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1、谈谈高考数学选择题的解法 把选择题引入数学试卷,有利于扩大试卷容量以覆盖较多的知识点与数学方法;由于其表述简洁、清晰,评分标准客观、准确,有利于提高考试信度;选择题不需要表述解答,重在考查学生基于数学概念分析、判断、推理的灵活性以及直觉意识,注重训练学生的逻辑思维能力、合情推理能力以及深入探究构建算法、向着目标运算求解的能力. 全国高考数学试卷中通常有12道选择题,每道5分,共计60分,占试卷总分值的40%.因此,研究、总结高考数学选择题的解法,给考生提供应对策略十分必要. 高考数学试卷中的选择题由题干与4个选项组成4个命题,解答选择题就是按指令判明其中的真命题或假命题,即从4个选项中辨别出正
2、确选项.这使得选择题既有着与填空题相同的直接解法,也存在独特的间接解法,甚至可以猜测选项.笔者基于检测训练,构建出选择题的求解策略直接求解与间接求解.前者基于推理与计算直击目标,后者有极大的灵活性,它基于不同选项之间的差异,经历逻辑推理、合情推理、探究构建等数学技能,肯定一支或否定三支,辨别出正确选项. 教学检测统计表明,对于较容易的选择题,算法熟悉,学生普遍视选择题为填空题,不会顾忌选项之间的差异而采用直接法;遇到较难的选择题,考生则普遍注重分析选项之间的差异,基于特例,甚至猜测否定三个选项,合理找出正确选项.当然,求解选择题也应基于审题灵活决策,尤其要重视题干陈述的条件、选项之间的差异,通
3、过逻辑分析、数形结合、活用概念、善用结论、以极端思维方法(特殊值、特殊点、极限趋势等),在验算、估算、活算、巧算、速算、少算、不算上多思考、多下功夫. 一、直接求解方法 直接方法的根本特点在于基于题设经历推理、计算,直击正确选项,不需考虑其他三个干扰项为什么错. 1.运算求解 由题干到目标求解的算法很熟悉,可以运算求解,直击目标. 例1 (2018年安徽卷)在平面直角坐标系中,O是坐标原点,两定点A,B满足|OA|=|OB|=OA?OB=2,则点集R=P|OP=OA+OB,|+|1,R所表示的区域的面积是( ). (A)22 (B)23 (C)42(D)43 解析本题计算一个定义区域的面积,选
4、项正误难于辨别,也不存在特例可构造;目标求解对图形的依赖比较明显,这时,通常不顾选项,构图计算,再对比选项,作出选择. 图1如图1,当+=1时,由OP=OA+OB定义的点P在线段AB上.结合对称性,当|+|=1时,点P的轨迹是矩形ABAB(其中OA=-OA,OB=-OB);满足|+|1的所有点P构成的点集是矩形ABAB的内部(含边界)区域.所以,平面点集R的面积S=12|AA|?|BB|?sin3=43,选D. 2.分类追踪 例2 实数a,d,q满足a,a+d,a+2d=a,aq,aq2,则q的值是( ). 综上所述,正确选项是C. 评注遇到不确定情形,应以分类追踪目标,但是作为选择题,其选项
5、之间的互斥性以及唯一正确性,既不必像解填空题那样彻底追踪(这里未验证q=-12是否存在相应的实数a,d满足集合等式),也不一定要像解填空题那样对各种情形予以全面追踪,只需就其某些情形求解,达到筛选出正确选项的目的即可.读者还可以继续探究上述解析中未尽的部分,此略.下面的例3进一步表明,只求解其中一种情形即可找到正确选项,无需再多浪费宝贵时间.因此,解选择题还应坚持“反分类求解”. 例3 已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点到y轴的距离为( ). (A)34(B)1 (C)54(D)74 解析本题情境算法学生比较熟悉,但是A,B,F三点
6、存在共线与不共线两种情况,具有不确定性,以分类讨论能够完全求解;但由于选项是互斥的,只要按其中一种情况搜寻出答案即可排除三个,肯定一个,做到合理避免讨论,节约时间. 令A,F,B三点共线,记线段AB的中点为M,分别自点A,M,B向抛物线的准线lx=-14引垂线,垂足分别记作A1,M1,B1. 由抛物线的定义以及MM1是直角梯形AA1B1B的中位线,可得|MM1|=12(|AA1|+|BB1|)=12(|AF|+|BF|)=32. 所以,点M到y轴的距离是xM=|MM1|-14=54,选C. 读者可以继续探究在A,F,B不共线时,目标的求解方法. 3.逻辑推理 例4 椭圆x24+y2=1上到直线
