基于数学教育价值视角下的例题教学.doc
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1、基于数学教育价值视角下的例题教学 普通高中数学课程标准明确指出,高中数学学科教学层面的价值表现为“对于认识数学与自然界、数学与人类社会的关系,认识数学的科学价值、文化价值,提高提出问题、分析问题和解决问题的能力,形成理性思维,发展智力和创新意识具有基础作用.”数学的教育价值,主要体现在数学教育的应用价值、思维训练价值. 文化价值及科学素养价值等.数学教学离不开例题教学,因此我们应充分挖掘例题的教育价值,在传授知识的同时,注重能力的培养,理性思维的养成,文化的熏陶及科学素养的提升,实现教学目标的多元化,促进学生的全面发展.下面从体现数学教育价值的层面谈谈在例题教学中彰显数学教育价值的几点思考,以
2、期抛砖引玉. 一、注重纵横拓展,培养探究能力 在例题教学中,可以从教育价值的高度来设计问题,精心预设富有启发性的“好问题”,帮助学生构建知识体系,加强纵、横向的联系.在例题讲解过程中,适度的研讨可以让更多的学生主动参与,在师生对话中实现师生合作,促进生生交流以及团队精神.知识的动态生成和问题的解决可以让学生感受到成功的喜悦,激发求知欲,激活思维火花,有效提升学生的探究创新能力.在例题教学中,常见的的“好问题”有“一题多变”(类比、拓展、延伸)、“一题多用”、“多题归一”等. 案例1已知函数f(x)=x3-4x2+4x. (1)求f(x)的单调区间;(2)求f(x)的极值. 在教师与学生共同完成
3、此问题解答后,教师可引导学生对此问题进行编题变式.笔者在教学中做过尝试,学生在经过合作探究后有如下几种变式: 生1(变式1):已知函数f(x)=x3-4x2+4x,x0,求f(x)最大值与最小值.设计意图是限定自变量的取值范围,求函数单调区间、函数的极值,最后确定函数的最值. 生2(变式2):已知函数f(x)=x3-4x2+ax在区间(1,2)为减函数,在区间(2,+)为增函数,求实数a的值.设计意图是根据极值的定义,设计x=2是函数的极小值点. 生3(变式3):已知函数f(x)=x3-4x2+ax在区间(1,2)为减函数,求实数a的范围.设计意图是引入参数,由函数单调性求参数的取值范围,即f
4、(x)=3x3-8x+a0,对x(1,2)恒成立. 在此基础上,经教师的引导,师生又共同探究下列几种变式: 变式4:已知函数f(x)=x3-4x2+4x,试证:对任意的x1,x20,不等式f(x1)-f(x2)恒成立.设计意图是考查化归与转化的思想.此问题可转化为求函数f(x)在0,的最大值为m,最小值为n,证明m-n即可. 变式5:已知函数f(x)=x3-4x2,g(x)=a-4x,试问实数取何值时,两函数的图象有且仅有三个公共点.设计意图是考查函数与方程思想、数形结合思想,化归与转化的思想.此问题可转化为实数a取何值时,方程f(x)=g(x)有三个根,即x3-4x2+4a=a有三个根. 变
5、式6:已知函数f(x)=x3-4x2+4x,g(x)=8x2-16x-k(其中k为实数),若对于任意x10,3,总存在x20,3,使得g(x2)=f(x1)成立,求k的取值范围.设计意图考查化归与转化的思想,考查函数的值域、集合间的包含关系等. 当然还可再进行变式,在此不一一列举. 案例启示:波利亚说:“拿一个有意义又不复杂的题目,去帮助学生发掘问题的各个方面,使得通过这道题,就好像通过一道门户,把学生引入一个完整的领域.”我们知道,中学数学函数与导数的核心内容,就是利用导数研究初等函数图象特征(包括单调性、函数的凹凸性、图象的切线及两函数图象间的关系).上述问题是从函数与导数的基本问题出发,
