高中数学教学中函数的对称性教学分析.doc
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1、高中数学教学中函数的对称性教学分析 数学是一门发展历史久远且应用广泛的重要学科。现代社会的发展要求学生能够良好地掌握数学知识,尤其是高中的数学知识,对学生的学业存在着至关重要的影响。函数作为高中数学中的一部分,一直都是各类考试中的重点和热点。函数有很多基本性质,对称性就是其中之一,在解决各类数学问题时,对称性由于其简单、快捷被应用的非常广泛。本文结合具体的教学实例,对高中教学中函数的对称性教学进行了探析。 对称是一种美,广泛存在于生活的方方面面。函数的对称性也属于这美的一种,另外将对称性的性质进行合理地利用还能帮助学生增强创新能力,丰富其逻辑思维。所以,高中数学的函数对称性教学是非常重要的一项
2、环节,教师之间应当多进行交流,以商讨出良好的教学方法和方案,推动高中数学教学的发展。 1 对函数对称性的分析 函数图像自身的对称分为轴对称和中心对称,有的函数图像与图像之间也存在对称。不同的函数对称的位置也不同。教材中阐述了一些关于此方面的性质,如奇函数关于原点对称,偶函数关于y轴对称等等。举数学的函数定理来进行对称性探究,例1.定理函数y=f(x)的图像关于点A(xl,y1)对称的充要条件是f(2xl-x)+f(x)=2yl。 证明必要性设函数y=f(x)的图像上存在任意一点P(x,y) 因为点P(x,y)关于点A(xl,y1)的对称点P(2xl-x,2yl-y)也在y=f(x)的图像之上,
3、 所以2 yl-y=f(2xlx)也就是2yl=f(2xl-x)+y 因此,2yl=f(x)+f(2x1-x)必要性得到证明 充分性设函数y=f(x)上存在任意一点p(xl,y1),那么,y=f(x1) 因为f(2xl-x)+f(x)=2y1所以f(xl)+f(2xl-x1)=2yl,也就是2yl-yl=f(2xl-x1) 所以点(2x1-xl,2y1-y1)也在函数y=f(x)的图像上,点P与点P关于点A(xl,y1)对称,充分性得到证明。 推论函数y=f(x)关于原点对称的充要条件是f(-x)+f(x)=O 例2.若函数 y=f(x)图像既关于点A(a,c)成中心对称又关于直线 x=b成轴
4、对称(a6), 则y=f(x)是周期函数,且2|a-b|是其一个周期 因为函数 y=( x)图像关于点A(n,c)成中心对称, 所以f(x)+f(2a-x)=2c,用2b-x带入x,得f(2b-x)+f2a-(2b-x)=2c (1) 又因为函数y=f(x)图像关于直线 x=b成轴对称,所以f(2b-x)=f(x)代入(1)得f(x)=2c-f2(a-b)+x.(2)用2(a-b)-x代入x,得f2(a-b)+x=2c-f4(a-b)+x,代入(2)得f(x)=f4(a-b)+x,故y=f(x)是周期函数,且4|a-b|是其一个周期。 事实表明,数学具有千变万化的题型,教师在给学生进行练习题的
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