2018年上海交大附中高二下学期数学期末测试卷.doc
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1、2018年上海交大附中高二下学期数学期末测试卷一、填空题(本大题共14题,每题4分,满分56分)1. 设复数 满足 ,则 _ _。2. 三个平面最多把空间分割成 8 个部分。3. 若圆锥的侧面展开图是半径为2、圆心角为180的扇形,则这个圆锥的体积是 。4. 如图,在正三棱柱 中, ,异面直线 与 所成角的大小为 ,该三棱柱的体积为 。5. 的展开式中的常数项是 60 。6. 8名同学争夺3项冠军,获得冠军的可能性有 512 种。7. 将三个1、三个2、三个3填入33的方格中,要求每行、每列都没有重复数字,则不同的填写方法共有 12 种。8. 用4种颜色给一个正四面体的4个顶点染色,若同一条棱
2、的两个端点不能用相同的颜色,那么不同的染色方法共有_24_种。9. 从 个正整数 中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于 的概率为 ,则 8 。10. 用0、1、2、3、4、5组成一个无重复数字的五位数,这个数是偶数的概率为 。11. 设复数 , , 在复平面上所对应点在直线 上,则 = 。12. 如图是一个正方体的表面展开图,A、B、C均为棱的中点,D是顶点,则在正方体中,异面直线AB和CD的夹角的余弦值为 。13. 在直三棱柱 中,底面ABC为直角三角形, , . 已知G与E分别为 和 的中点,D与F分别为线段 和 上的动点(不包括端点). 若 ,则线段 的长度的最小值为 。【解】建
3、立直角坐标系,以A为坐标原点,AB为x轴,AC为y轴,AA1为z轴,则 ( ), , , ( )。所以 , 。因为 ,所以 ,由此推出 。又 , ,从而有 。14. 一个半径为1的小球在一个内壁棱长为 的正四面体封闭容器内可向各个方向自由运动,则该小球表面永远不可能接触到的容器内壁的面积是 .解 如答12图1,考虑小球挤在一个角时的情况,记小球半径为 ,作平面 /平面 ,与小球相切于点 ,则小球球心 为正四面体 的中心, ,垂足 为 的中心.因,故 ,从而 .记此时小球与面 的切点为 ,连接 ,则.考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为 )相切时的情况,易知小球在面 上最靠近边的切点的轨迹仍为正
4、三角形,记为 ,如答12图2.记正四面体的棱长为 ,过 作 于 .因 ,有 ,故小三角形的边长 .小球与面 不能接触到的部分的面积为(如答12图2中阴影部分).又 , ,所以.由对称性,且正四面体共4个面,所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为 .二、选择题(本大题共4题,每题5分,满分20分)15. 已知 为异面直线, 平面 , 平面 .平面与外的直线 满足 ,则(D )A. ,且 B. ,且C. 与 相交,且交线垂直于 D. 与 相交,且交线平行于16. 如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果
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