7、x+y=0的距离是2的点共有( ). (A)4个(B)3个 (C)2个(D)1个 解析由直线x+y=0过椭圆x24+y2=1的对称中心O(0,0)可知,满足题设的点应该是偶数个,排除B,D;再由椭圆的右顶点A(2,0)到直线x+y=0的距离为d=22=2以及椭圆在右顶点A处的切线是直线x=2,直线x+y=0不是该椭圆的切线,可以选定A. 评注按题干基本特性作简单计算与推理分析,排除干扰,选定目标. 4.数形结合 例5 (2018年天津卷)函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为( ). (A)1(B)2 (C)3(D)4 解析函数的零点是指满足f(x0)=0的x0(0,+),也就是
8、方程2x|log0.5x|-1=0的解x=x0;面对超越代数方程,我们无法通过运算求解得到零点的个数,但通过方程变换,可以重塑零点的意义,应用数形结合方法直接求得零点个数. 方程2x|log0.5x|-1=0等价于|log2x|=(12)x,作出两个函数y=|log2x|与y=(12)x的图象可知,这两个函数图象恰有2个交点,所以,选B. 例6 方程x2-2asin(cos x)+a2=0(a0)仅有一解,则a的值是( ). (A)2sin 1 (B)2cos 1 (C)2sin(cos 1) (D)2cos(sin 1) 解析由于偶函数f(x)=x2-2asin(cos x)+a2图象关于y
9、轴对称,结合题意该函数有唯一零点x=0,所以,正数a=2sin1,选A. 评注遇到超越函数零点问题应多考虑函数性质,结合图象求解. 二、间接求解方法 间接求解方法不同于直接求解方法,不直接确认哪个是正确的,重在辨别出其中三个干扰选项;基于正确选项的唯一性,否定三个选择一个,不需要顾忌被选项是否正确. 1.筛选法 例7 (2018年北京卷)设关于x,y的不等式组2x-y+10, x+m0表示的平面区域内存在点P(x0,y0),满足x0-2y0=2,则m的取值范围是( ). (A)(-,43) (B)(-,13) (C)(-,-23) (D)(-,-53) 解析各选项表示的实数m范围存在差异,基于
10、这种差异,以m的值也容易验证题干. 取m=0,得到可行域2x-y+10, x0,但其中不含直线x-2y=2上的点P(x0,y0),所以排除A,B. 再取m=-1,得可行域2x-y+10, x-1,其中含直线x-2y=2上的点P(12,-34),所以排除D.只有C正确,选C. 图22.验证法 例8 (2018年四川卷)函数f(x)=2sin(x+)(0,-2 图3 图45.归纳猜想 例11 (2018年全国卷)设AnBnCn的三边长分别为an,bn,cn,AnBnCn的面积为Sn,n=1,2,3,.若b1c1,b1+c1=2a1,an+1=an,bn+1=cn+an2,cn+1=bn+an2,则
11、( ). (A)Sn为递减数列 (B)Sn为递增数列 (C)S2n-1为递增数列,S2n为递减数列 (D)S2n-1为递减数列,S2n为递增数列 解析按题意,可取b1=43a1,c1=23a1,先选出以下数值b2=56a1,c2=76a1,a2=a1;b3=1312a1,c3=1112a1,a3=a1;b4=2324a1,c4=2524a1,a4=a1. 由三角形面积公式S=p(p-a)(p-b)(p-c),其中p=a+b+c2,可算出 S1=15a2112,S2=24a2112S1,S3=105a2112S2,S4=429a2124=429420?105a2112S3,从而有S1b0)的左、
12、右焦点分别记作F1,F2,如果E上存在一点P使得线段PF1的中垂线过点F2,则E的离心率取值范围是( ). (A)(0,13)(B)(13,12) (C)13,1)(D)13,23) 解析按题意|PF2|=|F1F2|=2c,得|PF1|=2a-2c,记线段PF1的中点为K;如图5,F1KF2=90(含K与F2重合),必有|PF1|2|F1F2|,即a-c2c,即13eF1F2K,当点P移动时,F2F1K由0变到180,F1KF2也随着从180到0,其中必有一点P使得F1KF2=90,此点P即满足线段PF1的中垂线过点F2,所以否定B,D. 三、珠联璧合 选择题的解答策略的练就和掌握,重在平时
