极限法的哲学思考.doc
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1、极限法的哲学思考极限的定义,术语抽象,符号陌生,其中的辩证关系不易搞清,学生会提出的一系列问题:描述性定义简单明白,为什么要搞个定义?它与描述性定义有什么不同?数学家怎么会想出这种“古怪而讨厌”的定义?正如?柯朗与?罗宾所说:“初次遇到它时暂时不理解是不足为怪的,遗憾的是某些课本的作者故弄玄虚,他们不作充分的准备,而只是把这个定义直接向读者列出,好像作些解释就有损于数学家的身份似的”要弄清这些问题,有必要翻开数学史,从哲学的角度认识极限法,这不仅是搞清极限概念的需要,也有助于建立正确的数学观念1什么叫极限法?所谓极限法,是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学方法极限法的一般步骤可概括为:对
2、于被考察的未知量,先设法构思一个与它有关的变量,确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量;最后用极限计算来得到这结果极限法不同于一般的代数方法,代数中的加、减、乘、除等运算都是由两个数来确定出另一个数,而在极限法中则是由无限个数来确定一个数很多问题,用常量数学的方法无法解决,却可用极限法解决例如,已知抛物线y22x(1)在抛物线上任取二点1(x1,y1)、2(x2,y2),经过线段12的中点作直线平行于抛物线的轴,和抛物线交于点3,证明123的面积为(116)y1y23;(2)经过线段13、23的中点分别作直线平行于抛物线的轴,与抛物线依次相交于1、2,试将131与232的面积之和用y1、
3、y2表示出来;(3)依照(2)又可作出四个更小的三角形,如此继续下去可以作一系列的三角形,由此设法求出线段12与抛物线所围成的图形的面积(1965年高考数学试题第7题)在该题中,为了推导所求抛物弓形的面积,必须借助于极限法就像坐标法是解析几何的基本方法一样,极限法是微积分的基本方法,微积分中的一系列重要概念,如函数连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限法定义的如果要问:“微积分是一门什么学科?”那么可以概括地说:“微积分是用极限法来研究函数的一门学科”2极限法思想是从哪儿来的?与一切科学方法一样,极限法也是社会实践的产物极限法的思想可以追溯到古代刘徽的割圆术就是建立在直观基础上的一种原始极限
4、观念的应用古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想,但由于希腊人“对无限的恐惧”,他们避免明显地“取极限”,而是借助于简接证法归谬法完成有关证明到了16世纪,荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法,他借助几何直观,大胆地运用极限思想思考问题,放弃了归缪法证明步骤如此,他就在无意中“指出了把极限方法发展成为一个实用的概念的方向”极限法的进一步发展与微积分的建立紧密联系16世纪的欧洲处于资本主义萌芽时期,生产力得到很大的发展,生产和技术中大量的问题,只用初等数学的方法已无法解决,要求数学突破只研究常量的传统范围,而提供能够用以描述和研究运动、变化过程的新工具,这是促进极限发展、建立
5、微积分的社会背景起初牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础建立微积分,后来因遇到了逻辑困难,所以在他们的晚期都不同程度地接受了极限思想牛顿用路程的改变量与时间的改变量t之比t表示运动物体的平均速度,让t无限趋近于零,得到物体的瞬时速度,并由此引出导数概念和微分学理论他意识到极限概念的重要性,试图以极限概念作为微积分的基础他说:“两个量和量之比,如果在有限时间内不断趋于相等,且在这一时间终止前互相靠近,使得其差小于任意给定的差别,则最终就成为相等”但牛顿的极限观念也是建立在几何直观上,因而他无法得出极限的严密表述牛顿所运用的极限概念,只是接近于下列直观性的语言描述:“如果当n无限增大时,an无限地接近
6、于常数,那么就说an以为极限”这种描述性语言,人们容易接受,现代一些初等的微积分读物中还经常采用这种定义但是,这种定义没有定量地给出两个“无限过程”之间的联系,不能作为科学论证的逻辑基础正因为当时缺乏严格的极限定义,微积分理论才受到人们的怀疑与攻击,例如,在瞬时速度概念中,究竟t是否等于零?如果说是零,怎么能用它去作除法呢?如果它不是零,又怎么能把包含着它的那些项去掉呢?这就是数学史上所说的无穷小悖论英国哲学家、大主教贝克莱对微积分的攻击最为激烈,他说微积分的推导是“分明的诡辩”贝克莱之激烈攻击微积分,一方面是为宗教服务,另一方面也由于当时的微积分缺乏牢固的理论基础,连牛顿自己也无法摆脱极限概
7、念中的混乱这个事实表明,弄清极限概念,建立严格的微积分理论基础,不但是数学本身所需要而且有着认识论上的重大意义3极限法的完善极限法的完善与微积分的严格化密切联系在很长一段时间里,微积分理论基础的问题,许多人都曾尝试解决,但都未能如愿以偿这是因为数学的研究对象已从常量扩展到变量,而人们对变量数学特有的规律还不十分清楚;对变量数学和常量数学的区别和联系还缺乏了解;对有限和无限的对立统一关系还不明确这样,人们使用习惯了的处理常量数学的传统思想方法,就不能适应变量数学的新需要,仅用旧的概念说明不了这种“零”与“非零”,相互转化的辩证关系到了18世纪,罗宾斯、达朗贝尔与罗依里埃等人先后明确地表示必须将极
8、限作为微积分的基础概念,并且都对极限作出过各自的定义其中达朗贝尔的定义是:“一个量是另一个量的极限,假如第二个量比任意给定的值更为接近第一个量”它接近于极限的正确定义,然而,这些人的定义都无法摆脱对几何直观的依赖事情也只能如此,因为19世纪以前的算术和几何概念大部分都是建立在几何量的概念上面的首先用极限概念给出导数正确定义的人,是捷克数学家波尔查诺,他把函数f(x)的导数,定义为差商yx的极限f(x),他强调指出,f(x)不是两个零的商波尔查诺的思想是有价值的,但关于极限的本质他仍未说清楚到了19世纪,法国数学家柯西在前人工作的基础上,比较完整地阐述了极限概念及其理论,他在分析教程中指出:“当
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