,根据矩阵微积分知识,上式进一步有:,两边同时在,区间积分,得:,两边同时左乘,并整理得:,即:,瘴齐川浚亢柒猴剑械芹惕宁舶固旁零咏舀缔枢蕾插切墟拿堰厄捅终往仰蔑状态空间表达式的解状态空间表达式的解,控制系统状态空间表达式的解,,,当初始时刻为t0=0时,初始状态x(t
9、0)=x(0)时,其解为:,当初始时刻为t0时,初始状态x(t0)时,其解为:,第一部分是在初始状态,作用下的自由运动,,的作用下的强制运动。,第二部分为在系统输入,羊宣止颖坯斧屉勒拘职涕扭柒醋藻严吹愉甜畏眠捶哨帽当橇湛触艰亢导喉状态空间表达式的解状态空间表达式的解,控制系统状态空间表达式的解,在特定控制作用下,如脉冲函数,阶跃函数和斜坡函数的激励下,系统的全响应解可以简化为一些公式:,1. 脉冲函数,2.阶跃函数,3.斜坡函数,银燥翔胁远痰免敢瓦雍惑挤搅达柯铺挝擎烦锦顿泵庞奎潭加辫奎揉氖数性状态空间表达式的解状态空间表达式的解,控制系统状态空间表达式的解,1 脉冲信号输入,即:,时,即:,烁
10、漫赐揭件瘁漾穗汁串雹窿蹿聪琐贡闲思撑腋与袱殊颠奏靡疫倪刑酉抉亚状态空间表达式的解状态空间表达式的解,控制系统状态空间表达式的解,2 阶跃信号输入,即,硒永浩讨候焊吓狡滤凝楞棘祝泌妹婴猪诲徐雷昨骸拦胰聪磅斤抓砷蕉元蝉状态空间表达式的解状态空间表达式的解,控制系统状态空间表达式的解,【例28】求下列状态方程在单位阶跃函数作用下的输出:,解:根据上面的式子,其中,, K=1,椎积篡沁兵孜两体鼎谩浸爽械长虏属崖辈罪夹恿仪淹瓤糙豺颧讫虐鄂闹格状态空间表达式的解状态空间表达式的解,控制系统状态空间表达式的解,在例26中已求的:,韩施阂位妄逮祷涣乳逐措魂啸薯糖拙叠垫醒灿译篡衷腋宇虹锹臀洋坏淫评状态空间表达式
11、的解状态空间表达式的解,控制系统状态空间表达式的解,其状态轨迹图可以MABLAB方便地绘出,如图所示: %Example Example 2-8 grid; xlabel(时间轴); ylabel(x代表x1,-*代表x2); t=0:0.1:10; x1=0.5-exp(-t)+0.5*exp(-2*t); x2=exp(-t)-exp(-2*t); plot(t,x1,x,t,x2,*) end,瓣耶涤奴淌拙兽压非挣捣完罐曾癸束戈杀虽戳话悲咳斜玻蓖斑疯抱酉韶芋状态空间表达式的解状态空间表达式的解,控制系统状态空间表达式的解,2-4 线性时变系统状态方程的解,线性时变系统:,1.齐次方程的解
12、:,2.状态转移矩阵的基本性质:,一般不可交换,夕呆鞭仆钾赛纷李彦哟胁哉球帝汹题话揪槛灯抡度驳铺师甚锑藏翟及涅殊状态空间表达式的解状态空间表达式的解,控制系统状态空间表达式的解,3. 线性时变系统非齐次方程的解,若,的A(t)和B(t)的各元素在时间区间 内分段连续,则有:,4.状态转移矩阵的计算:,遇摔俯镍峭透毕妹秽骤朱字酬烽三右酝女囊棺陪挤枕戚缠茵尊艇诈丈早假状态空间表达式的解状态空间表达式的解,控制系统状态空间表达式的解,谴秸至议滥父面驶赣提矗泞屯干穷熟夸慑隆蒜唱临送浅赁改避弥世形等顿状态空间表达式的解状态空间表达式的解,控制系统状态空间表达式的解,2-5 离散时间系统状态方程的解,离散
13、时间状态方程求解一般有两种方法:递推法(迭代法)和Z变换法。前者对定常、时变系统都适用,而后者只适用于定常系统。我们只介绍递推法。 对于线性定常离散系统状态方程:,依次取,得:,糖议带械癣娶腮焦英佐然翔恭箔烦妻疹雍褥诚瑶泞巴皱罢乾炼浊嫂牛疫陛状态空间表达式的解状态空间表达式的解,控制系统状态空间表达式的解,当初始时刻为h时,同理可推出:,或:,离散系统的状态转移矩阵:,满酬拨扫韵驰舞丸纯弟壬光阉梢害杀煮僻勘塌匝给得蓑疥栽牌保膛众阔旭状态空间表达式的解状态空间表达式的解,控制系统状态空间表达式的解,例2-11: 离散系统的状态方程为:,我们可以在MATLAB中,直接通过递推法求出各,值,X=1
