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1、应用型本科离散数学的课堂教学 摘要:应用型本科离散数学教学具有教学内容繁多与教学时数相对较少的矛盾,教学过程具有一定挑战性。该文结合教学实际探讨离散数学的课堂教学,通过具体实例说明如何运用教学理论和方法,启发学生自觉概括,以及运用多媒体技术,从而提高教学质量和效率,并阐述在理论教学中如何联系应用,融入算法教育,进而培养学生计算机学科的基本思维方式。 离散数学是计算机学科的专业基础课程之一,学好离散数学课程对于计算机专业知识的掌握具有十分重要的意义。特别是近几十年来,由于计算机的迅速发展与广泛应用,大量与数学相关的实际问题往往需首先转化成离散数学的问题,再由计算机处理解决。离散数学与计算机科学中
2、的数据结构、操作系统、算法分析、编译理论、数据库系统、人工智能、计算机网络等课程联系紧密。 目前,针对社会的需求,计算机人才培养规格可分为科学型、工程型和应用型三类1。作者所在的高校为应用型本科大学,着力培养适应经济社会发展需要的应用型高级专门人才。根据中国计算机学会教育专业委员会编制的中国高等学校计算机科学与技术(应用型)学科教程(2009),离散数学建议最少64学时,其中命题逻辑10学时,谓词逻辑8学时,集合与关系16学时,函数4学时,代数结构12学时,图论14学时。在离散数学教学中,作者以国家标准为指导,参考了国内外众多教材、课件和教学视频,现将实践中取得的一些经验与心得与大家分享、探讨
3、。 1运用教学理论和方法 1.1学习迁移理论的应用 数理逻辑是离散数学中最复杂的内容之一,有较多的抽象概念和公式定理,不少学生难以在短时间内入门,理解其思想内涵。而数理逻辑通常作为离散数学的开篇,直接影响到学生对该课程的学习,以及计算思维逻辑的正确形成。如何帮助学生在短时间内掌握数理逻辑的初步内容,是作者一直思考的问题。根据学习迁移理论,一种学习中习得的经验对另一种学习的影响,称为学习迁移2125。迁移发生在两种学习之间,并产生一定的效果。若先前的学习对后来的学习有积极推动作用,称为正迁移;反之则为负迁移。如,学会骑自行车后有助于学习驾驶摩托车,掌握加减法更易学好乘法运算等,都属于正迁移。如J
4、.M.Bochenski所言:形式化方法本质上是对一种千百年来众所周知的方法的推广,这种方法就是运算3。学生虽然对数理逻辑感到陌生,但有从小学即开始的学习数学的经验,对于运算是熟悉的。因此在讲授概念、定理时联系学生熟知的四则运算,取得了良好的教学效果。如表1所示,数学中的公式是常量、变量、运算符根据一定的规则构成的表达式。同样,逻辑中由逻辑常项、逻辑变项、逻辑运算符根据一定的规则构成的表达式称为逻辑表达式,在命题演算中此逻辑表达式称为命题公式。继而在命题逻辑一章结束时,作者介绍数理逻辑先驱莱布尼兹“用计算代替思考”的思想,学生也易于接受了。 1.2运用正例和反例 教师教学时既要关注知识的本质特
5、征,也要注意舍弃非本质特征。为此,必须配合使用概念或规则的正例和反例。正例称为肯定例证,指包括知识本质特征和内在联系的例证。反例称为否定例证,指不包括或只包括极少部分知识的主要属性和关键特征的例证。一般来说,知识的正例传递了有利于概括的信息,而反例则传递了有利于辨别的信息。在教学过程中,如果同时使用正例和反例,知识学习将更为容易276 。例如,讲关系的闭包时不直接讲闭包的严格定义,而是先举一例:集合A=a,b,c,A上的关系R如图1所示,分别求A上另一个关系R,使得它是包含R的“最小的”(序偶尽量少)具有自反(对称、传递)性的关系。R就分别是R的自反(对称、传递)闭包。 以自反闭包为例。图1(