13、,抓住每一次检测训练的机会,切实提升自己求解选择题的速度与准确性.一个有效的方法是对一个题多动脑筋,多探究其间接解法,追求快捷、准确与巧妙的求解水平. 例13 (2018年江西卷)如图7,半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1,l2之间,ll1,l与半圆相交于F,G两点,与三角形ABC两边相交于E,D两点,设弧FG的长为x(00, ln(x+1),x0,若|f(x)|ax,则a的取值范围是( ). (A)(-,0(B)(-,1 (C)-2,1(D)-2,0 分析一方面,4个选项之间数据差异明显,适宜用筛选法否定干扰项;另一方面,所给函数图象容易作出,因此,也适宜应用数形结合法直接找
14、出正确选项. 解法一(筛选法)取a=1,则应有|f(x)|x,xR,但|f(1)|=ln 20时,恒有|f(x)|ax,即ln(x+1)ax,x0,但函数y=ln(x+1)图象向上凸,其图象位于点(0,0)处切线y=x下方,所以a0;再由|f(x)|ax,x0,即x2-2xax,x0,但函数y=x2-2x图象向下凸,其图象位于点(0,0)处的切线y=-2x上方,所以a-2. 图8综上所述,得-2a0,选D. 评注解法一从选择支的差异,采取特殊值策略,巧妙地否定三个干扰项,快捷地找出正确答案D;解法二基于熟知的函数图象,直接找出出正确选项D;本题还可以分离参数求解,留给读者自行探究. 例15 (
15、2018年辽宁卷)设函数f(x)满足x2f(x)+2xf(x)=exx,f(2)=e28,则当x0时,f(x)( ). (A)有极大值,无极小值 (B)有极小值,无极大值 (C)既有极大值又有极小值 (D)既无极大值也无极小值 解析一由题设条件,得x2f(x)=exx. 记g(x)=x2f(x),则g(x)=exx, f(x)=g(x)x2,从而 f(x)=g(x)x-2g(x)x3=ex-2g(x)x3. 令(x)=ex-2g(x),则(x)=ex-2g(x)=ex-2exx=(x-2)exx,从而(x)在区间(0,2上递减,在2,+)上递增,(x)min=(2)=e2-2g(2)=e2-8
16、f(2)=0,所以f(x)=(x)x30,x(0,+),其中仅f(2)=0.这就证明了f(x)在区间(0,+)上递增,既没有极大值也没有极小值. 解析二由x2f(x)+2xf(x)=exx,得x2f(x)=exx,所以,对一切x(0,+),都有x2f(x)=x0ettdt,即f(x)=1x2x0ettdt,求导,得f(x)=ex-2x0ettdtx3. 记(x)=ex-2x0ettdt,则(x)=(x-2)exx,(x)=ex-2x2f(x)在区间(0,2上递减,在区间2,+)上递增,对一切x(0,+),都有(x)(2)=e2-222f(2)=e2-8?e28=0.所以,对一切x(0,+),都
17、有f(x)=(x)x0,其中“=”仅在x=2时取到,f(x)在区间(0,+)上递增,正确选项是D. 解析三由题设,得x2f(x)=exx,所以, 当x2时,有x2exxdx=x2f(x)2 x=x2f(x)-4f(2)=x2f(x)-e22; 当00ex-2x2f(x)0, x0x2f(x)ex2,x0, 故x2exxdxex2-e22=x2ex2dx, 即x2(exx-ex2)dx0,x2, (1) 或2xexxdx=e22-x2f(x) e22-ex2=2xex2?dx, 即2x(exx-ex2)dx0,x(0,2). (2) 上述(1)和(2)明显成立,结合f(2)=0可知,f(x)在(0,+)上不变号. 故函数y=f(x)在(0,+)上无极值. 评注本小题作为2018年高考辽宁卷压轴选择题,以2018年最难选择题著称. 高考数学选择题的解法不拘一格,大体上分为直接解法与间接解法两大类别,巧妙快捷之法来自对题目的深入探究.高考数学试卷中,选择题数量多,分值大,能否考出理想的成绩,选择题的得分很是关键.因此,考前抓住检测模拟的机会,切实向着目标努力训练,力争快捷、准确地做好选择题.第 13 页
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