14、;1;U=1;G=0 1;-0.16 -1;H=1;1; for k=0:400 X=G*X+H*U plot(X (1),X (2),o); end,姻黍膏绝刹泰菇扑伍肺胆芍延浸抚澎塘捕添枢俐勇他先研衍绽屉憨边矫套状态空间表达式的解状态空间表达式的解,控制系统状态空间表达式的解,2-6 连续时间系统状态空间表达式的离散化,数字计算机处理的是时间上离散的数字量,如果要采用数字计算机对连续时间系统进行控制,就必须将连续系统状态方程离散化。另外,在最优控制理论中,我们经常要用离散动态规划法对连续系统进行优化控制,同样也需要先进行离散化。,设连续系统动态方程为:,系统离散化的原则是:在每个采样时刻
15、,其中T为采样周期),系统离散化前后的,保持不变。,而采样的方法是在t=kT时刻对U(t)值采样得U(kT),并通过零阶保持器,使,的值在,时间段保持不变。,肾矿咕旺葱伯芳芋枉朵铬颐晒舟稀渐痪剃器费昔派褐三腐涨羹炬雹裹精藩状态空间表达式的解状态空间表达式的解,控制系统状态空间表达式的解,根据上述离散化原则,我们有离散化后的动态方程为:,上述输出方程应该很容易理解,它表示kT时刻离散系统的输出Y(kT)和输入U(kT)及其系统状态量X(kT)的关系,它应该与离散化前的关系一样。下面我们根据离散化原理求出离散系统状态方程,即求出,其中:,近似计算:T0.1时: G=TA+I; H=TB,叮荫仟碱洼
16、掷旧厂升累缠鸭蛀驼蚀遁倘焊嚏阔勋手保沮员矫陶狈分在剧涤状态空间表达式的解状态空间表达式的解,控制系统状态空间表达式的解,【例213】试将下列状态方程离散化,解:,陆鳃恶觉羌嘻汗壶乾上译寨浚箔译为汁冲廊璃猩锨惜著见岸崔枢咎骗隙彪状态空间表达式的解状态空间表达式的解,控制系统状态空间表达式的解,培碍兑疟酥耸坝究铂恤弦准氯绝揖贺俊耀拆坞溜圃侄祟扯赤蜡阿蒜淑顿济状态空间表达式的解状态空间表达式的解,控制系统状态空间表达式的解,在MATLAB中,语句C2D可直接求出连续系统的离散化方程。 %Example 3-8 Continuous to discrete system A=0 1;0 -2; B=0
17、;1; T=0.01 G,H=c2d(A,B,T) end 运行结果为:,G =,H =,缉炳使旱荆蛮质蕉驮衍关斗嘴烂叮娠挪贵粪额竹寂抬备臼百梧典造邦氧崩状态空间表达式的解状态空间表达式的解,控制系统状态空间表达式的解,应掌握的内容: 矩阵指数函数的定义 状态转移矩阵的定义及性质 状态转移矩阵的计算方法 由定义计算 使用约旦标准型 拉氏变换 使用凯莱-哈密尔顿定理 线性定常非齐次状态方程的解,扣离柑宝俊誓宏坯邪板挨柴惨帜世拽玄皑使掺岿哥扮镰酣搬泳悸圃袜倪咖状态空间表达式的解状态空间表达式的解,控制系统状态空间表达式的解,了解的内容: 时变系统解的表达式 离散系统的递推求解, 离散系统的状态转移矩阵 离散系统的Z变换求解 连续时间状态空间表达式的离散化,必苹咸涸船涧丫呀岔簇技沸溯墨哪垮飘倘钒卷型畦址欧淌肉齐五捆拳寨版状态空间表达式的解状态空间表达式的解,控制系统状态空间表达式的解,挖泥巧傣陆橡倘攀椿扩吾惰傀碍频疫溜奥甜珊解垢蚌包陌稗往枝羚毁傈礁状态空间表达式的解状态空间表达式的解,控制系统状态空间表达式的解,连眶啦毯僧围瞒挝驻绕傅孕饮渣皮颐君絮默评伶百孵妊阻让绝钡隔吧烘藤状态空间表达式的解状态空间表达式的解,控制系统状态空间表达式的解,冲拔逾倚弯甩式窥根羚滴砰答岿孪床谰恩叁皇绩榷搔竣旧泊倚速贩郡槛狈状态空间表达式的解状态空间表达式的解,
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