6、a)是R的关系图,图1(b)是正例,图1(c)是反例。由自反关系的关系图性质,要构造包含图1(a)的自反关系,顶点b和c上必须有环。图1(b)仅在b和c上添加了环,而图1(c)还添加b到c的有向边。图1(b)和图1(c)都是包含图1(a)的自反关系,但是图1(c)比图1(b)所示关系的序偶更多,并非“最小”。通过正例和反例,学生就在直观上明白了求关系R的自反(对称、传递)闭包,即是在R的基础上添加尽可能少的序偶使之具有自反性(对称性、传递性)。接着再给出闭包严格的数学定义学生就容易接受了。 2启发学生自觉概括 通过对所学知识的积极有效的概括,可以使学生在感性经验的基础上获得理性经验,从而顺利掌
7、握科学知识。在教学过程中,教师应启发学生进行自觉的概括,鼓励学生主动参与问题的讨论,鼓励学生自己去总结知识的原理和规律2 76。 2.1二元关系 正如I.Kant所言:“人类的一切知识皆始于直观,其次是概念,最后发展成为理念。”数学概念不是凭空而来,而是来源于现实,是对人类思维中的直观认识的一种数学化的抽象描述。在教学中我们不是简单地灌输概念,而是联系实际,顺势引导,注重启发。在讲二元关系时,我们讨论如何从现实关系中抽象出关系的数学定义和表示。关系是一个非常普遍的概念,如生活中的父子关系、师生关系、同学关系,数学中数值的大于关系、整除关系等。 例1,令集合A=张云,赵刚,王明,李定, 集合B=
8、李丽,姚芳,刘娟,其中张云和姚芳、王明和刘娟是夫妇,若表示x和y是夫妇,则A中元素与B中元素间的夫妇关系可以用集合R1表示: R1= , Í AB 例2,令集合A=1,2,3,4, 若表示xy,则A中元素间的关系可以用集合R2表示: R2=, , Í AA 从以上两例学生认识到可以用序偶表示两个对象的某种联系,从而概括出关系是序偶的集合。 2.2谓词逻辑推理 离散数学的教学不能使学生仅仅记住一些概念、定理,会依葫芦画瓢地做一些习题,而应引导学生从更高的层次上理解计算机科学符号化、结构化与可构造性思维方式。我们在讲解谓词逻辑推理时举了如下例子:苏格拉底三段论:“人都是
9、要死的, 苏格拉底是人,所以苏格拉底是要死的。”数学家都擅长逻辑推理,高斯是数学家,所以高斯擅长逻辑推理。对于,令F(x):x是人,G(x):x是要死的,a:苏格拉底;对,令F(x):x是数学家,G(x):x擅长逻辑推理,a:高斯。两者的推理过程如下所示: 前提:x(F(x)®G(x),F(a) 结论:G(a) 证明: F(a) 前提引入 x(F(x)®G(x) 前提引入 F(a)®G(a) UI G(a) 假言推理 通过比较两者的异同,学生很容易发现虽然和的含义不同,但是在谓词逻辑中符号化后其推理过程相同,从而初步领悟到数理逻辑符号化、形式化的特点:采用一整套符号语言
10、,推理过程是脱离了语义的机械的符号改写过程。 2.3同构系统元素间运算关系的保持 讲解同构系统元素间运算关系的保持性质前,首先举例演示同构的两个代数系统和运算表的相同性。其中,X=S,R,A,L。将图2中运算表中各个元素分别用它的映像代替得到图3所示运算表,与运算表完全一样。从而看出与运算的相同性。 通过上述举例和演示,学生自己就可以领悟到同构系统的结构本质上完全一样,不同的只是表象,即我们对于各个系统的基集元素和运算符号所采用的表记符号不同。顺理成章地,学生也就理解了同构系统中特殊元素和运算性质的保持特性。 3运用多媒体 有研究表明,人体从外界环境接受的各种信息中大约有80%90%的信息从视
