杨辉三角的兄弟 Rascal Triangle.doc
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1、杨辉三角的兄弟 Rascal Triangle如果给出下面三角形,问下一行应该填什么?想必很多人都会填写“14641”,因为规律很明显,不就是杨辉三角么?而有三个外国中学生给出了不同的答案,他们的文章TheRascalTriangle发表在2018年的THECOLLEGEMATHEMATICSJOURNAL。文章先是设计了一个教学场景(三个作者不是一个学校的),老师很不满意他们给出的答案“14541”,告诉他们3+3应该等于6,而不是等于5。学生解释:我们定义的规则有所不同,除了每行两端都为1之外,其余每个数都等于肩上两数相乘,加1,除以头顶上(即再上一行对应位置上)的数,譬如第5行的4=(1
2、3+1)/1,5=(33+1)/2。老师提出疑问,所给规则最后用到除法,那能否保证生成的数阵,每一个数都是整数?如果是杨辉三角,那就简单,整数相加总是整数。而若所得不是整数,则这样的定义规则显然是不完美的。学生给出了巧妙的证明。将数阵旋转45,得死记硬背是一种传统的教学方式,在我国有悠久的历史。但随着素质教育的开展,死记硬背被作为一种僵化的、阻碍学生能力发展的教学方式,渐渐为人们所摒弃;而另一方面,老师们又为提高学生的语文素养煞费苦心。其实,只要应用得当,“死记硬背”与提高学生素质并不矛盾。相反,它恰是提高学生语文水平的重要前提和基础。这样一来,数阵中的每一个位置对应哪个数就更好表述了。行数列数都从0开始,则第m行第n列的数是mn+1,第m行为:1,m+1,2m+1,.,nm+1。上式除以mn+1,所得(m+1)(n+1)+1正好是第m+1行第n+1列的数。根据数学归纳法可知所有数都是整数。非常难得的是,这三个中学生完成文章之后,还在OEIS搜索,结果发现这个结论是之前没有的。(第 2 页
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