6、从研究函数的本质内容、函数单调性及极值出发,通过变式探究,将导数在研究函数中的应用作了较为系统的学习,设计是自然而有效的.一题多变,变的是形式,不变的是本质.问题的变式,使学生更清楚地认识了函数与导数的本质,增强了思维的广阔性,提高对数学的兴趣和热情,培养探究精神. 爱因斯坦在物理学的进化中说:“提出一个问题往往比解决一个问题更为重要,因为解决一个问题也许是一个数学上或实验上的技巧问题.而提出新的问题、新的可能性,从新的角度看旧问题,却需要创造性的想像力,而且标志着科学的真正进步.”在例题教学过程中,教师要密切关注学生的学习动态,通过教师引导、启发、指导、点拨、评价、矫正,让学生自主地提出问题
7、,才能有效地起到拓展思路、开阔视野、提炼精要、升华情感的作用,让师生对话得以持续,学生的自主、合作、探究学习才能顺畅,学生的思维才有可能从懵懂走向顿悟,内心才有可能从迷惘变得敞亮. 二、关注呈现方式,养成理性思维 理性思维就是人们借助抽象思维,在概括、整理大量感性材料的基础上达到关于事物本质的、全体内部联系和事物自身规律的认识.理性思维是在感性思维的基础上,把所获得的感觉材料,经过思考、分析,加以去粗取精、去伪存真、由此及彼、由表及里的整理和改造,形成概念、判断、推理.理性思维是感性思维的飞跃,它反映事物的全体、本质和内部联系. 著名数学教育家波利亚认为:“掌握数学意味着除掌握逻辑分析方法外,
8、还必须掌握探索性思维能力.”数学教学不能仅限于一些演算规则和解题技巧的教学,其中最本质的还是对学生理性思维方法的培养.培养和发展学生的理性思维,其教育意义一点也不亚于数学知识和数学方法的教学.引导学生借助感性材料通过概括获得数学结论并对命题进行逻辑证明是数学教育目标使然,是体现例题教学价值的重要方面. 笔者在一次听课过程中,遇到一位教师是如此展示及处理下述问题. 案例2 nN*且 n3,证明: nn+1(n+1)n. 此题呈现方式是直接将结论给学生.教师在分析题意后问:“与自然数有关问题如何解决?”,生答:“用数学归纳法”.在此基础上,教师引导学生用数学归纳法、二项式定理进行证明,似乎也完成了
9、教学任务.如此教学,追求的仅仅是演算规则和解题技巧的教学,或者说,只是为了完成解决问题而已,未能充分体现对学生的理性思维的培养. 我们不妨做一下改编:你能否判断 nn+1与 (n+1)n的大小?(nN*) 教学效果会大不一样.我们知道,在数学学习过程中,对公式、定理、法则的学习往往都是从特殊开始,通过归纳总结得出结论,经过证明后,又利用它们来解决相关的数学问题. 教师可引导学生通过观察、试验:1221,2332,3443,4554, 学生有了这些感性材料时,可作出猜想: 当n3时, nn+1 (n+1)n(nN*); 当n3时,nn+1 (n+1)n(nN*). 此时,教师进一步引导学生用数学
10、归纳法、二项式定理进行证明.接着,对于基础较好的学生,教师又可适时提出能否将此结论推广到为实数?通过进一步探索,作出新的猜想: 当0xye时,xyyx; 当exy+时.xyyx(x,yR). 这样的教学活动,不仅有利于学生形成勇于探索的精神,而且使学生的理性思维探索能力得到了训练和培养. 案例启示:教育家加里宁说过:“数学是训练思维的体操.”数学学科在发展学生思维尤其是理性思维方面具有特有的优势,数学教学必须高度重视理性思维的养成,以充分展示数学理性光芒来提升学生数学学习的层次,实现理性精神的传承,为学生的终身发展奠基. 众所皆知,在心理学上,因信息呈现的方式及顺序不同会出现首因效应或者第一印
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