11、觉通道输入。另有心理学的研究表明,人类知识90%是从视觉与听觉吸收的。授课中做到语言表达准确流利和板书整洁清晰非常重要。随着电子计算机技术的发展,多媒体教学也逐渐普及,制作精良、形象生动的教学课件有助于学生更快的接收知识。 3.1哥尼斯堡七桥问题 模象直观是指事物的模拟性形象,它不是实际事物,而是其模拟品。模拟直观也叫教具直观,是指通过图片、图表、模型、幻灯、教学录像、电影、电视等模拟实物的景象给学生提供感性材料的方式。模象直观虽然不如实物逼真,但能摆脱实物直观的种种局限,能提高直观的效果,扩大直观的时空范围为理解知识创造了有利的条件2 71。运用多媒体课件,可以方便地进行模象直观。在讲解欧拉
12、图时,首先展示哥尼斯堡城地图,提出七桥问题,如图4所示。继而讲解该问题的数学解决方法。数学的重要特点之一便是其抽象性。通过PPT课件的动态演示,生动具体地展现了各个阶段的抽象:首先忽略不重要的细节,如城中的房屋街道河流形态等,得到陆地河流及连接不同陆地的桥梁,然后忽略更多的细节,得到数学上的点线图,包括代表相应陆地的顶点和代表桥梁的边。哥尼斯堡七桥问题随之转化为图论问题。在此过程中,学生深刻地体会到数学在抽象方面的特点:第一,在数学的抽象中首先保留量的关系和空间形式而舍弃了其他一切;第二,数学的抽象是经过一系列阶段而产生的,它们达到的抽象程度大大超过了自然科学中一般的抽象4。 3.2康托尔定理
13、证明 教师讲解教学内容,课件显示提纲性的内容5。离散数学中有不少难懂、抽象、理论性强的概念和定理,讲解过程中应将之形象化、直观化,使学生易于理解,提高课堂学习的效率。这种形象化和直观化应体现在课件设计中。以康托尔定理为例,作者先后采用图5(a)和(b)两种PPT课件。图5(a)完全是文字表述,严谨简洁,但是过于抽象,即使配合教师的讲解,不少学生们仍然感到茫然。图5 (b)中定理证明过程译自美国Carnegie Mellon大学的离散数学课件,采用图文结合,为学生建立了形象化的思考过程,教学效果更好。 4面向计算机学科 4.1理论联系应用 离散数学作为计算机专业中重要的基础课程,是学习专业知识不
14、可缺少的数学工具。若将之作为纯数学科目进行教学,学生看不到离散数学知识在计算机学科中的具体应用,很可能不重视离散数学的学习。针对这种情况,我们认真思考怎样把课程与计算机专业知识结合起来,如何把计算机知识融入离散数学教学中。在理论教学中穿插离散数学的若干应用:以n元关系及其运算为理论基础的关系数据库,以谓词逻辑为表现形式的逻辑程序设计语言Prolog,信息流的格模型,运用命题公式的等值演算简化逻辑电路,利用哈夫曼树求前缀码及进行图像压缩。因材施教,深入浅出,使学生在学习过程中理解离散数学与计算机其他专业课程之间的联系。在激发学生学习热情的同时,也开阔了他们的思路,为他们以后在专业领域应用离散数学
15、打下基础。 4.2融入算法教育 算法是计算机科学的灵魂;计算机科学中所涉及的数学,都是构造性数学。两者内在是一致的。离散数学中有许多构造性例子,如关系闭包的构造,欧拉回路的构造,最小生成树的构造等。可以加强这方面的教学,有意识地对学生进行算法方面的教育。例如,对于最小生成树、最短路径、哈夫曼树等问题,均给出其算法流程。 更进一步地,在学生掌握课程基本内容的基础上,鼓励学生融合离散数学和其他课程,如程序设计课程的知识,编写程序解决离散数学中的一些简单计算问题,如判定关系性质,求关系闭包,找出带权图的最小生成树等。这样不仅可以加深学生对数学理论、数学模型的理解和灵活运用,而且促使他们进一步理解计算机学科的可构造性思维方式,并能将这种思维方式用于后续专业课程的学习。 5结语 应用型本科院校中,离散数学课程学时相对较少,要保质保量地完成教学任务并非易事。教师不仅应对课程本身有深刻的理解,还应对整个计算机专业本科教学体系有宏观把握,同时认真设计好每一个教学环节,积极探索,不断改进,也完全可能在较短的课时内取得良好的教学效果,为学生的后续学习打下坚实的基础。
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